A matemática, embora se trate de uma ciência exata, não é lá tão óbvia assim. Pelo menos, não para uma boa parte dos estudantes. Alguns consideram a  matemática como uma das disciplinas mais fascinantes, outros (geralmente a maioria) consideram a matemática como uma matéria difícil, complicada e cheia de nós!

A verdade é que a matemática tem os seus mistérios e desvendá-los não é das tarefas mais fáceis, porém, sem dúvida, muito gratificante! É preciso ser bastante curioso e gostar de desafios para se dar bem em matemática.

A matemática vai muito além do básico somar, dividir, subtrair e multiplicar. Se trata de uma infinidade de combinações numéricas, fórmulas, dados, enfim...um monte de informação que nos ajudam a codificar e decodificar a vida que nos cerca.

Você já ouviu falar em divina proporção?

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro?

Se trata de uma proporção definida como a única relação a / b entre dois pontos a e b. A razão entre a soma a + b dos dois pontos sobre o maior (a) é igual à maior (a) da menor (b): (a + b) / a = a / b.

A divina proporção também é designado pela letra grega φ (phi).

Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides),, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência.

O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias.

Se você nunca não conhece o número de ouro e não faz a menor ideia sobre o que estamos falando. Nesse artigo te explicaremos direitinho do que se trata esse mistério da matemática!

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A história do número de ouro

Para melhor explicar o surgimento do número de ouro, começaremos pelas suas origens...

Estudo da seção áurea
A construção das pirâmides envolve o uso da seção áurea.

As origens do número de ouro

A pirâmide de Quéops (2600 aC) é para muitos cientistas a origem da proporção áurea. A proporção áurea é muito antiga e foi usada inicialmente na geometria, provavelmente pelos pitagóricos. Eles a usaram para construir pentágonos usando triângulos isósceles.

Naquela época, o número de ouro não fora usado de maneira aritmética, já que os pitagóricos acham que qualquer número é racional, mas a proporção áurea não é racional.

Mas o primeiro texto matemático que realmente evocou a proporção áurea foi escrito por Euclides (300 aC). Ele o define da seguinte maneira: "Diz-se que uma linha reta é cortada em uma razão extrema e média quando, como é totalmente relativa ao segmento maior, também é maior em relação à menor. "

No entanto, Platão foi, sem dúvida, a origem do estudo da proporção áurea como objeto de estudo em si mesmo. Naquela época, esse número não era chamado de número de ouro.

O número de ouro através da Idade Média

O matemático Al-Khawarizmi traz um novo olhar para a seção áurea do século VIII, propondo vários problemas para dividir uma distância de dez unidades em duas partes.

A solução de um deles é o tamanho inicial dividido pela proporção áurea.

Mas é Fibonacci quem fala sobre as equações do matemático persa na Europa, especialmente através de sua famosa suíte de Fibonacci, sem ver uma ligação com a proporção áurea. A irracionalidade da razão áurea é demonstrada por Campanus através da descida infinita que pode ser vista na espiral dourada.

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O número de ouro durante o renascimento

Na Renascença, o número de ouro é chamado de proporção divina e faz parte de uma intervenção divina de acordo com o livro de Pacioli, ilustrado pelo famoso Leonardo da Vinci.

Foi também nessa época que a seqüência de Fibonacci fora relacionada à proporção áurea. Ao dividir um termo na sequência pelo seu termo anterior, o resultado é próximo da proporção áurea. A aproximação é melhor quando o termo é alto.

Esta relação é destacada por uma nota anônima e o resultado é realmente encontrado por Johannes Kepler, que permanecerá fascinado pelo número de ouro toda a sua vida.

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O nascimento de um mito no século XIX

Perde seu interesse matemático, mas ganha um interesse crescente enquanto sistema.

O filósofo alemão Adolf Zeising acha que a proporção áurea pode possibilitar a compreensão de campos científicos e artísticos.

Apesar de uma abordagem científica duvidosa, as teorias de Zeising causa curiosidade, especialmente na França. Graças à proporção áurea, seria possível explicar a beleza.

Mesmo no decorrer do século XX, o número de ouro continua a fascinar matemáticos, artistas e arquitetos.

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O número de ouro na Geometria

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A primeira definição do número de ouro é geométrica.

Aula de matemática e número de ouro
Você sabia que as pétalas do girassol podem explicar a existência da proporção áurea?

O teorema é o seguinte: "Dois comprimentos aeb (estritamente positivos) respeitam a" proporção de ouro "se a relação de a sobre b for igual à razão de a + b sobre a. "

À luz do trabalho de Euclides, uma nova definição do número de ouro aparece:

"O número de ouro é o número real positivo, denotado por φ, igual à fração a / b se aeb são dois números em proporção de razão extrema e média. "

Aqui está a fórmula correspondente: φ = (1 + √5) / 2.

φ é a solução de uma equação de segundo grau, que dá uma terceira definição: "A proporção áurea é a única solução para a equação x2 - x - 1 = 0."

