Otimização em figuras geométricas
Determine o triângulo isósceles de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 
.
1 Representamos os dados graficamente
2 função a ser otimizada é a que representa a área do triângulo isósceles:
3 Relacionamos as variáveis:
4Substituímos na função::
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes:
Igualamos a zero (neste caso, basta considerar o numerador) e calculamos as raízes:
Substituímos na relação entre 
e 
para obter:
Portanto, a base é 
E o lado é:
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido:
Ao calcular para 
é obtido 
, existe um máximo relativo.
Determine o retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 
.
1 Representamos graficamente os dados:
2A função a ser otimizada é a que representa a área do retângulo:
3Relacionamos as variáveis. Para isso, aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo da figura:
4Substituímos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes:
Igualamos a zero (neste caso, basta considerar o numerador) e calculamos as raízes:
Substituímos na relação entre e 
para obter:
Como a base e a altura são iguais, trata-se de um quadrado de lado 
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido:
Ao calcular para 
é obtido 
, existe um máximo relativo.
Um triângulo isósceles de perímetro 
, gira em torno de sua altura, gerando um cone. Qual deve ser o valor da base para que o volume do cone seja máximo?
1 Representamos graficamente os dados:
2A função a ser otimizada é a que representa o volume do cone:
3Relacionamos as variáveis:
Aplicamos o teorema de Pitágoras
Aplicamos o perímetro
Igualamos as duas expressões e obtemos:
4Substituimos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes:
Igualamos a zero (neste caso, basta considerar o numerador) e calculamos as raízes:
Portanto, a base mede
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido:
Ao calcular para 
é obtido 
, existe um máximo relativo.
Determine as dimensões do maior retângulo inscrito em um triângulo isósceles que possui base de 
e altura de 
.
1Representamos graficamente os dados:
2A função a ser otimizada é:
3Relacionamos as variáveis: como temos dois triângulos semelhantes, obtemos:
Aplicamos o perímetro:
4Substituimos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes:
Igualamos a zero e calculamos as raízes:
Portanto, a base é 
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido:
Al evaluar 
é obtido 
e 
existe um máximo relativo.
Um setor circular possui perímetro de 
. Calcule o raio e a amplitude do setor de maior área.
1 Representamos graficamente os dados:
2A função a ser otimizada é:
3Relacionamos as variáveis:
4Substituímos na função::
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes:
Igualamos a zero e calculamos as raízes:
Logo 
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido:
Ao calcular para 
é obtido: 
, 
e 
, existe um máximo relativo.
Otimização para economia de material
Pretende-se fabricar uma lata de conserva cilíndrica (com tampa) com capacidade de 
litro. Quais devem ser suas dimensões para que seja utilizada a menor quantidade possível de metal?
1 A função a ser otimizada é: 
2Relacionamos as variáveis: 
3 Substituímos na função: 
4 Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes: 
Igualamos a zero e calculamos as raízes: 
Portanto, 
.
5Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido: 
Ao calcular para 
, obtemos 
. Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero (positiva), então a função possui um mínimo relativo. Portanto, para e , existe um mínimo relativo.
Pretende-se fabricar uma lata de conserva cilíndrica (sem tampa), com capacidade de litro. Quais devem ser suas dimensões para que seja utilizada a menor quantidade possível de metal?
1Função a ser otimizada
2Relacionamos as variáveis:
3Substituímos na função:
4Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
5Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Ao calcular para 
, obtemos
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero (positiva), então a função possui um mínimo relativo. Portanto, para e , existe um mínimo relativo.
Temos um arame de 
de comprimento e desejamos dividi-lo em dois pedaços para formar, com um deles, uma circunferência e, com o outro, um quadrado. Determine o comprimento de cada um dos pedaços para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja mínima.
