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Os perfeitinhos da matemática: qual a importância deles?

De Joseane, publicado dia 07/08/2019 Blog > Apoio Escolar > Matemática > Para que serve os números perfeitos?

A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Descartes)

Se você é uma das pessoas que (como eu) nunca foi muito chegado na matemática, esse artigo pode ser um bom começo para que você comece a mudar a sua visão sobre essa ciência exata.

A matemática existe desde os primórdios dos tempos, uma ciência que servira ao desenvolvimento da humanidade desde a sua descoberta. A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade.

A matemática está em tudo e para todos os lados: a vida está impregnada de matemática! Usamos matemática quando fazemos comparações, usamos matemática cotidianamente em nossos gestos e atitudes de forma consciente ou não. É preciso dizer que toda a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. Não tem mesmo como fugir!

Embora a matemática continue sendo um mistério para muitos de nós, alguns a consideram uma ótima maneira de entender e analisar o mundo que nos cerca (é nerd que fala, não é? risos!) .

Neste artigo completamente dedicado a matemática, você descobrirá uma parte incrível dessa disciplina, aquela que fala sobre os famosos números perfeitos e para que eles realmente servem (alerta de spoiler: os números perfeitos não vão facilitar o seu cotidiano! mas é sempre bom aprender né non?).

Siga-me os bons…e os não tão bons assim…

Para que servem os números perfeitos em matemática?

Em Matemática, um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.

numeros perfeitos da matemática Bate aqui se você se identifica com a Nazaré nessa foto!

Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois: 6 = 1 + 2 + 3

Um passeio pela história dos números perfeitos…

A história conhecida dos números perfeitos data de pelo menos cerca de 500 anos antes de Cristo. Não seria justo falar sobre os números perfeitos sem mencionar o nome de Pitágoras.

Pitágoras se destacou-se como um grande matemático que desvendou grandes mistérios e chegou a incríveis conclusões matemáticas que utilizamos ainda hoje, uma das mais conhecidas é o seu “Teorema de Pitágoras”.

Os discípulos de Pitágoras ficaram conhecidos como pitagóricos, e eles também eram conhecidos pelo seu gosto por charadas e enigmas matemáticos, muitos dos quais não foram solucionados até hoje (então não se martirize se a matemática não te entra na cabeça de jeito nenhum! você não está sozinho).

Continuando…

Mas para que realmente servem os números perfeitos?

Se os números primos são reconhecidos como a base da aritmética por muitos matemáticos, os números perfeitos não têm utilidade particular, no sentido de que não são usados ​​para resolver uma equação, fatoração e não entram no campo da criptografia.

Pra mandar o papo reto, os números perfeitos não servem para mais nada a não ser ocupar a cabeça dos (loucos) apaixonados por matemática! Tá…estamos sendo injustos em nosso julgamento. Os números perfeitos por serem raros constituem um dos maiores enigmas da matemática e exige muito estudo para chegar ao encontro de um deles…

Os discípulos de Pitágoras acreditavam que os números eram o conceito fundamental do universo. Eles classificavam os números de formas diferentes.

Por exemplo:

  • os números primos ( o número 13 é um número primo pois se divide somente por 1 e por ele mesmo)
  • os números pentagonais,
  • os números amigos,
  • os números figurados,
  • os números triangulares e por aí vai…

Dessa classificação chegou-se aos números perfeitos…

Mas antes de falarmos deles vamos falar dos seus opostos, como é o caso do número 8 por exemplo. O número 8 é um número deficiente pois a soma de seus divisores ( sem contar o próprio número) é menos do que ele mesmo. Os divisores de 8, ou seja, 1,2 e 4 somados totalizam 7, logo o número 8 é considerado deficiente.

Em oposição aos ditos números perfeitos temos também o número excessivo ou abundante, pois a soma de seus divisores é maior do que o próprio número. Por exemplo, o número 12 cujos divisores são 1,2,3,4 e 6 que somados totalizam 16. O número 16 sendo maior do que o número 12, coloca 12 como um número excessivo.

Entenderam o conceito?

Quais são os números perfeitos já conhecidos?

“Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias; o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse” Santo Agostinho (354 – 430 d.C.)

Então os números mais importantes, ou números perfeitos como foram classificados são aqueles cujos divisores somados (excluindo o próprio número) é igual a eles mesmos.

aprender numeros no ábaco Tudo seria tão mais simples se só tivéssemos que aprender a tabuada…

Eis alguns exemplos:

  • 6 = 1 + 2 + 3
  • 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  • 8128
  • 33550336
  • 8589869056
  • 2658455991569831744654692615953842176

Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos desde pelo menos Euclides. No século XV acrescentou-se o número 33.550.336 à lista.

Como podemos ver pelo exemplo acima, os número perfeitos são extremamente raros. Apenas com o aparecimento dos computadores foi possível encontrar números perfeitos maiores. O trigésimo número perfeito conhecido é o 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176, que possui nada mais nada menos do que 37 algarismos. E o quadragésimo quarto número perfeito descoberto possui quase 20 milhões de algarismos!

