“Grande parte da matemática que se tornou útil se desenvolveu sem qualquer desejo de ser útil, em uma situação em que ninguém poderia saber em que áreas ela seria útil. Não havia nenhuma indicação geral de que eles se tornariam úteis. Isso é verdade para todas as ciências.", John Von Neumann

Você já ouviu falar em mosaicos? Seja com azulejos, revestimento de uma rua ou desenhos de Maurits Cornelis Escher? É comum chamar de mosaico ou tesselação qualquer conjunto de tijolos, azulejos ou transformações geométricas com propriedades topológicas, geométricas ou cristalográficas.

Mas, por mais simples e divertido que possa parecer esse plano de simetria, há muito que saber para realizar esse famoso desenho geométrico. O Superprof explica tudo para que você seja imbatível como matemático ou matemática. Além do mais, será a oportunidade de revisar o curso matemática do colégio!

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O que é mosaico em matemática?

Sem pensar, você vê coisas com muita frequência em sua vida diária. Azulejos de banheiro, paralelepípedos nos becos, vitrais de igrejas... são exemplos de montagem de formas geométricas simétricas.

A tesselação é arte
Os vitrais das igrejas também partem desse princípio

Por definição, "chamamos um mosaico de um espaço euclidiano E, qualquer partição de E em blocos isométricos dois a dois. Quando E tem dimensão n, diz-se que um mosaico é periódico se for globalmente invariante por n traduções de vetores não colineares".

Na verdade, trata-se de um número definido de figuras geométricas que se encaixam perfeitamente repetindo o mesmo motivo indefinidamente, sem nunca serem sobrepostas. Na verdade, é uma partição do plano euclidiano. E você sabe o que é uma conjectura em matemática?

Podem ser utilizadas diferentes formas geométricas, como polígonos convexos, quadrados, retângulos, hexágonos, paralelogramos, triângulos ou mesmo pentágonos.

É bom saber que, na cristalografia (ciência que estuda os cristais em escala atômica), distinguimos diferentes tipos de mosaico do plano.

Podemos, portanto, classificar as telhas de acordo com certos critérios.

Ladrilhos ou azulejos regulares formados por polígonos regulares convexos idênticos, polígonos regulares sobrepostos ou não, triângulo equilátero (na geometria euclidiana, ele é o triângulo cujos três lados são iguais) um quadrado ou um retângulo.

Os mosaicos semirregulares têm apenas oito circunstâncias possíveis, todas compostas de pelo menos dois polígonos convexos regulares diferentes.

As transformações geométricas apelam à imaginação, não é? Quer aprender a fazer um cone 3D graças à matemática?

Portanto, o que pode ser chamado de tesselação é, por definição: "Tesselação (do inglês tesselation, pelo latim tessella,ae [1]) é o recobrimento de uma superfície bidimensional (um plano), tendo, como unidades básicas, polígonos congruentes ou não, sem que existam espaços entre eles e de modo que a superfície total seja igual ao espaço particionado". Fonte: Wikipedia

Falamos de isometria quando os ladrilhos, lajes ou azulejos são idênticos. O conceito de isometria vai empurrar para dar uma distância e uma orientação ao plano. Em seguida, falamos de espaço euclidiano e produto escalar.

Faça arte com a matemática
O mosaico é uma arte muito antiga

A isometria do plano - a orientação dos elementos de simetria -pode ser uma translação, uma simetria central, uma rotação, uma simetria axial ou uma simetria deslizante.

Isso dá vários tipos de tesselação divididos em 5 grupos (assim, você vai aprender o que é fatoração também!):

Os regulares:

  • Triângulos,
  • Quadrados,
  • Hexágonos,

Os semirregulares:

  • 3-3-3-4-4,
  • 3-3-4-3-4,
  • 3-6-3-6,
  • 3-3-3-3-6,
  • 3-4-6-4,
  • 3-12-12,
  • 4-8-8,
  • 4-6-12,

Os demirregulares:

  • Pentágonos
  • Triângulos
  • Homogêneas e não homogêneas,
  • 3D (Cubos truncados e octaedros)

Também falamos de ladrilhos periódicos, quando todos os elementos geométricos são compostos de quadriláteros.

Finalmente, é possível pavimentar o espaço com prismas Kepler. Existem apenas cinco tipos de mosaico de espaço compreendendo apenas um poliedro.

Matemática também é arte
Quadrados fazem parte das tesselações

Agora que você sabe como funciona a tesselação, vamos ver como fazer um e nem precisa de uma aula de matematica para isso.

“Frequentemente ouvimos que matemática é 'provar teoremas'. O trabalho de um escritor seria “escrever frases”? Acima de tudo, o trabalho de um matemático é um emaranhado de conjecturas, analogias, desejos e frustrações; a demonstração, longe de ser o cerne da descoberta, costuma ser apenas uma maneira de garantir que nossas mentes não nos preguem.", Gian Carlo Rota

Como fazer um mosaico geométrico?

Você vai entender que o mosaico é usado em vários campos: arquitetura, arte, natureza... Eles são onipresentes e não apenas na aula particular de matemática.

Para construir uma figura semelhante a um mosaico, você precisa de duas folhas de papel, lápis de cor ou canetinhas e uma tesoura. Quer também aprender os algorítimos da informática?

