O processo de otimização
Otimizar uma função consiste em determinar seus valores máximos e mínimos. Isso significa encontrar os valores do domínio para os quais a função atinge seus valores máximo e mínimo.
O processo de otimização é uma das aplicações mais importantes das derivadas. Por isso, é útil conhecer as derivadas mais comuns e utilizadas. A seguir, apresentaremos um passo a passo para resolver problemas de otimização e veremos vários exemplos.
- A partir das condições do problema, identificar ou estabelecer a função que deve ser maximizada ou minimizada.
- Se o problema envolver mais de uma variável, estabelecer equações que relacionem as diferentes variáveis.
- Isolar uma das variáveis em uma das equações e substituí-la na função, de modo a obter uma função de uma única variável.
- Determinar os extremos locais. Para isso, devemos igualar a primeira derivada da função a zero e resolver a equação resultante.
- Calcular a segunda derivada para verificar o resultado obtido.
Exercícios propostos
Entre todos os triângulos isósceles com perímetro de 
, determine as medidas dos lados daquele que possui a maior área.
A função que precisamos otimizar ou, mais especificamente, maximizar é a função que representa a área do triângulo.
Como o triângulo é isósceles, sua base mede 
, e podemos calcular sua altura utilizando o teorema de Pitágoras. Assim, obtemos:
Sabendo que o perímetro do triângulo é de 
, podemos relacionar as variáveis:
Podemos substituir esse resultado na função:
Para determinar os extremos locais, calculamos a derivada, igualamos a zero e encontramos as raízes da equação.
Por fim, podemos verificar o resultado utilizando o teste da segunda derivada.
Lembre-se de que, se a segunda derivada for negativa, teremos um máximo local. Se for positiva, teremos um mínimo local.
Assim, calculamos a segunda derivada e a avaliamos em 
, pois descartamos a solução 
, já que um triângulo não pode ter um lado de medida zero.
temos um ponto de máximo.
A base 
mede 
, e os lados congruentes 
também medem . Portanto, o triângulo de área máxima é um triângulo equilátero.
Recortando um quadrado de lado 
em cada canto de uma folha de papelão de dimensões 
e fazendo as dobras necessárias (veja a figura), constrói-se uma caixa. Determine o valor de para que o volume dessa caixa seja máximo.
Primeiro, devemos determinar a função que será otimizada. Essa função representa o volume da caixa, que possui lados de medidas 
e 
e altura . Assim, nossa função é:
Observe que, nesse problema, temos apenas uma variável. Portanto, podemos passar diretamente à determinação dos extremos locais.
Lembre-se de que, para isso, devemos calcular a derivada da função e igualar a expressão resultante a zero.
Podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara:
Assim, obtemos as duas soluções:
Observe que a solução 
não é válida, pois a medida do lado seria negativa.
Dessa forma, nosso único ponto crítico válido é 
.
Calculando a segunda derivada da função 
e avaliando-a em , obtemos:
.
Uma folha de papel deve conter uma área de texto impresso de 
, com margens superior e inferior de 
e margens laterais de 
. Determine, justificando sua resposta, as dimensões que minimizam a área da folha de papel.
A função que devemos minimizar é dada pela área da folha de papel:
Agora, a partir das condições do problema, devemos estabelecer equações que relacionem as variáveis.
Observando a figura e sabendo que a área destinada ao texto impresso deve ser de 
, podemos concluir que:
Isolando 
, obtemos:
Substituindo essa expressão na função 
, temos:
Agora, podemos calcular a derivada da função para determinar os extremos locais:
Igualamos a derivada a zero:
Isso significa que devemos resolver a equação:
Observe que:
Portanto, as soluções são 
e 
.
Devemos descartar a solução , pois uma dimensão não pode ser negativa.
Assim, temos apenas um ponto crítico válido para o problema. Como a função é decrescente para , concluímos que a área mínima ocorre em , sem a necessidade de calcular a segunda derivada.
Substituindo esse valor na expressão de , obtemos:
Portanto, as dimensões que minimizam a área da folha de papel são 
de largura e 
de altura.
Decomponha o número 44 em duas parcelas de modo que a diferença entre o quíntuplo do quadrado da primeira e o sêxtuplo do quadrado da segunda seja mínima.
Primeiro, estabelecemos a equação que devemos resolver e otimizar.
Chamaremos o primeiro número de e o segundo número de .
Como o quíntuplo do quadrado do primeiro menos o sêxtuplo do quadrado do segundo deve ser mínimo, nossa função é 
Relacionamos as duas variáveis por meio da condição de que 
é decomposto na soma de dois números, ou seja, 
Em seguida, substituímos o valor de e obtemos 
Calculando a derivada da função , temos 
Por fim, devemos resolver a seguinte equação 
, obtendo a solução 
Também podemos determinar o valor de , 
.
Portanto, 
é a solução do nosso problema.
Aplicando o teste da segunda derivada, temos 
, o que indica que é um ponto de mínimo da função .
O valor de um diamante é proporcional ao quadrado de seu peso. Divida um diamante de 2 g em duas partes, de modo que a soma dos valores dos dois diamantes obtidos seja mínima.
