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Números especiais da matemática

De Joseane, publicado dia 07/08/2019 Blog > Apoio Escolar > Matemática > Tudo sobre os números primos

A matemática é a única ciência exata em que nunca se sabe do que se está a falar nem se aquilo que se diz é verdadeiro. Bertrand Russell

Não é raro ouvir de muitos estudantes a frase “eu não gosto de matemática”. Aliás todo professor de matemática já deve ter ouvido essa frase muitas vezes na sua carreira. Uma realidade que muitos amantes da matemática consideram injusta, já que essa ciência também fascina uma legião de pessoas.

Hoje, o Superprof traz uma das lições mais curiosas e fascinantes da matemática, falaremos dos famosos números primos.

Os números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. De acordo com essa definição, os números 0 e 1 não são números primos, pois 0 é divisível por todos os inteiros positivos e 1 é divisível apenas por um único inteiro positivo. Alguns matemáticos admitiram 1 como um número primo, mas essa teoria foi abandonada no início do século XX.

A definição do número inteiro é oposta à do número composto, que é um número inteiro, produzido por dois inteiros estritamente maior que 1.

Uma boa porcentagem dos estudantes do ensino médio possuem dificuldades em matemática. Essas dificuldades na verdade vêm desde o ensinamento de base, isto é, o ensino fundamental. Na maioria das vezes os problemas começam com a maneira como a matemática é ensinada e demonizada. Falta dos professores e do próprio currículo escolar que não dá a matemática o seu devido lugar.

Mas esse é um assunto para um outro momento.

A boa notícia é que as aulas particulares de matemática são um ótimo remédio para os “odiadores” dessa disciplina. A forma de ensinar faz toda a diferença na hora de lidar com a matemática!

Continue conosco e conheça mais sobre os nossos queridinhos números primos…

Como saber se um número é um número primo?

A noção de números primos é um dos fundamentos da aritmética. Você deve ter ouvido falar sobre esse assunto ainda na época do colégio…

decifrando a matemática Quando você acha que conhece a solução do problema mas na verdade era uma ilusão…

Existem muitas aplicações industriais de números aritméticos e especialmente de números primos. Assim, ao longo da sua vida, dependendo da sua profissão, você será confrontado com essa noção matemática.

Quais são os números primos conhecidos?

Esta questão não tem uma resposta fechada, uma vez que não há uma lista exaustiva e finita de números primos.

Sabemos, no entanto, que existe uma infinidade deles desde a antiguidade graças ao teorema de Euclides sobre números primos.

Por outro lado, é possível conhecer os números primos delimitando um ponto de abertura e um ponto de fechamento. De 0 a 100, por exemplo, os números primos são 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Você pode decorar facilmente essa lista. É muito fácil memorizar que existem 25 números primos entre 0 e 100 e depois integrá-los em sua memória de longo prazo.

O algoritmo por testes de divisão

Os primeiros métodos para calcular números primos são chamados testes de primalidade e são baseados no teste de divisão por todos os números menores que a raiz quadrada do número escolhido:

  • Se é divisível por um deles, se trata de um número composto,
  • Se ele não é divisível por um deles, se trata de um número primo.

No entanto, esse algoritmo é longo e tedioso. Muitas divisões são inúteis, especialmente a do 4 se o número não é divisível por 2.

O crivo de Eratóstenes

Com base no método de testes de divisão, o crivo de Eratóstenes fornece a lista dos números primos menor que um determinado valor. Você pode ter aprendido esse método na escola, mas aqui está um lembrete:

  • Começamos por formar a lista de inteiros de 2 a n (120 por exemplo),
  • Um número é primo se for o primeiro número da lista ainda não riscada (alerta de spoiler: o primeiro é sempre 2),
  • Então você tem que riscar todos os múltiplos inteiros do número 2, começando com seu quadrado,
  • Essas duas etapas devem ser repetidas até que procuremos múltiplos de números maiores que a raiz quadrada de n (aqui 120).

Outros algoritmos para encontrar um número primo

Há outras possibilidades de reconhecer um número primo, começando com uma variante do crivo de Eratóstenes, chamada de Crivo de Sundaram. O crivo de Sundaram consiste em listar números naturais ímpares compostos por sequências aritméticas colunares.

Por complementaridade, é então possível deduzir os números primos. Mas ainda existem outros métodos:

  • O crivo geral dos campos numéricos,

  • O teste de primalidade de Solovay-Strassen,

  • O teste de primalidade de Miller-Rabin,

  • O algoritmo AKS,

  • O número de Proth,

  • O número de Woodall,

  • O número dos Cullen …

Os números primos particulares

Existem números primos particulares, definidos por restrições particulares.

aula de matematica numero primos Se fossem somente os números…mas ainda tem as letras!