1Função a ser otimizada
2Relacionamos as variáveis:
3Substituímos na função:
4Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, o pedaço destinado à circunferência mede 
e o pedaço destinado ao quadrado mede 
5Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero (positiva), então a função possui um mínimo relativo.
Determine as dimensões que minimizam o custo de um contêiner em forma de paralelepípedo retangular, sabendo que seu volume deve ser de 
, sua altura é de 
e o custo de construção por 
é de R$ 
para a base, R$ 
para a tampa e R$ 
para cada parede lateral.
1 Representamos graficamente os dados
2Função a ser otimizada
3Relacionamos as variáveis
4Substituímos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Ao calcular para 
, obtemos 
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Determine as dimensões que minimizam o custo de um contêiner em forma de paralelepípedo retangular, sabendo que seu volume deve ser de 
, sua altura é de e o custo de construção por é de R$ .
1 Representamos graficamente os dados
2Função a ser otimizada
3Relacionamos as variáveis
4Substituímos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto,
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Ao calcular para , obtemos
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser , su altura y el coste de su construcción por es de €. Determine as dimensões que minimizam o custo de um contêiner em forma de paralelepípedo retangular, sabendo que seu volume deve ser de , sua altura é de e o custo de construção por é de €.
1 Representamos graficamente los datos
2Función a optimizar
3Relacionamos las variables
4Sustituimos en la función:
5Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces
Igualamos a cero y calculamos las raíces
Luego
6Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
Al evaluar se obtiene
De este modo, el criterio de la segunda derivada afirma que "si la segunda derivada es mayor que cero, entonces la función tiene un mínimo relativo.
1 Representamos graficamente os dados
2Função a ser otimizada
3Relacionamos as variáveis
4Substituímos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto,
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Ao calcular para , obtemos
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Diversos exercícios de otimização
Decomponha o número 
em duas parcelas de modo que o produto seja máximo.
1Função a ser otimizada
2Relacionamos as variáveis:
3Substituímos na função:
4Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
5Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
P'' = -2 <0[/latex]
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for menor que zero, então a função possui um máximo relativo.
Decomponha o número em duas parcelas de modo que o produto do quadrado da primeira pela segunda seja máximo.
1Função a ser otimizada
2Relacionamos as variáveis:
3Substituímos na função:
4Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
5Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
P'' = 80-6x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ P''\left(\cfrac{80}{3}\right) <0[/latex]
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for menor que zero, então a função possui um máximo relativo.
Decomponha o número 
em duas parcelas de modo que o quíntuplo do quadrado da primeira mais o sêxtuplo do quadrado da segunda seja mínimo.
1Função a ser otimizada
2Relacionamos as variáveis:
3Substituímos na função:
4Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
5Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero (positiva), então a função possui um mínimo relativo.
Recortando, em cada canto de uma folha de papelão de dimensões 
, um quadrado de lado e dobrando-a adequadamente (veja a figura), constrói-se uma caixa. Calcule para que o volume dessa caixa seja máximo.
1 Representamos graficamente os dados
2Função a ser otimizada
3Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Porém, 
não é válido, pois 
Ao calcular para 
, obtemos V''(10) <0[/latex]
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for menor que zero, então a função possui um máximo relativo.
Uma folha de papel deve ter 
de texto impresso, margens superior e inferior de 
de altura e margens laterais de 
de largura. Determine, de forma justificada, as dimensões que minimizam a área da folha de papel.
1 Representamos graficamente os dados
2Função a ser otimizada
3Relacionamos as variáveis:
4Substituímos na função:
5Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero (basta considerar o numerador) e calculamos as raízes
Porém, 
não é válido
6Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Ao calcular para 
, obtemos 
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Otimização da produção e dos lucros
O valor de um rubi é proporcional ao quadrado de seu peso. Divida um rubi de 
em duas partes, uma de gramas e outra de 
gramas, de modo que a soma dos valores dos dois rubis formados seja mínima.
