"A essência da matemática é a liberdade.", Georg Cantor

Para ajudar a lidar com um problema não resolvido, matemáticos como Poincaré, Pitágoras, Gödel, Pierre de Fermat ou Dedekind descobriram teoremas e fórmulas ao longo da história da matemática. Uma vez demonstradas, essas afirmações se aplicam como uma lei científica obtida por meio de experimentação.

Mas, com base na teoria dos números, teoria dos conjuntos ou teorema, os grupos eram, em primeiro lugar, uma conjectura! Por exemplo, o que é a mediana em matemática?

De fato, primeiro temos que tentar provar a verdade de uma propriedade matemática e, então, dar uma demonstração para ela. É assim que os matemáticos foram capazes de provar suas descobertas e criar regras.

No entanto, algumas conjecturas ainda permanecem sem resposta até hoje. Séculos de pesquisa e computação não adiantaram em nada!

Perguntas sem respostas em matemática
As conjecturas são muito mais velhas que esta calculadora

Então, pronto para se tornar um verdadeiro matemático? O Superprof explica tudo o que você precisa saber para conjecturar e revisar o que disse o professor de matematica.

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O que é uma conjectura?

De acordo com o dicionário Michaelis, uma conjectura é: “1 Ato ou efeito de deduzir algo com base em suposições ou pressentimentos; hipótese. 2 Juízo ou opinião com fundamento incerto ou baseado em aparências, indícios ou probabilidades."

Em uma definição mais matemática: " (...) uma conjectura é uma proposição que muitos matemáticos acreditam ser verdadeira, com base em presunções, evidências, pressentimentos, hipóteses, porém ainda não conseguiram prová-la" fonte: somatematica

Ao aplicar um cálculo em vários exemplos, pode-se ver rapidamente uma semelhança nos resultados obtidos. Isso é uma conjectura! Em seguida, você deve demonstrar as conclusões para encontrar uma propriedade que pode ser usada universalmente.

Fazer conjecturas é, portanto, aceitar uma afirmação como verdadeira, mesmo que não se saiba o valor de verdade, uma vez que ela nunca foi demonstrada ou refutada. Como calcular uma fração?

Todos os livros de matemática dizem que, para validar uma conjectura, você deve:

  • Demonstrá-la,
  • Completá-la,
  • Formula-la.

E esse princípio matemático se aplica a todos os campos demonstráveis, da geometria algébrica à criptografia, incluindo álgebra e algoritmos. Saiba tudo sobre aritmética!

Se você está na escola ou deseja voltar a estudar com um professor particular de matematica, essa noção é muito importante. Vamos começar bem para dominá-la.

Conjectura é os problemas sem respostas
Haja lápis para responder a esta pergunta...

Você verá que saber conjecturar servirá tanto para a matemática quanto para obter um bom senso de reflexão. Na verdade, fazer deduções, ver além do que nos é oferecido é essencial na vida cotidiana.

Agora que revisamos a lição de aritmética, mostramos o exemplo de como verificar uma conjectura. Faça um cone 3D graças à matemática!

Demonstre que uma conjectura é verdadeira

Você conhece cálculo literal? Esse é um cálculo puramente aritmético combinando números e letras onde cada letra simboliza um número que não conhecemos.

É essencial para a obtenção de provas matemáticas porque permite projetar um exemplo fictício sem a necessidade de materializá-lo com números. Ideal para tentar descobrir uma generalidade aplicável a todos os casos!

A conjectura geralmente parte de um palpite. Requer observação e dedução!
É por meio do cálculo literal que você terá uma prova de sua conjectura.

Para demonstrá-lo facilmente, você só precisa de três exemplos. Por outro lado, para refutá-lo, basta um único contra-exemplo.

Quer um exemplo concreto?

Aqui está um exemplo conhecido que usaremos para entender o processo:

"Escolha um número, subtraia 3. Então pegue o dobro e some 6."

Suponha que N = 5

  • 5-3 = 2
  • 2x2 = 4
  • 4 + 6 = 10

Vamos agora admitir que N = 7

  • 7-3 = 4
  • 2x4 = 8
  • 8 + 6 = 14

Para o último exemplo, digamos que N = 30

  • 30-3 = 27
  • 2x27 = 54
  • 54 + 6 = 60

Observamos que cada resultado é o dobro do número inicial. Então essa é o nossa conjectura.

Agora, vamos demonstrar aqui a verdade de nossas provas anteriores:

2 (N-3) +6

= 2N-6 + 6

= 2N

Nossa conjectura é, portanto, confirmada e podemos estabelecer uma regra matemática que afirma que “Quando escolhemos um número, subtraímos 3 dele, pegamos o dobro e adicionamos 6, então obtemos o dobro do número inicial”.

Todos os grandes matemáticos devem ter demonstrado o teorema antes de prová-lo. E nem sempre é fácil de demonstrar. Saiba que para cada teorema matemático existem horas, até anos de trabalho!

Aqui estão os teoremas matemáticos mais famosos:

  • Teorema de Gauss,
  • Teorema de Pitágoras,
  • Teorema de Fermat,
  • Teorema da incompletude,
  • Teorema de Tales,
  • Teorema de Gödel.

Você vai entender, a conjectura pode ser usada como a hipótese de uma demonstração.

Não é demonstrado automaticamente, mas serve de base para reflexão e abre o campo para outras aplicações.

