Exercícios de intervalos de crescimento e decrescimento

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Como saber se uma função é crescente ou decrescente?

Uma função $\text{[math]}$ é estritamente crescente no intervalo $\text{[math]}$ se $\text{[math]}$ para todos os valores de $\text{[math]}$ em $\text{[math]}$ .

Uma função $\text{[math]}$ é estritamente decrescente no intervalo $\text{[math]}$ se $\text{[math]}$ para todos os valores de $\text{[math]}$ em $\text{[math]}$ .

Intervalos de crescimento e decrescimento

Para encontrar os intervalos $\text{[math]}$ onde a função $\text{[math]}$ é crescente ou decrescente, faz-se o seguinte:

1 Derivar a função.

2 Determinar as raízes da derivada primeira, isto é, encontrar os valores de $\text{[math]}$ que satisfazem $\text{[math]}$ .

3 Formar intervalos abertos usando os zeros, ou raízes, da derivada primeira e os pontos de descontinuidade, se houver.

4 Escolher um valor de cada intervalo e verificar o sinal da derivada primeira nesse ponto.

5 Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de acordo com o sinal obtido no passo anterior.

Exercícios propostos

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:

Pontuação:

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada; para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Igualando os fatores a zero, temos que a raiz é $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com os zeros da primeira derivada; neste caso, não existem pontos de descontinuidade. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

Os intervalos que obtemos são $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ e substituímos na derivada, obtendo

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$

5 Escrevemos os intervalos de crescimento e decrescimento

De crescimento: $\text{[math]}$

De decrescimento: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada; para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Igualando os fatores a zero, temos que as raízes são $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com os zeros da primeira derivada; neste caso, não existem pontos de descontinuidade. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

Os intervalos que obtemos são $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$

5 Escrevemos os intervalos de crescimento e decrescimento

De crescimento: $\text{[math]}$

De decrescimento: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada; para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Igualando os fatores a zero, temos que as raízes são: $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com os zeros da primeira derivada; neste caso, não existem pontos de descontinuidade. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

Os intervalos que obtemos são: $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obteremos

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obteremos

$\text{[math]}$

5 Escrevemos os intervalos de crescimento e decrescimento

De decrescimento: $\text{[math]}$

De crescimento: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada (se existirem), para tal, igualamos a derivada a zero e resolvemos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

não existem valores de $\text{[math]}$ Nos números reais que satisfazem a equação anterior, portanto a derivada primeira não possui raízes. Observamos que a função e sua derivada possuem uma descontinuidade em $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com a descontinuidade; neste caso, não existem zeros da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

intervalos crecientes y decrecientes 4

Os intervalos que obtemos são $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obteremos

$\text{[math]}$

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obteremos

$\text{[math]}$

De decrescimento: $\text{[math]}$

intervalo creciente y decreciente 6

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada (se existirem); para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Não existem valores de $\text{[math]}$ nos números reais que satisfaçam a equação anterior, portanto a derivada primeira não possui raízes. Observamos que a função e sua derivada possuem uma descontinuidade em $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com a descontinuidade; neste caso, não existem zeros da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

Os intervalos que obtemos são $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

intervalos crecientes y decrecientes 5

$\text{[math]}$

Solução

1 Primeiro simplificamos a função e derivamos

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada (se existirem); para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ é o único valor que satisfaz a equação anterior. Observamos que a função possui descontinuidade em $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com as descontinuidades e o zero da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

Intervalo creciente y decreciente 3

Os intervalos que obtemos são: $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

5 Escrevemos os intervalos de crescimento e decrescimento

De crescimento: $\text{[math]}$

De decrescimento: $\text{[math]}$

Intervalo creciente y decreciente 4

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada; para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Igualando os fatores a zero, temos que as raízes são $\text{[math]}$ .

não existem valores de $\text{[math]}$ nos números reais que satisfaçam a equação anterior, portanto a derivada primeira não possui raízes. Observamos que a função e sua derivada possuem uma descontinuidade em $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com a descontinuidade; neste caso, não existem zeros da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

intervalo creciente y decreciente 13

Os intervalos que obtemos são: $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ ,substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

Intervalo creciente y decreciente 2

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada (se existirem); para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

3 Formamos intervalos abertos com os zeros da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

intervalos crecientes y decrecientes 4

Os intervalos que obtemos são: $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos

$\text{[math]}$

De decrescimento: $\text{[math]}$

intervalos de crecimiento y decrecimiento 1

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada (se existirem); para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

3 Formamos intervalos abertos com a descontinuidade; neste caso, não existem zeros da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

intervalo creciente y decreciente 13

Os intervalos que obtemos são: $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

intervalo creciente y decreciente 15

$\text{[math]}$

Solução

1 Derivamos a função

$\text{[math]}$

2 Calculamos as raízes da primeira derivada (se existirem); para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ é o único valor que satisfaz a equação anterior. Observamos que a função e sua derivada possuem descontinuidades em $\text{[math]}$ .

3 Formamos intervalos abertos com as descontinuidades e o zero da derivada. Utilizamos a representação dos pontos na reta real

intervalo creciente y decreciente 16

Os intervalos que obtemos são: $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

4 Tomamos um valor de cada intervalo (pode ser qualquer valor dentro do intervalo) e analisamos o sinal da primeira derivada

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

Para o intervalo $\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$ tomamos $\text{[math]}$ , substituímos na derivada e obtemos:

$\text{[math]}$

De decrescimento: $\text{[math]}$

intervalo creciente y decreciente 18

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Ms. Kessia

As palavras são a minha forma de ver o mundo. Escrevo, traduzo e crio histórias que viajam entre línguas e pessoas. Na Superprof, trabalho com tradução do espanhol e conteúdo editorial em português para a página brasileira, um espaço onde posso unir criatividade, cultura e conexão todos os dias. Between languages, stories and people, that’s where I feel at home, turning ideas into words that connect and inspire. Because every text, when written with care, becomes a bridge between worlds. 🌟

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Perguntas frequentes

O que são intervalos crescentes e decrescentes?

Intervalos crescentes e decrescentes indicam onde uma função aumenta ou diminui.

Um intervalo é crescente quando, ao aumentar o valor de x, o valor da função também aumenta.
Um intervalo é decrescente quando, ao aumentar o valor de x, o valor da função diminui.

Esses intervalos mostram o comportamento da função ao longo do domínio.

Como determinar o intervalo de crescimento e decrescimento de uma função?

Para determinar onde uma função cresce ou decresce, analisa-se o comportamento da função ao longo do intervalo.

Uma função é crescente quando, ao aumentar o valor de x, o valor de f(x) também aumenta.
Ela é decrescente quando, ao aumentar o valor de x, o valor de f(x) diminui.

Em funções mais avançadas, utiliza-se a derivada:
se a derivada for positiva, a função é crescente;
se for negativa, a função é decrescente.

Assim, basta analisar o sinal da derivada nos intervalos para identificar onde a função cresce ou decresce.

Temas

Como saber se uma função é crescente ou decrescente?
Intervalos de crescimento e decrescimento
Exercícios propostos

Exercícios e estudo dos intervalos de crescimento e decrescimento

Como saber se uma função é crescente ou decrescente?

Intervalos de crescimento e decrescimento

Exercícios propostos

Tabela de derivadas

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