As funções exponenciais são aquelas em que a variável independente aparece no expoente, por exemplo:
Existem diversos modelos matemáticos que nos permitem descrever alguns fenômenos por meio de uma função exponencial.
Decaimento radioativo
Em uma amostra de um fóssil, foi detectado que 0,003% do carbono presente é Carbono 14 
. Sabendo que o 
representa 1% do carbono presente em um ser vivo e que a meia-vida do é de 5.730 anos, qual é a idade aproximada do fóssil?
1 Para o decaimento radioativo, vale a seguinte função exponencial:
Onde:
é a quantidade do isótopo radioativo no instante 't'
é a quantidade inicial de na amostra
é a meia-vida do isótopo radioativo, em anos.
é o tempo decorrido, em anos.
2 Isolamos a variável da função exponencial.
3 Substituímos os dados e efetuamos os cálculos para obter o valor de .
4 O fóssil tem 48.022 anos de antiguidade.
Sabe-se que a quantidade de um material radioativo é dada por 
. Se, inicialmente, há 100 mg de material e, após dois anos, observa-se que 10% da massa original se desintegrou, determine a expressão que representa a quantidade de massa no instante .
1 Para o decaimento radioativo, vale a seguinte função exponencial:
Onde:
é a quantidade de material radioativo no instante .
é a quantidade inicial de material radioativo.
é uma constante.
é o tempo decorrido, em anos.
2 Isolamentos a constante da função exponencial.
3 Substituímos os dados e efetuamos os cálculos para obter o valor de .
4 A quantidade de material radioativo no instante é: 
Sabe-se que a quantidade de um material radioativo é dada por 
. Se, inicialmente, há 100 mg de material, quanto tempo é necessário para que 15% do material inicial se desintegre?
1 Para o decaimento radioativo, vale a seguinte função exponencial:
2 Isolamos o tempo da função exponencial.
3 Substituímos os dados e efetuamos os cálculos para obter o valor de .
anos.
Determine a expressão da meia-vida de um material radioativo, sabendo que sua quantidade é dada por:
1 Para o decaimento radioativo, vale a seguinte função exponencial:
Onde:
é a quantidade de material radioativo no instante .
é a quantidade inicial de material radioativo.
é uma constante.
é o tempo decorrido, em anos.
é a quantidade correspondente à meia-vida do material, ou seja, metade da quantidade inicial.
2 Substituímos a quantidade correspondente à meia-vida do material e, para determinar a meia-vida, isolamos o tempo da função exponencial.
3 Assim, a expressão para a meia-vida do material radioativo é:
Um material radioativo sofre a desintegração de um terço de sua massa em 200 anos. Determine a meia-vida desse material radioativo.
1 Para o decaimento radioativo, vale a seguinte função exponencial:
Onde:
é a quantidade de material radioativo no instante .
é a quantidade inicial de material radioativo.
é uma constante.
é o tempo decorrido, em anos.
2 Isolamos a constante da função exponencial.
3 Substituímos os dados e efetuamos os cálculos para obter o valor da constante .
4 Assim, a meia-vida do material radioativo é:
anos.
Crescimento populacional
Uma população de bactérias cresce de acordo com a função 
, em que o tempo é dado em horas. Quantas bactérias haverá após 5 horas?
1 Como a função que representa a população está em função do tempo, substituímos 
2 Assim, após 5 horas, haverá aproximadamente 85 bactérias.
Uma população de bactérias cresce de acordo com a função 
, em que o tempo é dado em minutos. Quanto tempo deve decorrer para que a população atinja 15.000 bactérias?
1 Primeiro, isolamos .
2 Substituímos os dados e efetuamos os cálculos para determinar o valor de .
3 Devem decorrer 334 minutos, ou 5 horas e 34 minutos, para que a população atinja 15.000 bactérias.
Uma população de bactérias cresce de acordo com a função 
, em que o tempo é dado em minutos. Quantas bactérias haverá após 1,5 hora?
1 Como a função que representa a população está em função do tempo, substituímos 
hora, que corresponde a 90 minutos.
2 Assim, após 1,5 hora, haverá aproximadamente 907 bactérias.
Sabemos que a quantidade de insetos, 
, após anos é dada por uma função exponencial do tipo 
. Um grupo de biólogos estimou que a população cresceu 20% nos últimos 3 anos e sabe que, se a população aumentar 70% em relação à população inicial, ela se tornará uma praga. Em quantos anos estima-se que a população de insetos se torne uma praga?
1 Como não conhecemos o valor da constante , devemos utilizar os dados fornecidos para determiná-la. Assim, primeiro isolamos .
2 Substituímos os dados e efetuamos os cálculos para determinar o valor de .
3 Assim, a função exponencial é:
4 Isolamos a variável .
5 Substituímos a condição 
e efetuamos os cálculos.
