"Matemática trata de provar uma coisa óbvia por meios complexos." - Georges Polyà

No colégio, os alunos devem aprender a fatoração, tema central das aulas de matemática. Ela facilita o cálculo de uma soma ou subtração bem como a solução de certas equações. O que é a mediana em matemática?

No entanto, os alunos às vezes sofrem de dificuldades em fatorar operações e simplificar o cálculo.

Nesta matéria, revisamos com você os diferentes métodos para fatorar uma expressão algébrica!

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Introdução: o que é fatoração?

Fatorar uma operação é transformá-la em um produto de dois ou mais fatores.

Para aprender todos esses conceitos, nada melhor que um professor de matemática! Ele sabe como dar vida aos números! Aprenda já os algorítimos da informática!

Enquanto o seu não pode tirar sua dúvida, vamos lá. A fatoração simplifica a opreção a fim de tornar os cálculos mais fáceis de realizar.

Saiba os conceitos da aritmetica
Faça os cálculos necessários para a fatoração

Na aritmética mental, por exemplo, é comum realizar uma fatoração agrupando termos semelhantes: por um lado, o cérebro identifica os fatores comuns, depois realiza a soma de dois termos da mesma natureza.

Considere o exemplo de uma operação simples, como 200 x 25 + 425 x 25. Entenda o desenvolvimento algébrico!

Para encontrar o resultado, simplificamos os cálculos da seguinte forma:

  • 200 x 25 + 425 x 25,
  • = 25 x (200 + 425),
  • = 25 x 625,
  • = 15.625.

25 será, portanto, aqui o fator ou denominador comum a essas multiplicações.

Resta apenas adicionar os outros dois termos e aplicar um fator comum, aqui 25, para resolver a equação.

Suponha novamente que queremos calcular a área da superfície entre dois círculos, um de 25 cm de raio e o outro de 15 cm de raio.

Para ter sucesso nesses cálculos algébricos, procuraremos a diferença das áreas de cada um desses dois círculos: A = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²). Faça um cone 3D graças à matemática!

(π x 25²) - (π x 15²) é o mesmo que calcular primeiro cada um dos dois produtos ao quadrado, depois multiplicá-los por um valor aproximado de π (3,14), para finalmente realizar a subtração entre as duas áreas.

Ou seja: A = π x (25² - 15²).

Graças aos produtos notáveis, sabemos que a diferença entre dois quadrados assume a seguinte forma:

  • a² - b² = (a - b) (a + b),
  • A = π (25 - 15) x (25 + 15),
  • = π x 10 x 40,
  • = π x 400 ou 400 π.

Se π tem um valor aproximado de 3,14, então a área entre os dois círculos no exemplo é 400 π, ou cerca de 1.256 cm².

Além disso, fatorar expressões algébricas em produtos de fatores é amplamente usado para resolver equações de primeiro grau. Como fazer uma tesselação graças à matemática?

Como fatorar uma operação?

Como sempre na matemática, quando você deseja resolver cálculos, desenvolver operações ou transformar um produto, você deve antes de tudo conhecer as regras de álgebra a serem aplicadas.

Como aprender a fazer uma equação? O mais difícil em matemática é não perder o controle em nossos cálculos!

Para ter sucesso na fatoração de uma operação em um produto de fatores, devemos primeiro descobrir se podemos isolar um fator comum.

Calculadora poderá ajudar
Os números primos de uma fatoração

Por exemplo, procuraremos o fator comum que permite que a primeira parte seja multiplicada pela segunda parte: 4x + 20 por exemplo, é igual a 2 x (2x + 10).

A fatoração, portanto, implica ter um olho para identificar fatores comuns e quebrar a equação. Fração: calcule o quociente de dois números!

Portanto, para fatorar na aula de matemática, usaremos dois métodos:

  • Divisibilidade;
  • Fatores comuns.
    Se quisermos saber o resultado da equação f (x) = 0, sabemos que um produto é zero se e somente se um de seus fatores for zero.

Se f (x) = 0 pode ser escrito na forma y (x) x (g (x) = 0, será suficiente encontrar uma condição para y (x) = 0 ou para g (x) = 0.

Mais um exemplo.

Imagine que, em uma prova de final de semestre, você tivesse que resolver a seguinte equação algébrica: 4x² = 64.

Resolver a equação da cabeça não é fácil. Na melhor das hipóteses, substituiremos cada x por 1, 2, depois por x = 3, x = n até encontrar o valor de x para 4x² = 64.

Mas se transformarmos a equação para que tenha um produto comum, será muito mais fácil resolvê-la.

4x² = 64 é equivalente a 4x² - 64 = 0.

Aqui, a expressão algébrica f (x) é 4x² - 64. Se f (x) for igual a 0, então a subtração de 4x² - 64 é zero.

Observe que f (x) tem uma diferença notável: uma subtração entre dois quadrados. O que é uma conjectura em matemática?

Daí a possibilidade de fatorar, com (2x - 8) (2x + 8) = 0.

Para tornar a igualdade verdadeira, basta então que 2x - 8 = 0 ou 2x + 8 = 0.

Agora 2x - 8 = 0 a para a solução 8/2, ou seja, 4 e 2x + 8 a para a solução -4. A equação 4x² = 64, portanto, tem duas soluções: [-4; 4].

Aviso: você deve ter cuidado ao resolver equações quadráticas ou de primeiro grau, usando a regra do sinal. Após a simplificação, a passagem de um termo positivo do outro lado do sinal de igual torna-o negativo e vice-versa.

Não tenha medo da fatoração
Não perca seus parafusos, peça ajuda a um professor particular

Também é necessário ter cuidado e colocar parênteses na escrita dos polinômios.

