"Não se preocupe muito com as suas dificuldades em matemática. Posso assegurar-lhe que as minhas são ainda maiores!"
Albert Einstein (1879-1955)

Uma coisa que muita gente esquece: o homem só foi à Lua por causa da matemática! Apesar disso, muitos alunos não conseguem se interessar por essa matéria da área de exatas...

Não gostar de matemática é algo comum porque muitos de nós foram encorajados a vê-la como uma algo difícil, chato e inútil. Culpa da escola? Culpa do professor?

A maior dificuldade de estudar e aprender matemática nem sempre está associada à aquisição dos conceitos e sim, à falta de interesse que a maioria dos alunos demonstra pela disciplina.

Umas das características dessa disciplina é que ela é acumulativa, ou seja,  se você não aprendeu nada da matéria nos anos anteriores, você terá muita dificuldade em aprender o que será ensinado nos anos seguintes. Dessa forma, se o problema começa nos anos iniciais do ensino fundamental, ele se estenderá até o final do ensino médio.

Se as dificuldades em aprender matemática começam cedo, o melhor é procurar uma aula de reforço.

Para aprender matemática é preciso se manter instigado, curioso e fascinado por resultados. A matemática, embora seja uma ciência exata, não é óbvia. É preciso gostar de descobertas e ser lógico na forma de refletir.

Ciência cheia de mistérios, a matemática ainda não foi completamente decifrada: existe muito o que se estudar e descobrir dentro deste universo de fórmulas, números, constantes e variáveis.

Você - ou o seu filho - é daqueles que está começando aulas de matemática para não ficar para trás na escola e procura por mais informação específica sobre a matéria?
Ou então o curso de matematica extraclasse escolhido não anda sendo o suficiente e uma pesquisa a mais é necessária?
Então você veio parar no lugar certo!

Para acalmar o seus ânimos e te mostrar que aprender matemática pode ser prazeroso, Superprof preparou essa matéria especialmente para você que anda à procura de dicas sobre assuntos como o famoso "número de Néper". No texto de hoje, você vai entender um pouco mais sobre a história do número "e" na matemática, assunto ainda extremamente abstrato para muitos estudantes.

O que é o número E em matemática?

Procurando por um professor de apoio?

O número e é um número irracional.
O que isto quer dizer?

Segundo o dicionário Michaelis,

irracional
ir·ra·ci·o·nal
adj m+f
  1. Que não é racional, que é oposto à razão; ilógico.
  2. Que não raciocina ou que não tem a faculdade do raciocínio; insensato.
  3. (MAT) Diz-se de número que não pode ser expresso como a razão de dois números integrais.
  4. (ÁLG) Diz-se de expressão algébrica cuja incógnita está dentro de um sinal de raiz.
Levando em consideração que estamos falando sobre matemática, a definição que melhor responde à nossa pergunta é a de número 3, ou seja, um "número que não pode ser expresso como a razão de dois números integrais."

Isso quer dizer que e é um número irracional, pois:

  • Não pode ser contado,
  • O número de decimais que o compõe é infinito,
  • Os decimais que o compõe não seguem nenhuma sequência lógica.
Número de Euler
O número e também chamado de número de Neper, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial...

Assim, ele se opõe a um número racional cujo desenvolvimento decimal é chamado periódico, um quociente de dois inteiros cuja escrita decimal pode ser infinita, mas neste caso necessariamente periódica.

Números racionais

Ainda com dificuldades em entender o que é um número racional?

Nós explicamos, mostrando abaixo um número periódico, ou seja, com uma sequência racional:

A relação 2/7 = 0,285714285714285714 ...

Os dígitos após o ponto decimal são uma sequência lógica e recorrente de decimais (a sequência 285714 se repete ao longo da progressão decimal). Portanto, o resultado de 2/7 é um número racional, já que seus números decimais, mesmo que infinitos, seguem uma lógica na hora de se repetirem.

Números irracionais

Como vimos na definição do dicionário Michaelis, os números irracionais são o oposto dos números racionais. Sendo assim, ao compreendermos o que é uma sequência lógica (números que se repetem periodicamente), podemos chegar à conclusão que os números irracionais não a possuem.

Mas como assim?

Nada melhor do que mostrar exemplos para ilustrarmos o que queremos dizer com isso, não é mesmo? E dentro deste exemplo, que tal conhecer os dois números irracionais mais famosos de todos? Estamos falando do número Pi (π) e do número de Néper (e).

Número Pi ou π

O famoso número π é igual a: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 ...

