"A matemática universal é uma lógica da imaginação." - Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Na aula de matemática do ensino médio, os alunos aprendem o básico de estatística e geometria incluindo o cálculo da média e mediana. O que é fatoração?

Frequentemente mal interpretado, a mediana é um indicador central de análise de probabilidade, demonstrações de geometria e análise estatística. Então, vamos descobrir de forma simples a verdadeira importância dessa medida de tendência central. Que tal aprender a fazer um cone?

O nome pode dar medo, mas não se preocupe! O conceito é bem fácil e você não vai esquecer para a sua prova de Enem ou de matemática.

Fazer aulas de matemática com o Superprof será mamão com açúcar, você vai ver!

Vamos nos colocar na pele de um professor de matemática para lhe explicar como encontrar e interpretar uma mediana!

E você vai saber tudo na ponta d lápis!

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O que é a mediana em matemática?

Para entender completamente, e antes de embarcar em longas linhas de cálculos e fórmulas, devemos entender do que estamos falando.

Como entender as estatísticas? Qual é o número médio de uma sequência? E o mosaico, como fazê-lo?

A mediana, em termos concretos, designa um valor que permite separar um grupo de dados em duas partes iguais.

O cálculo da mediana de uma série é amplamente utilizado em estatística, pois permite uma análise muito mais apurada do que a média.

Em suma, a mediana representa o valor central de uma série estatística.

Para identificar esse valor, basta ordenar todos os dados do menor valor ao maior.

Assim que essa lista ordenada em ordem crescente for obtida, você pode facilmente encontrar o valor que divide a população estudada em dois subconjuntos dos mesmos números. Como fazer a fatoração?

Veja o exemplo de um técnico de natação que gostaria de treinar dois grupos de alunos com diferentes níveis de natação.

A aritmética de um jeito fácil
Faça cálculos aritméticos sem quebrar a cabeça

Suponha que ele peça a 9 nadadores aprendizes para fazerem dois comprimentos no estilo livre e, em seguida, registrar os tempos de percurso alcançados:

30,6; 29,1; 32,9; 35,1; 30,0; 36,4; 31,7; 35,5; 33,9

A lista ordenada desta série de valores é: 29,1; 30,0; 30,6; 31,7; 32,9; 33,9; 35,1; 35,5; 36,4.

O tempo mediano, ou mediana, é 32,9.

Portanto, a mediana permite, por um lado, classificar os desempenhos em duas categorias do mesmo número: de um lado, os quatro nadadores menos performáticos e do outro, os quatro nadadores mais performáticos.

O que acontece se outro nadador entrar na classe? Suponha que um 10º nadador conclua suas travessias em 28,7 segundos.

Como resultado, o número de observações aumenta e o tamanho da classe torna-se uniforme (com 10 valores).

O "meio" da população então tem dois valores: 31,7 e 32,9.

Para calcular a mediana com dois números no meio da amostra, vamos calcular a média dos dois valores centrais: (31,7 + 32,9) / 2 = 32,3. O que é uma conjectura?

Conclusão:

  • Se o número total for ímpar, a mediana é o valor central da série,
  • Se o grupo contém um valor par, a mediana é a média dos dois valores centrais da série.

Muito simples, certo?

Encontre a mediana em uma série estatística

Em estatística, uma variável contém um número definido de valores reais.

Como encontrar a mediana em uma série estatística? Com essas dicas, seus cálculos estarão corretos, sim!

Por exemplo, as notas obtidas por alunos de uma segunda turma durante um teste de matemática em estatística descritiva.  O que é um intervalo?

Suponha que a distribuição das notas seja 5, 12, 11, 10, 6, 17, 11, 12, 10, 13, 9, 11, 12, 8, 7, 10, 11, 10, 12, 11, 9, 10, 8, 11.

Organizar os valores em uma tabela estatística

A metodologia para encontrar o valor mediano consiste, em primeiro lugar, em ordenar as séries em uma tabela. Anotamos os valores em ordem crescente e os números (número de alunos que obtiveram determinada nota) em uma segunda linha.

