Solucionar sem erros os exercícios de matemática não é sem pesar para uma boa parte dos estudantes do ensino fundamental e do médio: do logaritmo natural à função exponencial, da álgebra à geometria, às vezes é difícil representar a matemática de maneira concreta.
As aulas de matemática nem sempre são tão concretas assim: isso é evidenciado pelo número i, que está entre os números complexos, e cuja utilização em matemática pode parecer bastante difícil. Felizmente esse outro mistério da matemática está entre os assuntos mais estudados na escola e, com um pouco (muito) de esforço e atenção, dá para compreender do que se trata esse número complexo.
Certo, a matemática pode não ser a matéria mais fácil da grade escolar, mas sem dúvida é uma das mais interessantes. A matemática fascina justamente pela sua complexidade. Muitos estudantes gostam de descobrir os mistérios que rodeiam as fórmulas matemáticas, os números exercem um poder sobre os mais curiosos cuja mente funciona de forma lógica.
Na matemática, como todo mundo sabe: os números são essenciais!
Álgebra é o ramo da matemática que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinómios e estruturas algébricas...
Que tal iniciar um curso de matematica enem?
Mas é verdade que nem todas os números são usadas da mesma maneira, no sentido de que uma adição e números complexos não têm as mesmas virtudes. E alguns números são mais complexos do que outros ... Em geral, distinguimos várias disciplinas apenas em álgebra, com níveis variados de complexidade:
Álgebra não comutativa
A nova álgebra
A aritmética,
O cálculo formal,
Geometria algébrica,
Álgebra homológica
Álgebra Linear,
A estrutura algébrica,
O teorema da álgebra.
E por aí vai...
Em outras palavras, o uso dos números é muito variado, e o aprendizado meticuloso é necessário. Só em álgebra seriam necessário algumas centenas de horas para estudar todo o programa. Mas certos domínios, como os números imaginários, têm propriedades muito particulares e, por definição, complexas. Quer saber mais? Então vamos lá!
E precisamente, em sua forma algébrica, os números complexos são apresentados da seguinte maneira, com a fórmula:
a + ib
O número a corresponde à parte real, enquanto a parte b corresponde à parte imaginária. Primeiro, deve ser entendido que os números complexos incluem números reais e números imaginários. Mais exatamente, encontramos as seguintes denominações:
N = conjunto de números naturais,
Z = conjunto de inteiros relativos
D = conjunto de decimais
Q = conjunto de racionais,
R = conjunto de reais
C = conjunto de complexos.
O número imaginário puro, chamado "i", faz parte do campo numérico complexo, ao qual aplicamos o quadrado -1. Vamos explicar mais detalhadamente neste artigo os detalhes desse fascinante número.
Antes disso, que tal você dar uma olhada nesse artigo inteiramente dedicado aos números perfeitos?
Muitas vezes desconhecidos dos alunos do ensino fundamental, O número i chega com tudo confundindo a cabeça da galera no ensino médio... Hum, uma letra do alfabeto, como assim?
O número imaginário é representado pela letra i
O i é definido na matemática como um número complexo cuja assimilação é simples, mas requer as faculdades de abstração.
Explicamos:
Em matemática, algumas equações do segundo grau não têm solução real, porque não há nenhum número real cujo quadrado seja negativo. Isso significa que não se pode multiplicar um valor sozinho sem produzir um resultado positivo: por exemplo, 2² é 4, assim como (-2) ².
Para compreender esta propriedade matemática, devemos voltar aos cursos de matemática da 4 ª série , onde aprendemos a regra dos sinais: multiplicar, subtrair, dividir ou somar mais por mais dá mais, menos por mais e mais por menos dá um sinal negativo, e menos por menos dá um sinal positivo.
Se o teorema matemático quer que o produto de dois números negativos seja positivo, deduzimos que o quadrado de qualquer número, mesmo negativo, é positivo.
Assim, entre as figuras geométricas, o teorema de Pitágoras e Thales , aprendemos na escola que as raízes quadradas da seguinte forma:
a raiz quadrada de x é o número que, levantado ao quadrado, é igual a x. Se n =, então n² = x. Então nós temos = 3.
A onde estamos querendo chegar?
Nos muitos séculos da história da matemática, foi a busca de raízes quadradas para números negativos que levou à invenção de números complexos como i.
Agora o conjunto de números complexos é considerado como uma extensão do conjunto de números reais contendo um número imaginário denotado como expoente (a; b) tal que i = raiz quadrada de -1 e i² = -1, com o quadrado de ( -i) também é igual a -1.