Objeto de pesquisa pelos estudiosos desde a antiguidade, olhando rapidamente a quantidade de números existente após a vírgula - os decimais - conseguimos perceber que eles não se repetem periodicamente. Sendo assim, Pi possui decimais infinitos que precisam ser memorizados. Tal tarefa de memorização fica ainda mais difícil quando s sequência deles não seque nenhuma lógica.

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Número e ou Néper

Nosso foco, no entanto, é no número de Néper. Assim como Pi, ele possui uma sequência ilógica de decimais praticamente infinitos.

e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957...

Até hoje, mais de 5.000 trilhões de decimais já foram registrados como fazendo parte da sequência decimal do número de Néper (encontrado em 29 de agosto de 2016 por Ron Watkins).

Somar é sempre mais fácil do que multiplicar!

Como surgiu o número ?

O número e apareceu no século XVII com o desenvolvimento de logaritmos, sob o ímpeto do trabalho de pesquisa do matemático escocês John Napier (1550-1617).

Em seu livro de referência datado de 1614, J. Néper apresenta uma ferramenta para simplificar os cálculos matemáticos: um logaritmo, encontrado no currículo de matemática do ensino médio (ele viria a se tornar o número de Néper).

No século XVII, calculadoras e computadores não existiam. Mesmo assim, a pesquisa matemática acontecia e se desenvolvia a todo o vapor. Para se ter uma ideia, já no século 3 aC, Arquimedes notou que bastava adicionar os números para multiplicar certos números, graças aos poderes (o expoente).

O método de Neper acabou por estender o trabalho de Arquimedes, desenvolvendo um mecanismo para se fazer:

  • adições em vez de multiplicações,
  • subtrações em vez de divisões,
  • divisão por 2 no lugar de extrações de raízes quadradas.

Ou seja, dá para imaginar como isso facilitou a vida dos matemáticos de plantão que não possuíam calculadoras (pois elas não existiam, obviamente). Afinal de contas, é muito mais simples fazer adições e subtrações do que multiplicações e divisões, não é mesmo? Isso sem mencionar as raízes quadradas!

As primeiras tabelas de logaritmos decimais com 8 decimais nasceram.

Por exemplo:

se 103 = 10 x 10 x 10 = 1000
em seguida, log (1000) = 3
e se 10x = y
em seguida, log (y) = x

Sendo assim, o número e permite saber para qual valor o logaritmo natural é igual a 1.

Se ln (x) = y
então x = exp (y)
ou exp (1) = e

Conheça também o número perfeito da matemática!

O percurso do estudo do número E em matemática

E se você fizesse reforço escolar em Manaus?

Professor particular de matemática
Calcule seus lucros utilizando o número de Euler...

No final do século XVII, o número e é definido como a base do logaritmo natural, que foi posteriormente caracterizado pela relação ln (e) = 1, a imagem de 1 pela função exponencial.

Jacques Bernoulli e o número e

O matemático Jacques Bernoulli (1654-1705) interessou-se por descobrir o valor máximo de juros em empréstimos recorrendo à técnica de juros compostos. Como ele fez isso? A explicação é mais simples do que parece: adicionando os juros acumulados tanto quanto possível à quantia inicial depositada, maximiza-se seu ganho.

Quer um exemplo para ficar mais fácil?

Com 1 real emprestado a uma taxa de juros de 100%, se os juros de capital forem calculados anualmente, a dívida é de 2 reais no final do ano.
No entanto, se calcularmos mensalmente, recebemos 2,61 reais no final do ano e 2,71 reais se os juros forem calculados diariamente.

Pode parecer pouco, mas receber 2,71 reais ainda continua sendo melhor do que receber apenas 2, não é mesmo?!

Agora imagine essa diferença em uma aplicação maior? No caso de 100 reais ao invés de 1 real, o retorno com juros calculados diariamente seria de 271 reais ao invés de apenas 200! Neste caso, 71 reais fazem bastante diferença!!!

No entanto, Bernoulli percebeu que o juros composto se estagna à medida em que a frequência de cálculo de juros aumenta. Sendo assim, não adianta achar que se você calcular o juros do seu investimento a cada minuto ou segundo, ele vai aumentar (seguindo a lógica de que o juros aumenta quando calculado diariamente ao invés de anualmente). Isso porque Bernoulli já tentou fazer isso e constatou que, se calculados a cada segundo, o juros é o mesmo que o diário (por exemplo, 2,71 como citado acima).

Através desta demonstração, J. Bernoulli descobria o número e.

Não é preciso ser nenhum Einstein para conseguir seguir um bom curso matemática!

Leonhard Euler e o número e

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) se interessou, mais tarde, pelo resultado da pesquisa de Bernoulli, ou seja, pelo número e.

Na verdade, Euler foi quem deu o nome para ele de "número e", que foi tirado da primeira letra da palavra "exponencial".