Suponha que seja o peso de um diamante. Como o valor do diamante é proporcional ao quadrado de seu peso, então o valor do nosso diamante deve ser dado por 
, em que 
é uma constante positiva de proporcionalidade.
Ao dividir um diamante de 
em duas partes de pesos e , temos uma equação que relaciona não apenas os pesos das partes, mas também seus valores, 
Dessa forma, os valores de cada uma das partes são 
A função que desejamos otimizar é dada pela soma desses valores, 
Para determinar os valores extremos dessa função, devemos calcular a derivada e igualá-la a zero, 
Como podemos observar, obtivemos uma solução 
para o nosso problema.
Para verificar se essa solução corresponde a um valor mínimo, calculamos a segunda derivada e verificamos se ela é positiva. De fato, 
Dessa forma, o diamante deve ser dividido em duas partes iguais de 1 g.
Uma boia, formada por dois cones retos de ferro unidos por suas bases, deve ser construída a partir de duas chapas circulares de 3 m de raio. Determine as dimensões da boia para que seu volume seja máximo.
A função que precisamos maximizar é o dobro do volume de um cone. Assim, 
Como suas bases são construídas a partir de duas chapas circulares de raio 
, temos que a equação que relaciona as variáveis é 
Substituindo na função , obtemos 
Agora, calculamos a derivada de e a igualamos a zero para determinar os valores extremos, 
Resolvendo a equação anterior, obtemos:
Por fim, devemos avaliar a segunda derivada em 
para verificar se nesse ponto obtemos um máximo para a função volume.
.
Deseja-se fabricar uma lata de conserva cilíndrica (com tampa) com capacidade de 1 litro. Quais devem ser suas dimensões para que seja utilizada a menor quantidade possível de metal?
A partir do enunciado, podemos concluir que devemos minimizar a função que representa a área da lata cilíndrica, dada por 
Como a lata deve ter capacidade de um litro, seu volume é igual a 
. Portanto, 
Em seguida, isolando 
, obtemos 
Calculando a derivada da função 
, temos 
Para determinar os valores extremos, igualamos a expressão anterior a zero e isolamos 
.
Em seguida, podemos determinar o valor de utilizando o valor de . Assim, 
Aplicando o teste da segunda derivada, temos:
Portanto, com 
, obtemos as dimensões da lata que minimizam sua área.
Temos um arame de 
de comprimento e desejamos dividi-lo em duas partes para formar um círculo com uma delas e um quadrado com a outra. Determine o comprimento de cada parte para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja mínima.
Se o quadrado tem lado 
e o círculo tem raio , então a função que devemos otimizar é: 
Como o arame tem comprimento de , a soma dos perímetros do círculo e do quadrado nos fornece a equação que relaciona as variáveis, 
Substituindo na função , obtemos: 
O próximo passo é calcular a derivada da função e igualá-la a zero para determinar os valores extremos, 
Com esse valor de , podemos concluir que o comprimento da parte destinada ao círculo é 
e o comprimento da parte destinada ao quadrado é 
A última etapa para determinar o mínimo, como sempre nesse tipo de problema, é calcular a segunda derivada e verificar se ela é positiva para os valores encontrados: 
Um setor circular tem perímetro de 
. Calcule o raio e a medida do ângulo central do setor de maior área.
A função que devemos otimizar é a que representa a área do setor circular. Observando a figura, temos: 
Como o perímetro é de , então 
Substituindo na função , obtemos 
O próximo passo é calcular a derivada da função e igualá-la a zero para determinar um valor extremo, 
Depois de determinar o valor de , podemos calcular os valores de e 
, 
Nesse caso, a segunda derivada de é constante e negativa, 
.
Determine o triângulo isósceles de maior área inscrito em um círculo de raio 
.
A área do triângulo é dada por 
A figura mostra um triângulo retângulo formado pelo raio do círculo, um lado do triângulo e sua altura.
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos 
Substituindo na função , temos 
Como sempre, o próximo passo é calcular a derivada: 
Igualando a zero, concluímos que 
Com esses valores, podemos determinar as seguintes medidas do triângulo:
Base: 
,
Lado: 
Para concluir ou verificar que esses valores correspondem à área máxima, devemos calcular a segunda derivada em 
e obter um valor negativo. De fato, 
Um triângulo isósceles de perímetro 
gira em torno de sua altura, gerando um cone. Qual deve ser a medida da base do triângulo para que o volume do cone seja máximo?
A função que devemos otimizar é definida pelo volume do cone formado pela rotação do triângulo, 
Como o perímetro é de 
e o triângulo gira em torno de sua altura, obtemos, a partir da figura, as seguintes relações:
Combinando essas equações, temos 
Como todas as variáveis estão expressas em função de , podemos substituí-las na função volume, 
O próximo passo é calcular a derivada, 
Igualando a zero, obtemos os seguintes valores para :
E, para a base do triângulo:
Base: .
Para verificar que em 
obtemos um máximo, devemos calcular a segunda derivada de nesse valor e obter um resultado negativo.
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