O princípio é que qualquer número pode ser escrito na forma a + i b, onde aeb são números reais, negativos ou positivos.
É por isso que os números "raiz quadrada de -4 = 2i", "raiz quadrada de -16 = 4 i" etc. são números imaginários.
Se a raiz quadrada de -1 não existe, não podemos estimar decimais exatos ou aproximados como fazemos para as raízes de números positivos (exemplo, raiz quadrada de 5 = 2.236).
O número i é, portanto, um conceito que permite conceber toda uma família de raízes quadradas de números negativos.
Os números complexos surgem no século 16, quando Gerolamo Cardano (1501-1576) - Jerome Cardan -, um matemático italiano, apresentou para resolver uma equação de terceiro grau.
Se você não dominar os números inteiros naturais, vai ficar difícil de se aprofundar nos inteiros relativos ...
Raphael Bombelli (1526-1572 ou 1573) é o primeiro matemático que elaborou regras de cálculo sobre "números impossíveis" em álgebra (álgebra) onde aparecem as primeiras propriedades de números complexos.
O número i surge da busca por soluções não reais para equações de terceiro grau, equações polinomiais com raiz cúbica.
Em 1637, o filósofo francês René Descartes (1595-1650) batizou esses valores impossíveis de números imaginários. Veja mais sobre a vida e a obra de Descartes mais abaixo!
Mais tarde, a notação i aparece em 1777 sob o impulso do trabalho de Leonhard Euler (1707-1783) - sim, o inventor do número e para calcular a função exponencial -, para os números que qualifica como impossíveis ou imaginária.
Durante o século XIX, graças em particular as pesquisas de C. F. Gauss (1777-1855), esses números complexos puros acabam sendo considerados números por si mesmos.
O interesse dos números complexos como e ou i pode ser, de acordo com Augustin Louis Cauchy (1789-1857), "escrever em forma abreviada resultados bastante complicados em aparência", com "uma combinação de signos algébricos que não significa nada em ela mesma ".
Facilitando a computação algébrica, números complexos também são introduzidos na representação geométrica para facilitar os cálculos.
Dá uma olhada também nesse artigo dedicado aos números divinos ou proporção áurea!
O uso e aplicação de números complexos são múltiplos, embora quando se faz cursos e exercícios de matemática para revisar o conteúdo do vestibular, nem sempre consta essa parte na grade!
Você sabia que os engenheiros de computação usaram o número i para construir computadores?
Mas por que criou-se os números imaginários?
De fato, o número i torna possível resolver equações que não têm solução real.
Aqui estão dois exemplos:
A equação x + 8 = 1 não tem solução em conjuntos de números naturais (onde x é igual a -7), mas no conjunto de números relativos
A equação x² = 2 (x = raiz de 2) não tem solução no conjunto de números racionais, mas tem uma no conjunto de números irracionais.
E por que não imaginar que 2 + 2 é 10, contanto que conseguimos explicar a hipótese...
De fato, graças ao número imaginário observado i, foi possível resolver absolutamente todas as equações, sejam inteiros, irracionais ou decimais.
O uso do número imaginário também ajudou no progresso da pesquisa em física e eletricidade: o número i permitiu o estudo de circuitos impressos de computadores e, portanto, está na base da revolução dos computadores do século XX.
A transição para números complexos e imaginários puros permite a resolução de problemas insolúveis sem este número i, para algumas integrais, por exemplo.
Números complexos também são usados por engenheiros quando eles têm que calcular formas de onda (acústica ou eletrônica) ou fluxo (aerodinâmico, hidrodinâmico) e são usados no uso de radares, imagem ou sonar).
É com a ajuda de números complexos que os engenheiros podem descrever o comportamento dos circuitos eletrônicos, que tal fazer uma aula matematica?
Aprenda mais sobre o número i
Concretamente, como é que utilizamos o número i?
Vamos pegar uma fórmula simples e explicar aqui as diferentes etapas do raciocínio, com referência à parte introdutória da álgebra: a + bi. Neste caso, as letras "a" e "b" referem-se a números reais, enquanto "i" refere-se a uma figura imaginária.
Como isso é calculado?