Remover os parênteses significaria não aplicar mais as prioridades operacionais. Aritmética: como calcular um intervalo?

Finalmente, você deve sempre verificar seus resultados para ver, empiricamente, se o raciocínio matemático não o enganou.

Pode ser perturbador perder pontos estupidamente na prova de matemática do vestibular por causa de uma inversão de sinal. Se descobrirmos, por exemplo, que x = 2 para 2x + 4 = 0

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Fatoração de vários fatores comuns

Como determinar um fator comum em álgebra? Pergunte para o seu professor particular de matemática que terá a resposta na ponta da língua!

Enquanto isso, vamos tentar esclarecer alguns pontos do curso de matemática.

Quando o fator comum consiste em um único termo, a operação é relativamente direta.

Mas o que acontece quando o fator comum consiste em dois termos? Saiba tudo sobre aritmética!

Aqui está um pequeno exercício de fatoração:

Localize o fator comum e fatore a seguinte expressão: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3).

A expressão assume a forma (ax + ...) + (ax + ...).

Aqui, o fator comum é (x + 3), com dois termos. Para fatorar, vamos expandir e reduzir a expressão usando o mesmo processo de um único termo (2x + 4 = x (x + 2)), mas será necessário inserir colchetes entre parênteses para isolar os termos sem ser confundido.

Aqui está o resultado:

  • O fator comum é (x + 3),
  • Usamos o método distributivo enquanto estamos vigilantes sobre a regra do sinal,
  • A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3),
  • A = (x + 3) [(2x - 1) - (4x - 5)],
  • A = (x + 3) (2x - 1 - 4x + 5),
  • A = (x + 3) (- 2x + 4).

Para A ser igual a 0, (x + 3) = 0 ou (-2x + 4) = 0.

Portanto, temos duas soluções: x = -3 ou x = 2.

Fatorizar com produtos notáveis

A fatoração é usada ​​quando nenhum fator comum pode ser encontrado no cálculo. Por que não perguntar ao seu professor de matematica a domicilio?

Produtos notáveis ​​são usadas para o desenvolvimento matemático de expressões numéricas.

Mas eles também são usados ​​ao contrário para fatorar.

No entanto, nem sempre podemos encontrar um divisor comum. É aqui que entra em jogo um produto notável.

Existem três para aprender de cor:

  1. (a + b) ² = a² + 2ab + b²,
  2. (a-b) ² = a² - 2ab + b²,
  3. (a + b) (a-b) = a² - b².

Muito úteis para resolver equações de segundo grau, produtos notáveis ​​são um dos temas centrais do programa de matemática.

O primeiro produto equivale a escrever que o quadrado de uma soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro mais o duplo produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Matemática e seus cálculos
A aritmética serve para quase tudo na matéria dos números

O segundo especifica que o quadrado de uma diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o duplo produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. E, finalmente, o último quer que o produto da soma de dois números por sua diferença seja igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

Exemplo:

Como fatorar a expressão a² + 6a + 9?

Resposta: a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3², portanto a² + 6a + 9 = (a + 3) ².

Como fatorar x² - 81?

Vamos encontrar um valor de x para o qual o quadrado é igual a 81: x = 9.

Portanto, usando o produto notável n ° 3, a seguinte fatoração: x² - 81 = (x + 9) (x - 9).

Graças à fatoração, você será capaz de resolver uma equação com números inteiros, números relativos, frações e múltiplas raízes quadradas.

Veremos, para complicar a tarefa, como fatorar um polinômio quadrático (o quê? É preciso uma aula particular de matematica só para entender esse nome...).

Fatoração de um polinômio do segundo grau

A fatoração de um polinômio de segundo grau aparece no curso de matematica e os alunos já ficam com medo do nome esquisito.

Nesse caso, fatorar é equivalente a reescrever a expressão literal do cálculo como um produto de polinômios de primeiro grau.

Sejam a, b e c três números reais com a ≠ 0 e ∆ o discriminante do polinômio ax2 + bx + c.

A propriedade matemática é a seguinte: se x1 e x2 são as raízes de um polinômio de segundo grau ax² + bx + c, então ele pode ser fatorado na forma a (x-x1) (x-x2).

Se x0 é a única raiz de um polinômio de segundo grau ax² + bx + c, então podemos fatorar na forma a (x-x0) ².

Como a multiplicação (ou produto) de a (x-x0) ² = a (x-x0) (x-x0), consideramos então que x0 é uma raiz dupla.

Deduzimos o seguinte teorema:

  • Se ∆ = 0, o polinômio ax² + bx + c é uma raiz dupla real única observada x (0) = - (b / 2a) e, para qualquer x real, ax² + bx + c = a (x - x0) ².
  • Se ∆ <0, o polinômio ax² + bx + c não pode ser fatorado em ℝ,
  • Se ∆> 0, o polinômio ax² + bx + c admite 2 raízes reais distintas, denotadas (x1) = (-b - √∆) / 2a e (x2) = (-b + √∆) / 2a e, para qualquer x real, ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2).
  • Se c = 0, então a forma fatorada da expressão ax² + bx + c torna-se x (ax + b).

Você pode muito bem fazer curso matemática para aperfeiçoar seus conhecimentos, fazer exercícios de fatoração e entender melhor sua aula  matematica para evitar armadilhas ou até mesmo se familiarizar com cada caso particular.

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Carolina

Jornalista, pós-graduada em mídias digitais, mestre pela Sorbonne (França) em turismo, patrimônio e meio-ambiente. Minha formação em diferentes áreas permite que eu escreva com liberdade e interesse.