A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.
Descartes
Se você é uma das pessoas que (como eu) nunca foi muito chegado em matemática, esse artigo pode ser um bom começo para que você comece a mudar a sua visão sobre essa ciência exata.
Ela é uma disciplina que existe desde os primórdios dos tempos, uma ciência que servira ao desenvolvimento da humanidade desde a sua descoberta. A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. Se hoje temos um computador em casa, parte disso é graças a vários estudiosos dentro do ramo!
A vida está impregnada de matemática! Nós a utilizamos quando fazemos comparações, usamos matemática cotidianamente em nossos gestos e atitudes de forma consciente ou não. É preciso dizer que toda a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. Não tem mesmo como fugir!
Embora este campo de estudo continue sendo um mistério para muitos de nós, alguns a consideram uma ótima maneira de entender e analisar o mundo que nos cerca (é nerd que fala, não é? risos!) .
Neste artigo completamente dedicado aos números perfeitos, você descobrirá uma parte incrível dessa disciplina, aquela que fala sobre os famosos números perfeitos e para que eles realmente servem (alerta de spoiler: os números perfeitos não vão facilitar o seu cotidiano, mas é sempre bom aprender, nem que seja só para passar de ano!).
Preparados(as)? Então sigam-me os bons...e os não tão bons assim...
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Para que servem os números perfeitos na matemática?
Um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.
Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois: 6 = 1 + 2 + 3
Um passeio pela história dos números perfeitos...
A história conhecida dos números perfeitos data de pelo menos cerca de 500 anos antes de Cristo. O estudo inicial desta linha da matemática pode remontar aos egípcios que podem mesmo ter encontrado esses números naturalmente. Sobre a descoberta em si, não existem muitas informações. Sendo assim, reza a lenda que eles teriam sido descobertos pelas pessoas que habitaram o Egito. No entanto, apenas os gregos demonstraram interesse em estudá-los. Não seria justo falar sobre os números perfeitos sem mencionar o nome de Pitágoras.
Pitágoras se destacou como um grande matemático que desvendou grandes mistérios, chegando a incríveis conclusões matemáticas que utilizamos ainda hoje, uma das mais conhecidas sendo o “Teorema de Pitágoras” que leva seu nome.
Os discípulos de Pitágoras hoje são chamados de pitagóricos, e também eram conhecidos pelo gosto por charadas e enigmas matemáticos, muitos dos quais não foram solucionados até hoje. Tanto Pitágoras quanto os pitagóricos se lançaram nos estudos dos números perfeitos por causa do que considerariam suas propriedades místicas.
Mas para que realmente servem os números perfeitos?
Se os números primos são reconhecidos como a base da aritmética por muitos matemáticos, os números perfeitos não têm utilidade particular, no sentido de que não são usados para resolver uma equação, fatoração e não entram no campo da criptografia.
Pra mandar o papo reto, os números perfeitos não servem para mais nada a não ser ocupar a cabeça dos (loucos) apaixonados por esta disciplina numérica! Tá...estamos sendo injustos em nosso julgamento. Os números perfeitos, por serem raros, constituem um dos maiores enigmas da matemática, exigindo muito estudo para chegar ao encontro de um deles...
Os discípulos de Pitágoras acreditavam que os números eram o conceito fundamental do universo. Eles classificavam os números de formas diferentes.
Por exemplo:
- os números primos (o número 13 é um número primo, pois se divide somente por 1 e por ele mesmo),
- os números pentagonais,
- os números amigos,
- os números figurados,
- os números triangulares e por aí vai...
Dessa classificação chegou-se aos números perfeitos...
Números deficientes
Mas antes de falarmos deles, vamos falar dos seus opostos, como é o caso do número 8 por exemplo. O número 8 é um número chamado de número deficiente, pois a soma de seus divisores (sem contar o próprio número) é menos do que ele mesmo. Os divisores de 8, ou seja, 1, 2 e 4, somados totalizam 7, logo, o número 8 é considerado deficiente.
Número excessivo ou abundante
Em oposição aos ditos números perfeitos, temos também o número excessivo ou abundante. Ne
les, a soma de seus divisores é maior do que o próprio número. Por exemplo: o número 12, cujo seus divisores, 1, 2, 3, 4 e 6, somados totalizam 16. O número 16 é maior do que o número 12, colocando o 12 como um número excessivo.