L. Euler demonstrou, em 1737, a irracionalidade deste número, utilizando como base o desenvolvimento de uma fração contínua.

Foi ele ainda o responsável por determinar o desenvolvimento da série por meio da fatoração.

Exemplo:

Sabendo que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -
tal que: e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1 / k!

Concluindo: quanto mais aumentamos o valor de k, mais o valor obtido se aproxima de e.

Calma, não se desespere se tudo isso ainda parece complicado. Para aprender matemática é preciso praticar e não apenas ler o que estamos falando. Sendo assim, que tal pedir ao seu professor de matemática para te passar alguns exercícios de fixação sobre o assunto? Temos certeza que quanto mais você praticar essas fórmulas, mais você compreenderá o que estamos falando!

Você conhece todos os segredos por trás dos números primos?

Como o número E é utilizado atualmente?

O primeiro uso do número e, embora não tivesse sido realmente teorizado, foi o de buscar o máximo de ganho aumentando a frequência de cálculo das taxas de juros de um empréstimo. E isso é o que vimos acima quando explicamos e demos exemplos sobre a grande descoberta feita por J. Bernoulli, atualmente chamada de "método de juros compostos em progressão contínua".

Aprenda a calcular usando o número de Euler
Pode-se, com a função exponencial, estimar o crescimento da população mundial no futuro?

Que tal fazer reforço em SP?

Vimos também que o trabalho de L. Euler teve como base a descoberta feita por Bernoulli. No entanto, Euler deu um passo à frente, utilizando e como o número de decimais conhecidos que aumenta de forma constante, ou seja, exponencialmente.

Desenvolvimento do número ao longo dos séculos

Confira abaixo a o desenvolvimento da quantidade de decimais encontrada para o número e ao longo dos séculos:

  • 1748 - e possuía 18 números decimais.
  • 1949 - aumentou para 2.010 números decimais
  • 1978 - 116.000 números decimais
  • 1994 - 10 milhões
  • 1999 - 1,25 bilhões 
  • 2016 - 5.000 bilhões de decimais (!!!).

Por quê e com qual objetivo o número se desenvolve?

Se você leu bem os números acima, então percebeu que houve um salto enorme no cálculo da continuação de E de 1978 para 1994. O motivo para tal avanço é muito simples: o surgimento de computadores! Isso porque o poder da computação que permitiu que esses registros fossem muito além do que um cérebro humano seria capaz de calcular.

Ok, ótimo, mas qual é o objetivo disso tudo?
Por que precisamos de um número com 5.000 bilhões de decimais?

Tal pergunta ronda o pensamento de muitos estudantes, já que quando começamos a revisar os diferentes assuntos da matemática, temos a impressão de que muitos exercícios de matemática são inúteis ou, pelo menos, que não serão usados ​​na vida atual.

Se você também passa por isso, não se preocupe, pois esta é uma sensação completamente normal, que todo estudante certamente já teve (principalmente aqueles que encontram mais dificuldade em aprender matemática).

Conhecer a raiz quadrada de cada número, as equações diferenciais, fatoração e derivação, função exponencial, logaritmo, números complexos, etc., parece inútil quando não conseguimos entender como tudo isso pode ser aplicado na nossa vida quotidiana.

Mas então, como e onde encontrar os campos de aplicação do número e ?

Para simplificar, usamos o número e toda vez que queremos estimar uma grandeza exponencial. Calma, pois não vamos te deixar sem exemplos!

  • Em economia:
    • fenômeno do crescimento exponencial;
    • cálculo dos juros pagos de forma contínua.
  • Em biologia:
    • medir a multiplicação de células vivas em um organismo.
  • Na ciências físicas.
  • Na ciências da computação.
Não, a utilização do número E não é nada de outro mundo!

Exemplo de utilização do número e

Então agora que você já está começando a ficar craque no que diz respeito ao número de Néper, preparamos uma questão surpresa de matemática para testar seus conhecimentos:

Como estimar a evolução da população mundial após 100 anos se aplicarmos um crescimento de 10% ao ano, para uma população inicial de 1.000 indivíduos?

Mais uma vez, não se desespere. Respire fundo, tente voltar nos exemplos acima e aplicar esses novos números nas equações mostradas anteriormente.

Se você conseguiu fazer isso sozinho, PARABÉNS! Agora basta conferir abaixo se o seu desenvolvimento e resultado estão corretos.

Se esse não foi o caso, então acompanhe nossa resolução do problema.