6 A população terá crescido 70% após 8,72 anos.
O crescimento da população humana pode ser descrito por uma função de crescimento logístico. Para a população de uma ilha caribenha, sabe-se que ela se ajusta à função 
, e 
corresponde à população que havia na ilha no ano 2000.
- Quantos habitantes haverá em 2025?
- Em quantos anos a população dobrará em relação à população que havia em 2020?
a Quantos habitantes haverá em 2025?
1 Substituímos 
na função e efetuamos os cálculos
b Em quantos anos a população dobrará em relação à população que havia em 2000?
1 Calculamos 
2 Isolamos a variável .
3 Substituímos 
4 A população dobrará aproximadamente no ano de 2060.
Lei do resfriamento de Newton
A água é aquecida até atingir uma temperatura de 
e é deixada para esfriar em um ambiente frio. Se a função que descreve a temperatura da água é 
, em que o tempo é dado em minutos, qual será a temperatura da água após 10 minutos?
1 Substituímos os dados conhecidos na função da temperatura e efetuamos os cálculos.
2 Assim, a água terá uma temperatura de 
Pedro retira do forno um pão que está a uma temperatura de 
. Se a função que representa a temperatura é 
, em que é medido em minutos, qual será a temperatura do pão 15 minutos após ser retirado do forno?
1 Substituímos os dados conhecidos na função da temperatura e efetuamos os cálculos.
2 Assim, o pão terá uma temperatura de 
Um objeto metálico está a uma temperatura de 
. Se a função que representa a temperatura é 
, em que é medido em minutos e 28 representa a temperatura ambiente, em quanto tempo o objeto atingirá uma temperatura de 
?
1 Isolamos o tempo e substituímos os dados quando 
.
2 Assim, o objeto levará 12,2 minutos para atingir a temperatura de 
.
Uma xícara de café, logo após ser preparada, está a uma temperatura de 
. Se a função que representa a temperatura é 
, em que é medido em minutos e 25 representa a temperatura ambiente, em quanto tempo a xícara de café atingirá uma temperatura de 
?
1 Isolamos o tempo e substituímos os dados quando 
.
2 Assim, a xícara de café levará 6 minutos para atingir a temperatura de 
.
A temperatura corporal de uma pessoa é de 37 °C. Sabe-se que, quando uma pessoa falece, são necessárias, em média, 20 horas para que sua temperatura corporal atinja 27 °C, se a temperatura ambiente permanecer em 25 °C. Considerando que o corpo humano obedece à Lei do resfriamento de Newton:
Sendo 
a temperatura após horas e 
a temperatura ambiente.
Um médico-legista observa que a temperatura de uma pessoa que faleceu é de 29 °C e que a temperatura ambiente permaneceu em 25 °C desde o falecimento. Se o relógio do médico marca 19h, a que horas se estima que ocorreu o falecimento?
1 Com os dados fornecidos pelo problema, podemos calcular o valor das constantes e . Primeiro, avaliamos a função em
2 Isolamos a constante e substituímos os dados quando 
3 A partir da função obtida, isolamos e substituímos os dados quando 
Passaram-se aproximadamente 12,26 horas.
4 A pessoa faleceu um pouco antes das 7h.
Juros compostos
Maria investe 900 reais a uma taxa de juros anual de 5%. Qual será o seu capital após 2 anos?
1 A fórmula para calcular os juros compostos é
2 Substituímos os dados para calcular o capital final.
Pedro investe 850 reais a uma taxa de juros anual de 6%. Em quanto tempo ele terá 1.000 reais?
1 Isolamos a variável da função.
2 Substituímos os dados para obter o valor de .
3 São necessários mais de 6 anos para que o capital atinja 1.000 reais
São investidos 400 reais e, ao final de 2 anos, obtêm-se 500 reais. Qual é a taxa de juros anual?
1 Isolamos a variável 
da função.
2 Substituímos os dados para obter o valor de .
3 Assim, a taxa de juros é de 12% ao ano.
São investidos 981 reais e, ao final de 3 anos, obtêm-se 1.200 reais. Qual é a taxa de juros anual?
1 Isolamos a variável da função.
2 Substituímos os dados para obter o valor de .
3 Assim, a taxa de juros é de 7% ao ano.
Uma pessoa investe um capital de 3.200 euros em um banco que oferece uma taxa de juros anual de 7,5%.
- Qual será o seu capital após 3 anos?
- Em quantos anos ela terá um capital de 5.000 euros?
a Qual será o seu capital após 3 anos?
1 A fórmula para calcular os juros compostos é
2 Substituímos os dados para calcular o capital final.
3 Após 3 anos, o capital será de 3.975 reais.
b Em quantos anos ela terá um capital de 5.000 reais?
1 Isolamos a variável da função.
2 Substituímos os dados para obter o valor de .
3 São necessários mais de 6 anos para que o capital atinja 5.000 reais.
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