Entenderam o conceito?
Quais são os números perfeitos já descobertos?
"Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias; o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse".
Santo Agostinho (354 - 430 d.C.)
Então os números mais importantes - ou números perfeitos, como foram classificados - são aqueles cujos divisores somados (excluindo o próprio número) são iguais a eles mesmos.
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Eis alguns exemplos:
- 6 = 1 + 2 + 3
- 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
- 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- 8128
- 33550336
- 8589869056
- ...
- 2658455991569831744654692615953842176
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Números perfeitos pares
Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8128) eram os únicos dos quais se tinha conhecimento pelos gregos antigos, desde pelo menos Euclides. No século XV, o número 33.550.336 foi acrescentado à lista.
Como podemos ver pelo exemplo acima, os números perfeitos são extremamente raros. Apenas com o aparecimento dos computadores foi possível encontrar números perfeitos maiores. O trigésimo número perfeito conhecido é o 2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176, que possui nada mais nada menos do que 37 algarismos. E o quadragésimo quarto número perfeito descoberto possui quase 20 milhões de algarismos!!!
Incrível não é?
Números perfeitos ímpares
A existência ou não de números perfeitos ímpares é um desafio para os que os estudam. E se existe algum ou não, é uma conjectura antiga que permanece sem solução.
Conjecturas
As conjecturas em relação aos números perfeitos são numerosas.
Uma conjectura é uma regra que nunca foi provada. Aqui estão três delas:
- Os números perfeitos de Euclides são todos pares porque um dos fatores é uma potência de 2. Mas nada prova no momento que não há números perfeitos ímpares,
- Também não foi provado que realmente exista uma infinidade de números perfeitos.
- Todos os números perfeitos conhecidos terminam em 6 ou 28, mas, novamente, isso talvez não seja verdade,
Você tá disposto a se dedicar à descoberta do próximo número perfeito?
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Número primo de Mersenne
Sim, estamos falando de números perfeitos e não de números primos. No entanto, veremos a presença do número primo de Mersenne em praticamente todas fórmulas que apresentaremos abaixo.
Na Teoria do Números, um primo de Mersenne é representado pela fórmula 2n-1, onde n é um número natural. Esses primos são um subconjunto dos números de Mersenne, representados por Mn.
Eles receberam este nome graças ao teólogo e matemático francês Marin Mersenne. Lá em 1644, ele afirmou no prefácio de Cogitata Physica-Mathematica que, para n ≤ 257, Mn é um número primo apenas para 2, 3, 5, 7 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257. No entanto, alguns séculos depois esta lista foi corrigida, pois ela contém dois número que formam números compostos (67 e 257), além de ter deixado dois números que produzem números primos (89 e 127). Determinada em 1947 (sim, 300 anos depois!!!), a lista corrigida é a seguinte:
Mn é um número primo apenas para 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 89, 107 e 127.
Vários estudiosos famosos da disciplina se empenharam a pesquisar e desenvolver esta lista, dentre eles um que foi igualmente muito importante para o estudo dos número perfeitos: o suíço Leonard Euler. Ele verificou pela primeira vez em 1750 que 31 produz um Mn.
Hoje sabe-se que para Mn ser primo, n deve ser primo (p), embora nem todos os Mp sejam primos.
Mas qual a importância do estudo de Mersenne para os números perfeitos?
A resposta é simples, mas não evidente para aqueles que estão começando a entender esta linguagem numérica: cada primo de Mersenne está associado a um número par perfeito!
A prova dos teoremas dos números perfeitos
Para quem não sabe, a Matemática é toda baseada em teoremas.
Um teorema é uma afirmação que foi provada verdadeira por um tipo especial de argumento lógico, tal argumento chamado de prova. Ele é uma regra expressada por símbolos e fórmulas.
Teorema de Fermat
Pierre de Fermat foi um matemático francês amador (ele era jurista de profissão) que contribuiu para o desenvolvimento da Teoria dos Números do ponto de vista teórico.
Seus estudos provam que Mn = 2n - 1; se Mn é primo, então n é primo. Para estabelecer que quando 2n - 1 é primo, n é primo, devemos provar a afirmação se n é composto, então 2n - 1 também é composto.
Assim n = ab, com a, b> 1, e a identidade xk - 1 = (x - 1) (xk-1 + xk-2 + · · · + x + 1) onde x = 2a e k = b.