Daremos alguns exemplos emblemáticos para ilustrar nosso ponto.

“A lógica é a higiene da matemática.", André Weil

Cultura matemática: algumas conjecturas famosas

Tudo começou com os números perfeitos de Euclides. Esses números naturais são a soma de seus divisores estritos. Euclides havia encontrado quatro: 6, 28, 496 e 8128.

Como formular uma conjectura? Algumas foram comprovadas, outras refutadas e algumas ainda não foram resolvidas e representam séculos de pesquisa!

Hoje são 51. Mas duas perguntas permanecem sem resposta até hoje.

A calculadora não serve neste caso
Nem sempre a máquina resolve tudo em matemática

“Existe uma infinidade de números perfeitos pares?”

“Existem números perfeitos ímpares?”

Mistério, ninguém sabe, nem mesmo o maior matemático! E o que é fatoração?

Aqui estão algumas conjecturas famosas do curso de matemática.

Conjectura de Goldbach

Essa conjectura data de 1742. Faz parte da teoria algébrica dos números e, até hoje, não foi resolvida.

Ele compartilha semelhanças com a hipótese de Riemann e a conjectura do primo gêmeo.

É assim:

“Qualquer número inteiro par maior que 2 é a soma de dois números primos.”

Seja 2N = p + q

2N é sempre um número par e p e q são dois números primos.

Como um lembrete, um número primo é um número cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo. Aqui está uma parte da lista de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

Atualmente, a conjectura não é totalmente verificada. No entanto, é para todos os inteiros pares até 4, 10 potências de 18 e para todos os inteiros ímpares até 8.875, 10 potências de 30. Aprenda já os algorítimos da informática!

Aqui estão alguns teoremas relacionados à conjectura de Goldbach:

  • “Supondo que alguma generalização da hipótese de Riemann seja verdadeira, qualquer número ímpar grande o suficiente é a soma de três números primos.”,
  • “Qualquer inteiro ímpar grande o suficiente é a soma de três números primos.”,
  • “Qualquer número par grande o suficiente é a soma de quatro números primos.”,
  • “A hipótese generalizada de Riemann envolve a fraca conjectura de Goldbach.”,
  • “Qualquer número inteiro ímpar> 1 é a soma de até cinco números primos.”,
  • “Qualquer número inteiro ímpar> 5 é a soma de três números primos.”.

Números de Fermat

Se falarmos com você sobre o terno pitagórico ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica? , Você lembra disso? A conjectura de Fermat é baseada no famoso teorema de Pitágoras.

Ao aceitar que x2 + y2 = z2 (a solução sendo os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo), Pierre Fermat, então, se pergunta se substituirmos os quadrados por cubos, existem soluções que não são iguais a zeros?

Ele deduz que: "um cubo nunca é a soma de dois cubos, uma quarta potência nunca é a soma de duas quartas potências e, mais geralmente, nenhuma potência maior que 2 é a soma de duas potências análogas".

Aqui está o primeiro teorema fundamental de Fermat:

"A equação xn + yn = zn não tem solução inteira estritamente positiva, para qualquer número inteiro n que é estritamente maior que 2."

“A matemática é uma ginástica da mente e uma preparação para a filosofia.”, Isócrates

Conjectura de Euler

Essa conjectura é uma da teoria algébrica (já na aritmética: como calcular um intervalo?) que se lê da seguinte forma:

Matemática sem dor de cabeça
Nem computador resolve as conjecturas

“Para qualquer número inteiro n estritamente maior que 2, a soma de n - 1 enésima potência não é uma enésima potência.”

Para Euler, essa conjectura foi a continuação lógica da conjectura de Fermat.

A conjectura foi refutada em 1966, graças ao contra-exemplo de Lander e Parkin.

A conjectura de Poincaré

Essa conjectura faz parte do campo da topologia algébrica (entenda o desenvolvimento algébrico). Também conhecido como Teorema de Perelman, porque foi o último que a demonstrou em 2003.

Como você demonstra matematicamente que uma conjectura é verdadeira? Vai precisar de um professor de matemática a domicilio para isso?

Cada ramo da matemática se preocupa com conjecturas. Tentar provar é uma forma matemática por si só. Resultados demonstrativos e soluções completas podem ser encontrados em campos aritméticos, algébricos e geométricos, como em todas as disciplinas da academia de ciências.

É o seguinte:

“Considere um coletor compacto tridimensional V sem borda. É possível que o grupo fundamental de V seja trivial mesmo que V não seja homeomórfico a uma esfera tridimensional?”.

E como fazer uma tesselação graças à matemática?

Entre propriedades geométricas e topológicas, as questões de Poincaré são bastante complexas para o matemático de domingo entender!

Esperamos tê-lo esclarecido sobre o que é uma conjectura, como fundar uma prova matemática, como formulá-la e como prová-la, mas também sobre todos os grandes exemplos da aula matemática.

Agora você poderá praticar fazendo conjecturas simples. Dividir, demonstrar que existem ligações entre vários exemplos e fundações fazem parte das descobertas matemáticas!

Você pode ser apoiado nessa questão com uma aula particular de matemática. O professor saberá como adaptar seu ensino ao seu nível e às suas expectativas.

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Carolina

Jornalista, pós-graduada em mídias digitais, mestre pela Sorbonne (França) em turismo, patrimônio e meio-ambiente. Minha formação em diferentes áreas permite que eu escreva com liberdade e interesse.