1Função a ser otimizada
2Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
A cotação das ações de uma determinada empresa, supondo que a Bolsa funcione todos os dias de um mês de 30 dias, é dada pela seguinte função:
.
Determine as cotações máxima e mínima.
1Derivamos
2Igualamos a zero e calculamos as raízes
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, pelo critério da segunda derivada, temos um máximo no 3º dia e um mínimo no 27º dia.
A cotação das ações de uma determinada empresa, supondo que a Bolsa funcione todos os dias de um mês de 30 dias, é dada pela seguinte função:
.
Determine as cotações máxima e mínima.
1Derivamos
2Igualamos a cero y calculamos las raíces
3Realizamos la derivada segunda para comprobar el resultado obtenido
De este modo, por el criterio de la segunda derivada se tiene un máximo a los 5 días y un mínimo a los 30 días.
A cotação das ações de uma determinada empresa, supondo que a Bolsa funcione todos os dias de um mês, é dada pela seguinte função:
.
Determine as cotações máxima e mínima.
1Derivamos
2Igualamos a zero e calculamos as raízes
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, pelo critério da segunda derivada, temos um máximo no 10º dia e um mínimo no 15º dia.
O lucro líquido mensal, em milhões de euros, de uma empresa que fabrica ônibus
é dado pela função:
em que é o número de ônibus fabricados em um mês.
1 Calcule a produção mensal que maximiza o lucro.
2 Calcule o lucro máximo correspondente a essa produção.
1Função a ser otimizada
2Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Problemas de otimização na horta
Quais são as dimensões de um terreno retangular com área de 
para que seja possível cercá-lo com uma cerca de comprimento mínimo?
1Função a ser otimizada
Relacionamos as variáveis
Substituímos na função
2Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Quais são as dimensões de um terreno retangular com área de para que seja possível cercá-lo com uma cerca de comprimento mínimo, sabendo que um de seus lados está localizado às margens de um rio?
1Função a ser otimizada
Relacionamos as variáveis
Substituímos na função
2Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Um agricultor deseja delimitar um terreno retangular de 
. O terreno deve ser cercado e dividido em duas partes iguais por meio de uma cerca paralela a dois de seus lados. Quais são as dimensões do terreno que utilizam a menor quantidade de cerca?
1Consideramos o terreno com base 
e altura . A função a ser otimizada é
Relacionamos as variáveis
Substituímos na função
2Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Um agricultor deseja delimitar um terreno retangular de . O terreno deve ser cercado e dividido em três partes iguais por meio de cercas paralelas a dois de seus lados. Quais são as dimensões do terreno que utilizam a menor quantidade de cerca?
1Consideramos o terreno com base 
e altura . A função a ser otimizada é
Relacionamos as variáveis
Substituímos na função
2Derivamos, igualamos a zero e calculamos as raízes
Igualamos a zero e calculamos as raízes
Portanto, 
3Calculamos a segunda derivada para verificar o resultado obtido
Desse modo, o critério da segunda derivada afirma que, se a segunda derivada for maior que zero, então a função possui um mínimo relativo.
Uma horta possui atualmente 
árvores, que produzem 
frutos cada uma.
Estima-se que, para cada árvore adicional plantada, a produção de cada árvore diminua em 
frutos.
Calcule:
1 A produção atual da horta.
2 A produção de cada árvore caso sejam plantadas mais árvores.
3 A produção total da horta caso sejam plantadas mais árvores.
4 Qual deve ser o número total de árvores na horta para que a
produção seja máxima?
1 A produção atual da horta.
Produção atual: 
frutos.
2 A produção de cada árvore caso sejam plantadas mais árvores.
Se forem plantadas mais árvores, a produção de cada árvore será: 
.
3 A produção total da horta caso sejam plantadas mais árvores.
4 Qual deve ser o número total de árvores na horta para que a produção seja máxima?
Igualamos a derivada a zero
Calculamos a segunda derivada
ou 
árvores.
Resumir com IA:
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