Segue então 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · + 2a + 1), o que mostra que 2n-1 = 2ab-1 é composto, já que quando fatorizado como dois fatores cada um maior que 1 (porque a> 1).
Teorema de Euclides
Bem antes de Mersenne e Fermat, o matemático grego Euclides já tinha lançado a seguinte proposição sobre os números perfeitos.
Segundo ele, se Mn é primo, então 2n-1 Mn é um número perfeito.
A prova vem a seguir: admitimos a função σ (n) como a soma de todos os divisores do inteiro positivo n. Um número perfeito k é caracterizado por σ (k) = 2k. A função σ tem a seguinte propriedade: se a e b são dois primos naturais, então σ (ab) = σ (a) σ (b).
Além disso:
como Mn é primo, temos σ (Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n - 1) = 2n; σ (2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn. Ent˜ao, σ (2n-1Mn) = σ (2n-1) σ (Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1Mn).
Teorema de Euclides - Euler
Euler também chegou a uma prova liga aos números naturais a partir dos estudos de Euclides dentro do campo do número perfeito.
Segundo ele, um número natural n é um número perfeito se, e somente se, n=2p-1 Mn, onde Mn é um número primo de Mersenne.
Ufa, quanta informação! Você ainda está com a gente? Porque o conteúdo ainda não acabou!
Os números triperfeitos, multiperfeitos e hiperperfeitos, sim eles existem!
Ainda na ideia dos números perfeitos, também existem números tripartidos, multiperfeitos e hiperperfeitos.
Tenha certeza, há pouca chance de que esse assunto caia em uma prova ou concurso. Mas se você é um apaixonado pelos números e quer saber mais sobre eles, aqui estão algumas informações:
Os números triperfeitos
Um número triperfeito é sempre par.
Se houver um triperfeito ímpar, ele será maior que 1050. A soma dos divisores do número triperfeito, incluindo ele próprio, é igual a três vezes o número. Por exemplo, 120 é um número triperfeito porque 23 * 3 * 5 = 120.
A presente, só conhecemos três números triperfeitos, a saber:
- 120,
- 672
- 523.776,
- 459 818 240,
- 1,476,304,
- 896, 51 001 180 160.
Os números multiperfeitos
A soma dos divisores de um número multiperfeito, incluindo ele próprio, é k vezes o número. Os matemáticos descobriram mais de 500 números multiperfeitos até 8 e eles acham que sabem todos os 3 a 7 números multiperfeitos:
-
25 x 33 x 5 x 7 é o primeiro tetraperfeito,
-
27 x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, o primeiro pentaperfeitp,
-
A maior conhecida é a 7.3 10 1 345
Os números hiperperfeitos
Um número hiperperfeito é tal que: n = 1 + k (o (n) - n - 1). Um número hiperperfeito é um número perfeito.
- Um número 2- hiperperfeito (HP) é da forma 2o (n) = 3n + 1: 21, 2 133, 19 521, 176 661 ...
- Um número de 3-HP é da forma 3o (n) = 4n + 2: 325 e nenhum outro até n = 1.000.000,
- 4-HP: 1,950,625, 1,222,640,625, 186,264 514,898,661,640,625,
- Nenhum 5-HP é conhecido,
- 6-HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.
Para a alegria dos menos dotados em matemáticas, conhecer os números perfeitos, triperfeitos, multiperfeitos e hiperperfeitos não é uma das obrigações para passar nas provas e exames escolares. Assim, seria melhor você se concentrar no estudo das frações, divisão euclidiana, logaritmo, raciocínio lógico e mesmo geometria.
No entanto, se você gosta de todos os aspectos desta matéria que lida com algarismos, algoritmo, fórmula e muita busca para a solução de um problema ou vários deles, quem sabe, talvez, os números perfeitos se tornem um dos seus tópicos de pesquisa...
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Obrigado pêla materia de numeros perfeitos, como sugestão o algoritmo de Euclides, obrigado.
Por que não utilizam números perfeitos na criptografia? Acho que por serem mais difíceis de se encontrar, a deixaria muito mais segura!
Todo mundo pode aprender, alguns com facilidade e outros com dificuldades. Contudo a busca de conhecimento se compara à busca da felicidade!
Os números de Mersenne tem a forma 2^n -1