Obtemos uma matriz como:

  • Xi: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, é a série ordenada de notas,
  • Ni: 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 4, 1, 1, aqui está o número de alunos que obtiveram a nota mencionada,
  • Números crescentes cumulativos: 1, 2, 3, 5, 7, 12, 18, 22, 23, 24 é, portanto, a soma de Ni + o valor inferior.

Cinco alunos obtiveram 10, um aluno obteve 17, quatro alunos obtiveram 12, etc.

Adicionando os números (Ni) dos valores mais baixos, obtemos o que é chamado de números cumulativos crescentes. Eles são úteis para saber os números de uma categoria de valores.

Por exemplo, 12 alunos pontuaram menos de 10. Saiba tudo sobre álgebra!

O cálculo das frequências cumulativas crescentes pode permitir, em certos casos, visualizar os resultados em percentagens: é particularmente útil para representar a proporção de cada um dos números em relação ao conjunto da população.

Determine a mediana

Se o número for ímpar, a mediana é o (N + 1) / 2º valor.

Aqui, Ni é um número par (24).

A mediana, que separa o número de indivíduos em duas partes iguais, é, portanto, a média dos valores (N / 2) e (N + 1) / 2º.

A matemática e seus conceitos
Faça dos números os seus amigos!

Seja, em nosso exemplo, a média entre o 12º e o 13º valor: Me = 10,5.

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Calcule a mediana de uma série estatística contínua

Calma, a aula de matemática está ficando complicada? Pense que você vai saber mais sobre estatística graças ao seu professor particular de matemática!

Muitas vezes, os valores assumem números infinitos ou um número incontável de valores...

Somos, então, confrontados com uma infinidade de valores incluídos em um intervalo. Por exemplo, temperaturas.

A temperatura é uma variável quantitativa de intervalo contínuo, pois pode ter uma infinidade de valores: entre 30 °C e 31 °C, podemos ter 30,1 °C, 30,5 °C mas também 30,99999 °C ou 30,00001 °C, etc.

O primeiro passo é traçar a curva das frequências cumulativas crescentes, para identificar a mediana e os quartis da série.

Por exemplo, se quisermos medir a proporção de pessoas que ganham entre R$ 500 e R$ 2.100 por mês.

Suponha que temos a seguinte distribuição de renda:

  • 40 pessoas ganham entre R$ 500 e 800 por mês,
  • 31 têm entre R$ 800 e 1.100,
  • 25 têm entre R$ 1.100 e 1.200,
  • 52 trabalhadores recebem entre R$ 1.200 e 1.500 por mês,
  • 37 pessoas têm entre R$ 1.500 e 1.800,
  • 18 têm entre R$ 1.800 e 2.000,
  • 27 pessoas ganham entre R$ 2.000 e 2.100.

O efetivo, N é 230. Deduzimos as frequências e as frequências cumulativas crescentes.

Em seguida, desenhe a curva das frequências cumulativas crescentes em um sistema de coordenadas ortonormal, com os valores na abcissa e as frequências cumulativas crescentes no eixo das ordenadas.

Desta forma, podemos fazer uma leitura gráfica da mediana, sem passar pelas fórmulas de cálculo.

Então, como identificar graficamente uma ordem de magnitude de variáveis ​​contínuas? O gráfico permite determinar o intervalo de uma série de valores, sem fazer cálculos estatísticos complexos!

Portanto, lemos que a mediana da nossa amostra é 13 (um salário médio de R$ 1.300 no nosso exemplo).

Os quartis, localizados nos níveis de 25% e 75%, têm, portanto, valores respectivos de 9,7 e 17.

Leitura: 25% dos valores da série são menores ou iguais a 9,7. E 75% dos valores são menores ou iguais a 17.

Deduzimos que 25% dos valores da série estão entre 17 e 21.