No contexto de uma adição ou subtração, procederemos à operação matemática separando as partes reais e as partes imaginárias, o que dará:
(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i
Para fazer uma multiplicação com dois números complexos, usaremos a distributividade dupla e a propriedade i2 = -1. Isso dá o seguinte exemplo:
(2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i²=-7+22i
Para o quociente, ou seja, as divisões, a operação é um pouco mais complexa. Vamos primeiro multiplicar os dois números pelo "conjugado" do segundo, e simplificamos o resultado. Isso equivale a dizer que o conjugado de um número complexo a + bi é o número a - bi. Aqui está o exemplo:
2 + 3i sur 4 + 5i = (2 + 3i)(4-5i) sur (4 = 5i)(4 – 5i)
= 8 – 10i + 12i – 15i au carré sur 4 au carré – (5i) au carré
= 23 + 2i sur 16 + 25
= 23 sur 41 + 2 sur 41i
É altamente recomendável que você treine em papel livre antes de aprender a usar uma calculadora com números complexos. O importante é conhecer as regras e o raciocínio científico antes de você mesmo fazer seus cálculos.
Quer conhecer mais mistérios da matemática? Veja aqui o mistério que rodeia o número Pi!
A resposta para as perguntas
qual o número que se obtém se elevar o número 3i ao quadrado? É -9 (porque (3i) ² = 3² x i² = 9 i², ou i² = -1).
qual desses dois números é o quadrado de -16 (-4 ou 4i)? É 4i porque a raiz de - 16 é imaginária, logo a resposta é 4i.
Matemática: a vida de Descartes
Nascido na França em 1596, na cidade de La Haye en Touraine, renomeada como Descartes, René Descartes é um dos intelectuais mais famosos da França. Criado em uma família burguesa, René Descartes é educado por seu pai, um conselheiro no parlamento da Bretanha e sua avó materna. Ele não conheceu sua mãe que morreu em seu parto.
A geometria analítica é obra também de Descartes
Sua educação é feita primeiro no colégio dos jesuítas. As regras são rígidas e as aulas são puxadas... A escola, criada por Henrique IV (rei da França de 1572 a 1610), é uma oportunidade para René Descartes desenvolver seu senso matemático e mostrar do que ele é capaz.
Quem foi o matemático Descartes? René Descartes é um dos maiores cientistas de nossa história.
Ele continua seus estudos de pós-graduação na Universidade de Poitiers. Apesar de estudar direito e obter um diploma, René Descartes nunca exerceu a profissão. O jovem prefere se juntar ao exército europeu (o exército da Baviera) e aproveita a oportunidade para descobrir os países europeus enquanto viaja.
Em 1628, Descartes decidiu se estabelecer na Holanda onde preparou um trabalho científico chamado "Le Monde" (O Mundo em francês). Ele descreve muitos fenômenos físicos que explicam como o mundo funciona.
Descartes explica, em particular, seguindo os dados de Copérnico e Galileu, que a Terra gira sobre si e ao redor do sol. Quando ele quer publicá-lo, em 1633, o cientista é condenado pela Igreja em pleno contexto da inquisição. Ele decide adiar o lançamento do livro por alguns anos.
Ele, então, escreve um novo trabalho ainda hoje famoso: Discurso do Método. Estudado no ensino médio nas aulas de matemática, esse livro foi publicado em 1637. A produção marca seus contemporâneos, uma vez que está escrito em francês e não em latim como a tradição de trabalhos científicos.
O livro é acompanhado por três ensaios sobre óptica geométrica e as leis da refração, sobre meteoros e a meteorologia e o último sobre geometria. É nesse ensaio que René Descartes explica a relação entre geometria e álgebra. Assim, ele cria a geometria analítica, grande tema da aula de matematica.
René Descartes publicou outros trabalhos importantes durante sua carreira, incluindo os Princípios da Filosofia em 1644 ou As Paixões da Alma em 1649.
Os cálculos devem muito ao matemático francês
Vítima do frio escandinavo, o cientista e filósofo morre de pneumonia em 1650. Na mesma época, ele é chamado pela rainha Christine da Suécia.
Álgebra segundo René Descartes
Quando Descartes escreve Discurso do Método no século XVII, o cientista faz proposições que marcam a matemática e particularmente o campo da álgebra. Em particular, expressa valores desconhecidos por letras. Embora hoje essas anotações nos pareçam bastante normais, as letras não eram utilizadas.
É François Viète, um matemático contemporâneo de Descartes, quem primeiro introduz essas letras em fórmulas algébricas. Descartes, em seguida, retoma essa maneira de observar a matemática em seu livro Geometria, parte do famoso Discurso do Método.
Em seguida, encontramos as letras x, y, z, para indicar as incógnitas das equações, as letras A, B, C para designar valores já conhecidos e o uso do expoente para expressar os poderes (x4 em vez de xxxx).
Quais são as descobertas de Descartes? Descartes revolucionou a geometria e a álgebra!