Primeiro, escolha seu elemento geométrico. Você pode desenhar um polígono, um losango, um trapézio ou uma forma triangular em uma grade e, em seguida, cortá-lo. Você não vai precisar de algoritmos para realizar seu primeiro mosaico. Esse exercício de geometria é acessível a todos!

Agora que você tem seu padrão básico, pode usá-lo colocando-o na folha de papel (que você usa como um espaço geométrico específico) e repetindo formas regulares.

Identifique as linhas de simetria e transfira seu contorno geométrico para toda a folha de papel. Quer entender também o desenvolvimento algébrico?

Aqui estão suas linhas geométricas dando uma tesselação! Na verdade, é a redundância da mesma figura geométrica sem sobreposição que atinge essa representação.

Agora que você entende o conceito em ação sem usar o Teorema de Tales ou o Teorema de Pitágoras, pode se divertir experimentando diferentes tipos de coisas, como com o professor particular de matematica!

Execute várias figuras para treinar. Use um quadrilátero, pentágono ou octaedro para diversificar suas realizações.

Você vai ver, isso é muito divertido e permite que você faça exercícios de matemática de uma forma lúdica.

O objetivo aqui é que você aprenda o mosaico e as linhas de simetria. Para isso, você pode utilizar alguns exemplos dos mais famosos poliedros regulares usando uma forma geométrica diferente. Como entender o desenvolvimento algébrico?

As tesselações mais famosas

Em sua aula paticular de matematica, você verá que há uma infinidade de coisas muito conhecidas.

Muito parecido com os cristais, o pavimento de Penrose é um dos mais famosos frisos geométricos. Com figuras simples, você pode criar esse pavimento baseado em pentágonos, diamantes, pentagramas e porções de pentagramas, mas também quadriláteros.

Para uma demonstração de geometria perfeita, a pavimentação do Cairo é um excelente exemplo. Esse mosaico do plano euclidiano consiste em pentágonos irregulares colocados ao longo de um eixo de simetria.

Quadrados em repetição para piso
Os azulejos fazem maravilhosas tesselações

Ele pode ser encontrado nas ruas do Cairo, no Egito, daí seu nome. Para a pequena descrição geométrica, seus pentágonos consecutivos têm dois lados do mesmo comprimento e um mais curto.

Aqui estão alguns exemplos adicionais:

  • A pavimentação da abadia real em Autise, cidade na França.
  • O pavimento da igreja românica da Gargilesse, cidade francesa.
  • Uma pavimentação da praia de Royan (França) em forma de vieira,
  • Os mosaicos da Alhambra de Granada na Espanha,
  • As calçadas do castelo de Blois,
  • As calçadas das igrejas românicas,
  • E muitos outros!

Você está pronto para desenhar figuras geométricas na interseção perfeita? Use sua imaginação para desenhar formas. Tenha em mente que o sucesso está em um centro de simetria perfeito. Aliás, o que é a mediana em matemática?

Alguns exemplos de tesselações simples

Se você está procurando inspiração para suas artes, a internet está cheia de ideias e tutoriais.

Que coisas podemos fazer com a aula matemática? Mais do que a disciplina, a pavimentação oferece um ensino verdadeiramente artístico. Divirta-se encontrando formas geométricas e entendendo sua disposição em uma fachada, um beco, uma pintura! Quer saber tudo sobre aritmética?

Aqui estão alguns exemplos para você praticar.

Com um espírito muito lúdico, faça um pavimento usando um envelope! Um peixe e um coelho para produzir. Essa atividade pode ser uma ideia para praticar com os seus filhos!

Faça uma pavimentação transversal começando sua construção em uma placa de grade. Um dos mais simples de executar, mas continua sendo um das melhores aulas de matematica. Ele lhe dará o básico para começar novas tesselações.

Você pode encontrar tutoriais na web que vão ensiná-lo a fazer um mosaico com software de computador. É verdade que o mosaico não é reservado exclusivamente para um meio físico.

Além disso, a informática facilita a repetição do mosaico, pois existem formas de automatizá-lo.

Com a ajuda do computador, você poderá transformar a forma inicial do retângulo e diminuir figuras planas ad infinitum.

Um outro passo a passo auxilia na construção de um pavimento giratório. Lá também você perceberá que as possibilidades são infinitas e que sua inventividade abrirá o campo de belas criações. Mas se o assunto for aritmética, como calcular um intervalo?

Agora você sabe tudo sobre pavimentação, desde o curso de matemática até sua aplicação na vida cotidiana, incluindo sua realização.

Você não precisa ser um matemático para começar!

Você pode tentar com suas mãos, começando com mosaicos simples. Figuras planas, rotações, triângulos equiláteros, bússola, triângulo retângulo, equação, ângulos, deixe sua imaginação falar mais alto.

A prática de pavimentação vai trabalhar seu intelecto tanto quanto sua inventividade. Ou você prefere calcular a fração: o quociente de dois números?

A família da matemática também está relacionada com passatempos criativos! As possibilidades são ilimitadas.

No entanto, se desejar, você pode fazer aula particular matematica para lembrá-lo do básico. É verdade que, para alguns, trigonometria, Tales e Pitágoras estão distantes...

Divirta-se!

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Carolina

Jornalista, pós-graduada em mídias digitais, mestre pela Sorbonne (França) em turismo, patrimônio e meio-ambiente. Minha formação em diferentes áreas permite que eu escreva com liberdade e interesse.