Definição de valor absoluto
O valor absoluto é uma função, representada por 
definida em todos os números reais e que associa a cada número real o seu respectivo valor positivo.
Por exemplo, para um número real positivo 
seu valor absoluto 
será igual a ele mesmo, ou seja, 
Enquanto que, para um número real negativo 
terá como valor absoluto a portanto 
Funções definidas por partes
Uma função definida por partes é uma função que possui definições diferentes em “partes” (ou conjuntos de números) distintos. Por exemplo,
é uma função definida por partes.
Como podemos observar, definimos de maneira simples a função valor absoluto representando-a como uma função definida por partes. Essa é uma técnica comum ao estudar funções com valor absoluto, pois, ao escrevê-las como funções definidas por partes, fica mais fácil representá-las graficamente e compreender seu comportamento.
Transformação em função definida por partes
As funções com valor absoluto são transformadas em funções definidas por partes seguindo os seguintes passos:
- Iguala-se a zero a função, sem o valor absoluto, e calculam-se suas raízes.
- Formam-se intervalos com as raízes e avalia-se o sinal em cada intervalo.
- Define-se a função por partes, levando em conta que, nos intervalos em que a expressão dentro do valor absoluto é negativa, troca-se o sinal da função.
- Representa-se a função resultante.
Exemplos
Resolveremos os seguintes problemas utilizando os passos anteriores.
1. Transformar a função valor absoluto 
em uma função definida por partes
Passo 1. Devemos igualar a zero a função, sem o valor absoluto, e calcular as raízes da equação resultante.
Igualando a zero
e somando 3 nos dois lados da igualdade anterior, 
temos que 
. Nesse caso, 3 é raiz da equação.
Passo 2. Formam-se intervalos com a raiz e avalia-se o sinal em cada intervalo.
Como o valor da raiz é 
3, esse será nosso ponto de referência. Como vemos na figura, a expressão será positiva quando tomarmos valores de 
maiores que 
e negativa quando tomarmos valores de menores que .
Passo 3. Definimos a função por partes, levando em conta que nos intervalos em que a expressão é negativa troca-se o sinal da função.
Passo 4. Finalmente, podemos representar a função graficamente. Como 3 é a raiz da nossa equação inicial, ele será nosso ponto de referência. Portanto, a função será decrescente para valores menores que e crescente para valores maiores que como pode ser observado na figura.
2. Transformar a função valor absoluto 
em uma função definida por partes
Passo 1. Igualamos a zero a função, sem o valor absoluto, e calculamos suas raízes.
Nesse caso, nossa equação é 
e utilizando a fórmula para resolver equações do segundo grau,
onde 
e 
Assim, temos que
Passo 2. Formam-se intervalos com as raízes e avalia-se o sinal em cada intervalo.
Ao avaliar a equação em diferentes valores, por exemplo para 
e
temos que
Isso significa que a equação assume valores negativos para 
e valores positivos para 
e 
como vemos na figura.
Passo 3. Com base nas informações anteriores, podemos definir a função por partes, levando em conta que nos intervalos em que a expressão é negativa troca-se o sinal da função.
Passo 4. Finalmente, representamos a função graficamente.
Como a função é quadrática, o gráfico deve ser semelhante a uma parábola. Precisamos apenas considerar os intervalos em que a função é positiva, negativa e onde ela se anula.
Podemos observar como o gráfico coincide com as informações obtidas anteriormente.
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