Somente a expressão do quadrado não é alterada. Continuamos escrevendo xx e não x². O sinal de igual ainda não é conhecido na época de Descartes. A subtração, é expressa por dois traços negativos.
No campo da álgebra, Descartes também introduz o termo "número imaginário" para falar de números complexos.
"Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma a + bi, onde a e b são números reais e i um número imaginário tal que i² = -1."
Descartes é mais conhecido no campo da matemática por relacionar cálculos matemáticos à geometria plana. Ele chama isso de geometria analítica. Descartes é, portanto, o primeiro a relacionar a expressão de uma realidade geométrica por uma equação, o uso de coordenadas e a representação gráfica.
As equações não existiriam se não fosse Descartes
Em seu trabalho, Descartes diz o seguinte:
"Assim, desejando resolver algum problema, devemos primeiro considerá-lo como já feito, e dar nomes a todas as linhas que parecem necessárias para construí-lo, bem como àquelas que são desconhecidas por outros. Então, sem considerar qualquer diferença entre essas linhas conhecidas e desconhecidas, devemos atravessar a dificuldade de acordo com a ordem que mostra, mais naturalmente, de que tipo elas dependem mutuamente...".
Matemática e Descartes: o método das coordenadas
Descartes é um nome que todos ouvimos e lembramos. Sempre vemos as descobertas de Descartes nas aulas de matematica e por boas razões. Ele é o primeiro a demonstrar as relações entre linhas retas e curvas e equações matemáticas. A geometria analítica nasce assim e é definida da seguinte forma:
"Ramo da geometria que representa curvas e figuras geométricas por expressões algébricas em um sistema de coordenadas."
Para provar essas afirmações, René Descartes relata pontos da mesma curva com dois eixos da mesma origem graças ao sistema de coordenadas hoje chamado coordenadas cartesianas.
Quais livros Descartes escreveu? O trabalho mais conhecido de Descartes é o Discurso do Método.
Diz a lenda que Descartes teria tido a ideia de usar as coordenadas olhando para uma mosca que vagueava nos ladrilhos de uma janela, sendo os ladrilhos os marcos para estabelecer as coordenadas do plano.
As coordenadas foram certamente inventadas em primeiro lugar por Leonardo da Vinci. Descartes, então, as usa para converter curvas e linhas retas em cálculos aritméticos. A curva da parábola é assim traduzida por Descartes: y = x2.
Naquela época, e para Descartes, apenas as coordenadas positivas foram levadas em consideração. Eles representavam segmentos precisos de uma forma geométrica cujos valores deveriam ser positivos.
O nome Descartes é hoje atribuído a um tipo de equação. A equação cartesiana de um plano é, portanto, uma equação relacionada a uma curva cujo ax + by + cz + d = 0 é assumido com (a, b, c) = / = (0,0,0).
Para uma linha passando por A (1, 3), com interceptação em -4, a equação cartesiana é "y = 7 x - 4".
Para o plano do espaço passando por A (1,1,2), B (1,0,1) e C (0,2,1), a equação cartesiana será "2x + y - z = 1" .
Trigonometria, álgebra de raciocínio, equação, fração, logaritmo, nossos cursos de matemática ainda são marcados pelas descobertas científicas de René Descartes. É quase impossível ignorar esse gigante da ciência.
Todas as nossas equações usam as letras para indicar valores conhecidos ou desconhecidos. Essas notações modernas são, portanto, a base de nosso aprendizado de matemática do ensino fundamental ao ensino médio ou no ensino superior para estudantes que continuam seus estudos em matemática (e também nas aulas particulares de matemática).
Sem essa passagem, ainda marcaríamos "quadratus" e "cubus" para observar x2 e x3.
Descartes também admite que problemas de geometria podem ser transformados em problemas numéricos. Essa geometria analítica agora faz parte do currículo de matemática da educação. As coordenadas de um plano são estudadas no colégio, enquanto as equações cartesianas são ensinadas no ensino médio.
O que é o curso de matematica cartesianas? A matemática de Descartes é ensinada em todas as classes!
Seu nome agora está enraizado em nosso vocabulário e é atribuído a um grande número de métodos matemáticos. Equações cartesianas, marcas cartesianas, etc. O sistema de coordenadas cartesianas representa, em particular, as coordenadas com três referências exatamente como um sistema de coordenadas afim (O, I, J).
O nome de René Descartes também foi associado ao pensamento cartesiano. Uma mente cartesiana é uma mente que analisa e tem um senso de rigor. Então, você se define como cartesiano?
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Joseane Moura
Apaixonada por Línguas e Culturas, sou uma viajante assídua que acredita que viajar é a melhor forma de aprender.
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