Derivadas de funções trigonométricas
Veremos exercícios de derivação de funções trigonométricas e tentaremos escrever o procedimento da forma mais detalhada possível. Será considerado que as derivadas das funções trigonométricas básicas já são conhecidas.
Derive as seguintes funções.
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza 
em vez de 
, é apenas notação.
Dito isso, no nosso exercício utilizaremos 
e 
, então, nossa derivada é
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezees utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza en vez de , é apenas notação.
Observamos que
Vamos resolver nossa derivada
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções,
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções,
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é uma notação
Vamos resolver nossa derivada,
simplificando obtemos,
E podemos concluir,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , apenas como notação.
Dito isso, no nosso exercício utilizaremos e 
, assim, a derivada é
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Derive as seguintes funções.
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções,
a derivada é,
Muitas vezes utiliza en vez de , é apenas notação.
.
Vamos resolver nossa derivada
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é
Muitas vezes utiliza en vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Derivadas de funções compostas de logaritmos e funções trigonométricas
Derive as seguintes funções.
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Antes de derivar, observe que, pelas propriedades dos logaritmos, nossa função pode ser escrita como:
Tomamos
Assim, temos,
Vamos resolver nossa derivada. Começamos por 
Agora derivamos 
Portanto,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada. Primeiro, resolveremos a derivada da função dentro do argumento do seno, isto é, primeiro derivaremos,
Portanto,
Derivadas de funções compostas de exponenciais e funções trigonométricas
Derive as seguintes funções.
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções.
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Além de considerar a regra da cadeia, utilizaremos a derivação implícita, para poder encontrar a derivada de 
.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Além de considerar a regra da cadeia, utilizaremos a derivação implícita, para poder encontrar a derivada de.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Além de considerar a regra da cadeia, utilizaremos a derivação implícita, para poder encontrar a derivada de.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Além de considerar a regra da cadeia, utilizaremos a derivação implícita, para poder encontrar a derivada de.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Primeiro, devido às propriedades dos logaritmos, podemos fazer a mudança de base para logaritmo natural, de onde se segue que,
de onde se segue que,
Dito isso, vamos resolver nossa derivada. Utilizaremos a regra do quociente de funções.
Derivadas sucessivas
Encontre a fórmula geral da n-ésima derivada das seguintes funções.
Para obter a fórmula, primeiro devemos calcular as primeiras derivadas e verificar se encontramos algum padrão.
Observamos que a quarta derivada é uma constante, 
; portanto, a partir da quinta derivada em diante, as derivadas serão sempre zero, isto é
Para obter a fórmula, primeiro devemos calcular as primeiras derivadas e verificar se encontramos algum padrão.
Observemos que, em geral, a n-ésima derivada é dada por,
Para obter a fórmula, primeiro devemos calcular as primeiras derivadas e verificar se encontramos algum padrão.
Observemos que, em geral, a n-ésima derivada é dada por,
Para obter a fórmula, primeiro devemos calcular as primeiras derivadas e verificar se encontramos algum padrão.
Observemos que, com essas primeiras derivadas, obtemos que a n-ésima derivada tem a forma,
Para obter a fórmula, primeiro devemos calcular as primeiras derivadas e verificar se encontramos algum padrão.
Observemos que, em geral, a n-ésima derivada é dada por,
Derivação implícita
Nos exercícios a seguir, faremos a derivação implícita. Esse tipo de derivação costuma ocorrer quando não conseguimos isolar uma variável em função de outra. Assim, derivamos as variáveis em relação à mesma variável independente, isto é, a derivada de será escrita como 
sempre que precisar aparecer.
Vamos proceder derivando implicitamente. A função é,
derivando obtemos,
Vamos escrever a derivada de um jeito mais simples,
Vamos deixar os termos com do lado esquerdo da expressão
Podemos isolar do lado esquerdo
Portanto, a derivada é,
Vamos proceder derivando implicitamente. A função é,
derivando obtemos,
Vamos deixar os termos com do lado esquerdo da expressão,
Portanto, a derivada é,
Vamos proceder derivando implicitamente. A função é,
derivando obtemos,
Podemos isolar do lado esquerdo,
Portanto, a derivada é,
Vamos proceder derivando implicitamente. A função é,
derivando obtemos,
Vamos escrever a derivada de um jeito mais simples,
Vamos deixar os termos com do lado esquerdo da expressão
Podemos isolar do lado esquerdo
Portanto, a derivada é,
Primeiro, vamos escrever nossa expressão de uma forma um pouco mais conveniente, depois começamos a derivar,
Derivamos,
Simplificamos,
Observe que podemos fatorar do lado direito,
Temos como resultado,
Problemas adicionais de derivação
Derive as seguintes funções.
Para obter essa derivada, vamos usar a fórmula da derivada do quociente de funções.
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é
Muitas vezes utiliza em vez de , é só notação.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções,
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é só notação.
Dito isso, vamos resolver nossa derivada,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é só notação.
.
Antes de resolver, vamos aplicar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão e deixá-la mais simples.
Dito isso, a derivada de uma constante é imediata,
Para obter a derivada, utiliza-se a regra da cadeia, em que, dada a composição de duas funções
a derivada é,
Muitas vezes utiliza em vez de , é apenas notação.
Dito isso, vamos resolver a derivada
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