Os números primos de Pitágoras

Às vezes, os números primos da forma 4n + 1 (com n, inteiro natural) são chamados números primos de Pitágoras.

Por exemplo, 5 é dito de Pitágoras. Um número primo ímpar é dito ser Pitágoras se for a soma de dois quadrados.

Os números primos de Mersenne

Os números primos desta forma, onde p é um número inteiro natural, são chamados números primos de Mersenne. 50 números primos de Mersenne são agora conhecidos, mas outros ainda são procurados usando o teste de primalidade de Lucas-Lehmer.

O último conhecido foi descoberto em janeiro de 2018.

Talvez você encontre o próximo?

Os números primos de Fermat

Os números da forma F_n = 2 ^ {2 ^ n} + 1 são considerados números de Fermat.

No entanto, o F5 é considerado apenas semi-primo, uma vez que é divisível por 641. Os pesquisadores continuam sua busca sobre outro número de Fermat

Números primos gêmeos

Números primos gémeos, na teoria dos números, são dois números primos cuja diferença é igual a dois. 

Por exemplo, 3 e 5 são gêmeos, 5 e 7 são gêmeos e 11 e 13 são gêmeos, mas há infinitos primos gêmeos.

Para que servem os números primos?

Conhecer os números primos é bastante útil.

Em um cálculo fracionário, a decomposição do fator primo torna a tarefa mais fácil e pode ajudar a simplificar uma fórmula matemática.

Tudo sobre numeros primos Quando você acha três resultados diferentes para o mesmo problema matemático…

Os números primos são vistos há muito tempo como um assunto puramente matemático. Mas isso mudou na década de 1970 com a chegada de novos sistemas de criptografia. Até então, a criptografia era baseada na mesma chave para criptografar e descriptografar uma mensagem. Isso foi chamado de criptografia simétrica.

No final da década de 1970, um sistema de criptografia assimétrica foi desenvolvido graças às propriedades dos números primos e à fatoração.

Duas chaves são então usadas: uma para criptografar, outra para decifrar.

O produto de dois números inteiros grandes (200 dígitos) é usado para a chave que criptografa. E para calcular a chave de descriptografia, você precisa conhecer seus dois fatores primos.

Este é o sistema ainda usado hoje para criar assinaturas digitais. Os números primos permitiram resolver problemas aritméticos, como o teorema dos dois quadrados, o teorema dos quatro quadrados ou a lei da reciprocidade quadrática.

Além disso, eles são encontrados em inteiros de Gauss e inteiros de Eisenstein.

Os números primos ainda estão cercados por mistério …

Se no fundamental e no ensino médio permanecermos focados nas frações, na equação, no logaritmo, nos números racionais ou na divisão euclidiana, saiba que os matemáticos não resolveram todos os mistérios que rodeiam os números primos e as questões ainda surgem:

  • Os problemas de Landau: A conjectura de Goldbach, A conjectura de gêmeos primos, A conjectura de Legendre, A existência de uma infinidade de números primos da forma n2 + 1,
  • A existência de uma infinidade de números primos por Sophie Germain,
  • A conjectura de Polignac,
  • Hipótese H de Schinzel,
  • A conjectura de Bateman-Horn,
  • Nós não sabemos se há infinitos números primos de Fermat ou Mersenne ou Fibonacci,
  • Não sabemos se existem infinitos números primos fatorial ou primários,
  • Uma conjectura de Daniel Shanks: A conjectura afirma que todos os números primos aparecem na sequência de Euclid-Mullin,
  • A espiral de Ulam (ou Ulam clock) ainda não está totalmente explicada.

Como facilitar o aprendizado dos números primos?

As técnicas mencionadas aqui podem ser usadas para memorizar qualquer número real.

aula de matematica a domicilio Quem nunca tentou decorar uma fórmula de matemática rimando os números?

É sabido que para reter uma série de números, por exemplo, os primeiros 25 números primos, é preciso apelar para os sentidos e usar as próprias emoções.

Por exemplo, podemos desenvolver uma memória auditiva com música associando os números a uma referêmcia como na música infantil conhecida de todos:

Um, dois
Feijão com arroz

Três, quatro
Feijão no prato

Cinco, seis
Falar em inglês

Sete, oito
Comer biscoito

Nove, dez
Comer pastéis

Você pode usar a sua criatividade para decorar os números primos!

Uma maneira mais complicado, mas concebível: se você conseguir memorizar melhor as palavras do que os números, é possível associar uma palavra a cada número de 0 a 100 e fazer frases com essas palavras.

Mas cá entre nós, é melhor aprender a encontrar os números primos do que tentar memorizar o máximo. Exceto se você quiser impressionar seus amigos e familiares.

Quer ir mais além no aprendizado dos números primos? Que tal falar com um dos nossos professores particulares de matemática?

 

 

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