No nosso exemplo, a interpretação da mediana seria, portanto, a seguinte: 25% dos trabalhadores da amostra têm uma renda menor ou igual a R$ 970 por mês e 75% das pessoas recebem menos de R$ 1.700.

Por interpolação linear, vemos que 25% da amostra ganha entre R$ 1.700 e R$ 2.100 por mês.

Você pode se divertir, aliás, calculando os decis e os percentis para calcular a dispersão das rendas de uma determinada classe populacional.

O cálculo da mediana em geometria

Em geometria, a mediana também é amplamente utilizada, especialmente em representações geométricas do triângulo.

A mediana do triângulo é, no entanto, às vezes difícil de entender para os adolescentes...

A mediana de um segmento é a linha que passa por seu ponto médio e pelo vértice oposto a esse segmento. Assim, em um triângulo ABC, a mediana do vértice A é a reta (AI), com I como o ponto médio do segmento [AB].

Portanto, os segmentos [AI] e [IB] são do mesmo tamanho. E a área do triângulo ABI é igual à do triângulo ACI.

Isso torna possível abordar um tema central da geometria: o teorema da mediana.

Isso afirma que, se [BC] estiver separado em seu meio pelo ponto I, então:

Outra regra: as três medianas de um triângulo são concorrentes.

Como calcular a média?
Aprenda a matemática de maneira simples

Seu ponto de intersecção, no centro da figura, é o baricentro dos vértices: o centro de gravidade do triângulo.

Saiba que em um triângulo isósceles, a mediana é um eixo de simetria do triângulo. Se, em um triângulo, duas medianas têm o mesmo comprimento, então o triângulo é isósceles.

Em um triângulo retângulo, por outro lado, a mediana vem do vértice oposto ao ângulo reto do triângulo: ela mede a metade da hipotenusa (sim sim, o famoso segmento a ser quadrado no teorema de Pitágoras!).

Se, inversamente, em um triângulo, o comprimento de uma mediana é a metade do comprimento do lado correspondente, então o triângulo é retângulo.

Não confunda a média com a mediana

Tome cuidado para não cometer o erro comum de confundir mediana com média.

Enquanto os valores extremos de uma série influenciam o cálculo da média, eles não influenciam a mediana.

A média aritmética é usada para resumir valores numéricos em um único número real e é calculada tomando a soma dos termos dividida pela contagem total.

Por outro lado, as quantidades não têm efeito sobre a mediana, pois esse valor apenas destaca onde está o ponto médio de uma série ordenada.

Além disso, é um indicador ideal para analisar uma variável estatística, oferecendo uma análise muito mais precisa do que simplesmente calcular a média. Entenda o desenvolvimento algébrico.

Pequeno desvio pela economia para entender:

Por exemplo, em uma sociedade fictícia, o salário médio era de R$ 39.346 bruto por ano em 2019, ou R$ 3.278 por mês. No entanto, as estatísticas obtidas em torno do salário médio escondem profundas desigualdades de renda.

Fazer matemática de maneira simples
Os cálculos não são complicados

Os rendimentos muito elevados (milionários e bilionários) aumentam automaticamente a média, enquanto 50% da população ativa nessa sociedade vive com menos de R$ 20.000 por ano, ou R$ 1.666 por mês.

A R$ 1.789, o salário médio está muito mais próximo da renda dos 50% dos menos ricos.

Por isso é necessário o interesse pelos quartis (25% e 75%) e também pela mediana para uma análise estatística mais detalhada dos valores tomados. Aprenda já os algorítimos da informática!

Como você deve ter entendido, seu interesse por matemática e estatística descritiva permitirá que você resolva muitos problemas do seu dia-a-dia!

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Carolina

Jornalista, pós-graduada em mídias digitais, mestre pela Sorbonne (França) em turismo, patrimônio e meio-ambiente. Minha formação em diferentes áreas permite que eu escreva com liberdade e interesse.