Graças a esses cálculos, é possível traçar uma proporção de razão extrema e média usando um compasso, uma regra e um quadrado:

  • Desenhe um círculo C de raio 1,
  • No final do raio 1, desenhe um segmento de comprimento 1/2, perpendicular ao raio,
  • Desenhe o círculo C 'de raio 1/2 colocando a ponta do compasso no final do segmento de comprimento 1/2 previamente desenhado,
  • Desenhe o segmento do centro do círculo C até o final do círculo C ', passando pelo centro do círculo C',
  • O comprimento deste segmento vale a proporção áurea.

A partir desses círculos, é possível construir um retângulo de ouro.

Também podemos integrar um quadrado a - b no retângulo dourado dos lados b × (a - b).  Ao adicionar um quarto de círculo em cada quadrado, obtemos uma espiral, chamada espiral de ouro.

A proporção áurea também pode ser usada para a construção de pentágonos e pentagramas e também para trigonometria.

O número de ouro na aritmética

O outro método de definir a proporção áurea é algébrico.

Professor de matemática
Entenda o número de ouro com uma aula particular de matemática

Na álgebra, a proporção áurea é definida como a única raiz positiva de uma equação. Utilizando abordagens algébricas e geométricas, é possível resolver uma equação de segundo grau.

Isso é chamado de álgebra geométrica. φ2 = 1 + φ tem uma solução para a proporção áurea.

A proporção áurea também pode ser aproximada usando a fração contínua no infinito. 1 + (1 / (1 + (1/1))).

A suíte Fibonacci também fornece aproximações da proporção áurea:

E, inversamente, a fórmula de Binet expressa a seqüência de Fibonacci de acordo com a proporção áurea.

A seção áurea também é usada em algumas equações diofantinas.

A onipresença da proporção áurea

Como você pode ver, o número de ouro é onipresente na matemática, mas também ao nosso redor. Na natureza, a seção áurea está presente através de vários elementos:

  • As cascas de uma maça geram espirais logarítmicas que podem trazer a sequência de Fibonacci,
  • Os estames de um girassol respondem ao mesmo fenômeno,
  • Cristais de quartzo se formam em um padrão pentagonal, envolvendo o número de ouro,
  • A casca de um abacaxi induz uma espiral ordenada associada à proporção áurea.

Mas a filotaxia de girassol e a cristalografia de quartzo nem sempre seguem as regras da proporção áurea. Portanto, é difícil ver um fenômeno místico ou divino. Talvez seja apenas uma coincidência ...

O que é o número de ouro?
Encontramos o número de ouro até mesmo nos detalhes da natureza como na simetria dessa planta....

A questão do corpo humano, ligada ou não à proporção áurea, tem sido repetidamente levantada, seja de natureza científica, artística ou estética.

Zeising havia tentado medir o corpo humano usando apenas o número de ouro, mas esta tentativa foi logo deixada de fora.

As proporções do corpo humano assim tiradas não eram realistas. Além disso, as dimensões do corpo humano estão mudando constantemente. Os seres humanos crescem ao passo que a evolução acontece e não necessariamente de maneira uniforme.

No entanto, a busca pela proporção áurea no corpo humano não fora abandonada. Hoje, cientistas trabalham na espera de descobrir uma ligação com a proporção áurea.

Mas esta teoria permanece controversa. A proporção áurea não fascina os cientistas, mas é encontrada em muitas áreas, como a pintura, especialmente a da Renascença.

Lembre-se, naquela época o número de ouro era chamado de proporção divina. Isso poder ser verificado, por exemplo, na pintura O Nascimento de Vênus de Botticelli.

Mas às vezes, estas são interpretações tardias e não necessariamente confirmada por parte do artista, como sugerido pela pintura São Jerônimo Leonardo da Vinci em que encontramos o retângulo de ouro.

O uso da proporção áurea em muitos edifícios antigos é um assunto controverso. É difícil saber se os construtores estavam conscientes de usar a proporção áurea ou se é uma interpretação excessiva por parte dos arqueólogos.

Existem vários exemplos, os quais não são unânimes:

  • O teatro de Epidauro,
  • A Grande Pirâmide de Gizé
  • A fachada do Parthenon de acordo com as convenções,
  • Uma antiga torre em Modon,
  • O grande altar de Pérgamo,
  • Uma estela funerária de Edessa,
  • Um túmulo em Pella.

Por outro lado, mais recentemente, o arquiteto Le Corbusier teoriza o uso da proporção áurea e cria um sistema chamado Modulor, que ele usará em várias de suas construções, como a Cité radieuse de Marselha ou a Capela Notre-Dame-du- Topo de Ronchamp.

Na música também, o número de ouro é procurado em harmonia e ritmo. A aproximação mais próxima da proporção áurea é a sexta menor obtida por dois sons cujas frequências definem uma razão de 8/5 = 1,6.

E poderíamos continuar falando por muito tempo, como a presença do número de ouro fascina e é o assunto de teorias mais ou menos científicas e verificadas!

Você já tinha ouvido falar da proporção áurea?

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Joseane

Apaixonada por Línguas e Culturas, sou uma viajante assídua que acredita que viajar é a melhor forma de aprender.