Nós faremos a seguinte operação:

  • Primeiro ano (1000 x 1,1) = 1.100
  • Segundo ano (1100 x 1,1²) = 1.210
  • Quinto ano (1.000 x 1,1 exibidor 5) = 1.610
  • Após 100 anos: (1.000 x 1.1 exibidor 100) = 13.780.612

De acordo com o nosso exemplo, a população, com um crescimento populacional de 10% ao ano, foi multiplicada por 13.780!

Com uma população global de 7,55 bilhões em 2019 e um crescimento populacional de 1,2% ao ano, chegaríamos a 24,88 bilhões na Terra em 100 anos!

Felizmente, a transição demográfica atenua esse cálculo exponencial.

O que você sabe sobre o número zero?

Aulas grátis de matemática para aprender o número E!

O cálculo logarítmico, seja o logaritmo natural e a função exponencial, os limites de uma função ou a derivada, freqüentemente usam o número e, que pode ser difícil de entender para um aluno no ensino médio.

Aluno de matemática sem interesse
Assim fica difícil aprender qualquer coisa, né Brasil?

Ainda que as aulas particulares de matemática com um professor só para você sejam caras demais para um aluno em dificuldades, você ainda pode ter aulas e exercícios online para aprender matemática de graça.

Aqui estão dez sites onde você pode aprender matemática gratuitamente:

1 – Khan Academy
ONG educacional criada e sustentada por Salman Khan. Com a missão de “fornecer educação de alta qualidade para qualquer um, em qualquer lugar”, oferece uma coleção grátis de vídeos de matemática entre outras matérias.

2 – Olimpíada Brasileira de Matemática
Com 30 anos de tradição, a OBM disponibiliza, em seu site, download de provas e gabaritos anteriores.

3 – Calcule Mais
Vídeo aula de matemática e exercícios de matemática desde o ensino fundamental até o ensino superior e concursos públicos.

4 – Aula Livre
No Aulalivre.net, você tem acesso a um curso completo de revisão para vestibular e Enem totalmente grátis.

5 – Site Mais 
Reúne de maneira organizada vários recursos educacionais multimídia disponíveis gratuitamente na internet para uso do professor e do estudante de Matemática.

6 – Só Matemática
São mais de 3.000 páginas de conteúdo, onde você irá aprender Matemática de maneira descontraída, tanto na teoria como na prática.

7 – Matematiquês
Questões, provas, curiosidades, resumos e muito mais sobre Matemática!

8 – Portal Matemática
O portal da matemática é um site que visa auxiliar alunos do ensino fundamental e médio, onde o seu foco principal é o pré-vestibulando e os interessados que visam ingressar na carreira pública através de concursos. (Este site deixou de exibir o conteúdo. Atualizado em 10/08/2017)

9 – Me Salva
O projeto tem a motivação de ajudar estudantes de todo país na compreensão da temida disciplina de cálculo diferencial e integral.

10 – Kuadro
No kuadro, as pessoas aprendem com vídeos e exercícios, trocam conhecimento, tiram dúvidas…enfim, é um grande grupo de estudos.

Curso de matemática com professor particular para entender Néper

Você conseguiu tirar bom proveito das nossas explicações, seguiu algumas aulas de matemática online gratuitamente, mas ainda tem dúvidas sobre o número e tudo mais ligado a ele? Então que tal pensar em investir em um professor particular para ter aula matematica de maneira personalizada?

Já pensou ter um professor de matemático só para você?!

A grande vantagem de ter um profissional dedicado exclusivamente a você é que ele poderá detectar onde a sua dificuldade se encontra. Ao fazer isso, o professor terá a oportunidade de desenvolver exercícios que trabalhem seus pontos fracos, melhorando-os gradualmente.

Mas onde encontrar esse professor dos sonhos?

Aqui no Superprof, é claro!

Além de um blog com matérias que te dão dicas sobre vários assuntos, Superprof é ainda uma grande plataforma que coloca professores de todas as matérias possíveis e imagináveis com contato com alunos desejos em aprender mais.

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  2. Preencha os campos de busca com a matéria desejada (matemática) e a cidade onde você mora;
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  4. Confira a lista de professores disponíveis perto de você.

Com uma lista de profissionais craque no assunto em mãos, agora basta analisar o perfil de cada um deles e entrar em contato com aqueles que mais te interessam. Lembre-se de bater um papo com o educador antes de começar as aulas, pois é importante saber se ele possui as habilidades necessárias para te auxiliar a atingir seus objetivos.

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Lembre-se que fazer uma aula particular de matemática não é um gasto e sim um investimento em seu aprendizado e no seu futuro! Aqui no Superprof você encontra tarifas de aula de matemática que cabem no seu bolso!

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Joseane

Apaixonada por Línguas e Culturas, sou uma viajante assídua que acredita que viajar é a melhor forma de aprender.