Incrível não é?

A existência ou não de números perfeitos ímpares é um desafio para a Teoria dos Números. E se existe algum ou não, é uma conjectura antiga que permanece sem solução.

As conjecturas em relação aos números perfeitos são numerosas.

Uma conjectura é uma regra que nunca foi provada. Aqui estão três:

  • Os números perfeitos de Euclides são todos pares porque um dos fatores é uma potência de 2. Mas nada prova no momento que não há números perfeitos ímpares,
  • Todos os números perfeitos conhecidos terminam em 6 ou 28, mas, novamente, isso talvez não seja verdade,
  • Também não foi provado que realmente exista uma infinidade de números perfeitos.

Você tá disposto a se dedicar à descoberta do próximo número perfeito?

A prova dos teoremas dos números perfeitos

O teorema de Fermat em 1640: Mn = 2n – 1; se Mn é primo, então n é primo. Para estabelecer que quando 2n – 1 é primo, n é primo, devemos provar a afirmação se n é composto, então 2n – 1 também é composto.

dicas de matemática O mais complicado na matemática são as letras…

Para estabelecer que quando 2n – 1 é primo, n é primo, devemos provar a afirmação se n é composto, então 2n – 1 também é composto.

Assim n = ab, com a, b> 1, e a identidade xk – 1 = (x – 1) (xk-1 + xk-2 + · · · + x + 1) onde x = 2a e k = b.

Segue então 2ab – 1 = (2a – 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · + 2a + 1), o que mostra que 2n-1 = 2ab-1 é composto, já que quando fatorizado como dois fatores cada um maior que 1 (porque a> 1).

Teorema de Euclides: se Mn é primo, então 2n-1 Mn é um número perfeito.

Admitimos a função σ (n) como a soma de todos os divisores do inteiro positivo n. Um número perfeito k é caracterizado por σ (k) = 2k. A função σ tem a seguinte propriedade: se aeb são dois primos naturais, então σ (ab) = σ (a) σ (b).

Além disso:

como Mn é primo, temos σ (Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n – 1) = 2n; σ (2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n – 1 = Mn. Ent˜ao, σ (2n-1Mn) = σ (2n-1) σ (Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1Mn).

Se você seguiu até aqui, que tal descobrir os números complexos?

Os números triperfeitos, multiperfeitos e hiperperfeitos, sim eles existem!

Ainda na ideia dos números perfeitos, também existem números tripartidos, multiperfeitos e hiperperfeitos.

números perfeitos conhecidos E você achava que somar era difícil….

Tenha certeza, há pouca chance de que esse assunto caia em uma prova ou concurso. Mas se você é um apaixonado pelos números e quer saber mais sobre eles, aqui estão algumas informações:

Os números triperfeitos

Um número triparfait é sempre par.

Se houver um triperfeito ímpar, ele será maior que 1050. A soma dos divisores do número triperfeito, incluindo ele próprio, é igual a três vezes o número. Por exemplo, 120 é um número triperfeito porque 23 * 3 * 5 = 120.

A presente, só conhecemos três números triperfeitos, a saber:

  • 120,
  • 672
  • 523.776,
  • 459 818 240,
  • 1,476,304,
  • 896, 51 001 180 160.

Os números multiperfeitos

A soma dos divisores de um número multiperfeito, incluindo ele próprio, é k vezes o número. Os matemáticos descobriram mais de 500 números multiperfeitos até 8 e eles acham que sabem todos os 3 a 7 números multiperfeitos:

  • 25 x 33 x 5 x 7 é o primeiro tetraperfeito,

  • 27 x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, o primeiro pentaperfeitp,

  • A maior conhecida é a 7.3 10 1 345

Os números hiperperfeitos

Um número hiperperfeito é tal que: n = 1 + k (o (n) – n – 1). Um número hiperperfeito é um número perfeito.

  • Um número  2- hiperperfeito (HP) é da forma 2o (n) = 3n + 1: 21, 2 133, 19 521, 176 661 …
  • Um número de 3-HP é da forma 3o (n) = 4n + 2: 325 e nenhum outro até n = 1.000.000,
  • 4-HP: 1,950,625, 1,222,640,625, 186,264 514,898,661,640,625,
  • Nenhum 5-HP é conhecido,
  • 6-HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.

Para a alegria dos menos dotados em matemáticas, conhecer os números perfeitos, triperfeitos, multiperfeitos e hiperperfeitos não é uma das obrigações para passar nas provas e exames escolares. Assim, seria melhor você se concentrar no estudo das frações, divisão euclidiana, logaritmo, raciocínio lógico e mesmo geometria.

No entanto, se você gosta de todos os aspectos da matemática, quem sabe, talvez os números primos se tornem um dos seus tópicos de pesquisa…

 

 

 

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