Uma função racional é aquela definida por um quociente de polinômios, isto é,
com 
y 
sendo polinômios sem fatores comuns entre si.
É importante observar que toda função polinomial é uma função racional, bastando considerar 
. No entanto, uma função racional nem sempre é uma função polinomial.
Exemplo: as funções de proporcionalidade inversa, cuja equação é:
Seus gráficos são hipérboles. Também são hipérboles os gráficos das funções
com 
Domínio de funções racionais
Diferentemente das funções polinomiais, cujo domínio é formado por todos os números reais 
, as funções racionais são definidas para todos os valores de 
em que o denominador 
, ou seja,
Exemplo: Para a função racional
,
temos que 
. Portanto, seu domínio é:
,
que, expresso em intervalos, é
Assíntotas
Os valores de para os quais o denominador da função racional é igual a zero dão origem às assíntotas verticais. Ou seja, as assíntotas verticais são as retas 
que satisfazem
Para encontrar as assíntotas oblíquas 
utilizamos
Exemplo: Para a função racional
Calculamos a assíntota vertical, buscando o valor que torna o denominador igual a zero:
Calculamos a assíntota oblíqua, para isso, buscamos
trata-se, na verdade, de uma assíntota horizontal, dada por
Interseções com os eixos coordenados
Para encontrar a interseção com o eixo 
, devemos igualar a função a zero e encontrar os valores de , isto é, 
.
Para encontrar a interseção com o eixo 
, devemos calcular o valor da função em , isto é, 
.
Exemplo: Para a função racional
não há interseções com os eixos coordenados, pois ambos são assíntotas da função.
Comportamento no infinito
Para determinar o comportamento no infinito, basta calcular os seguintes limites:
Exemplo: O comportamento da função
no infinito é
Portanto, no infinito, a função tende a zero, isto é, o gráfico da função se aproxima cada vez mais do eixo , como pode ser observado em sua representação gráfica.
Continuidade
Se o denominador não for igual a zero para nenhum valor de , então a função é contínua em todos os seus pontos.
Os valores de para os quais é igual a zero são pontos de descontinuidade da função racional. Assim, a função racional não é contínua nas assíntotas verticais.
Exemplo: A função racional
não é contínua em .
Singularidades
Esses pontos são obtidos derivando a função racional e igualando sua derivada a zero. Os valores nos quais a derivada se anula são conhecidos como pontos críticos. Nesses pontos, a função pode atingir um máximo ou mínimo relativo.
Nem todas as funções racionais possuem máximos ou mínimos em seu domínio.
Exemplo: A função
não possui máximos nem mínimos em seu domínio.
Para verificar isso, calculamos a derivada:
Como a derivada não se anula em nenhum ponto do domínio da função, concluímos que a função não possui máximos nem mínimos em seu domínio.
Exercícios de funções racionais
Determine o gráfico, o domínio, as assíntotas, as interseções com os eixos coordenados, o comportamento no infinito, a continuidade e as singularidades das seguintes funções racionais.
1 
Solução
1 O gráfico da função é:
2 Domínio da função
Temos 
. Portanto, seu domínio é
,
que, expresso em intervalos, é
3 Assíntotas
Calculamos a assíntota vertical, buscando os valores que tornam o denominador igual a zero. Assim, a assíntota vertical é
Calculamos a assíntota oblíqua, para isso, buscamos
Como 
, trata-se de uma assíntota horizontal, dada por
4 Interseções com os eixos coordenados
Não há interseções com os eixos coordenados, pois ambos são assíntotas da função.
5 Comportamento no infinito
Calculamos
por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función
6 Continuidade
A função possui uma assíntota vertical em
Logo, a função não é contínua em
7 Singularidades
A função não possui máximos nem mínimos em seu domínio.
Para verificar isso, calculamos a derivada:
Como a derivada não se anula em nenhum ponto do domínio da função, concluímos que a função não possui máximos nem mínimos em seu domínio.
2 
Solução
1 O gráfico da função é:
2 Domínio da função
Temos que 
que nunca se anula no conjunto dos números reais. Portanto, seu domínio é
,
que, expresso em intervalos, é
3 Assíntotas
Calculamos as assíntotas verticais, buscando os valores que tornam o denominador igual a zero. Calculamos as assíntotas oblíquas, para isso, buscamos
trata-se de uma assíntota horizontal, dada por
4 Interseções com os eixos coordenados
Não há interseção com o eixo coordenado ,pois a função nunca assume o valor zero.
A interseção com o eixo coordenado é:
5 Comportamento no infinito
Calculamos
Portanto, no infinito, a função tende a zero, isto é, o gráfico da função se aproxima cada vez mais do eixo , como pode ser observado em sua representação gráfica.
6 Continuidade
A função não possui assíntota vertical, portanto é contínua em todo o seu domínio
7 Singularidades
Calculamos a derivada
Igualando a derivada a zero, obtemos o ponto crítico
Calculamos a segunda derivada:
Avaliamos o ponto crítico da segunda derivada
Assim, a função possui um valor máximo em
Resumir com IA:
Gostou desse artigo? Deixe uma nota!
Loading...
