"As leis da natureza são apenas os pensamentos matemáticos de Deus." Euclides

A história da matemática tem grandes nomes ao longo dos séculos. Pitágoras (quem foi o homem dos catetos e a hipotenusa?), Tales, Newton, Arquimedes ou Euclides. Grande matemático da Antiguidade, este último reuniu todo o conhecimento de seu tempo em um livro: Elementos.

Ele, então, lança os fundamentos da aula de matemática como aprendemos hoje.

Trigonometria, álgebra de raciocínio, equação, fração, logaritmo, os capítulos das aulas de matemática ainda são marcados pelas descobertas da antiguidade.

O postulado das paralelas, divisão euclidiana, geometria euclidiana, algoritmo de Euclides, melhore seus conhecimentos gerais descobrindo a história da matemática através das descobertas do cientista (conhece as descobertas de René Descartes?).

A vida do matemático Euclides

Assim como seus antecessores Pitágoras e Tales, a história de Euclides não está muito bem documentada. Apenas alguns escritos que datam de vários anos após sua morte foram encontrados e permitem capturar alguns traços do que poderia ser a carreira do matemático.

As teorias dos pensadores gregos
Os axiomas de Euclides marcaram a matemática

Ele não deixa de ser um dos matemáticos mais famosos da antiguidade. Nascido em Atenas por volta de 330 a.C., Euclides teria ensinado no Egito na bela cidade de Alexandria. Durante o reinado do rei Ptolomeu I Sóter, Euclides frequentou os corredores do verdadeiro centro intelectual de Alexandria.

Por que descobrir Euclides? Porque o gênio marcou história!

Ao contrário dos seus antecessores, Euclides não cria uma escola de matemática. No entanto, o cientista (Já ouviu falar de Isaac Newton?) certamente tinha que ter vários estudantes e discípulos ao seu redor para ensinar todo o conhecimento que possuía, mas também para ajudá-lo em suas experiências. Uma grande aula de matematica, não?

Uma lenda conta que Euclides deu uma pequena moeda a um de seus discípulos quando perguntou o que havia aprendido com sua pesquisa matemática. Euclides não estava em busca de dinheiro. Para grandes fortunas, o matemático preferia alimentar seu cérebro com fórmulas matemáticas e números de todos os tipos.

Euclides é mais conhecido por seu trabalho intitulado "Elementos" e que teria sido escrito por volta de 300 a.C. Grande sucesso de ontem e hoje, esse livro foi o segundo livro mais impresso depois da Bíblia quando a para a invenção da imprensa no século XV.

"Elementos", dividido em 13 livros, é dedicado principalmente à geometria plana e aritmética. Triângulos, linhas retas paralelas, círculos, Euclides faz demonstrações de teoremas (incluindo o teorema de Pitágoras) e introduz as noções de Máximo divisor comum (MDC) e das subtrações sucessivas repetidas, também chamadas de divisão euclidiana.

O conhecimento de Euclides foi baseado nos grandes feitos dos matemáticos da antiguidade.

Naquela época, o centro da ciência era na Grécia e seus arredores. Seu legado influenciou muitos cientistas (e os feitos de Arquimedes?). As descobertas de Euclides e seus contemporâneos continuaram a inspirar a ciência muito depois de sua suposta morte em 265 a.C., em Alexandria.

Livro de Matemática de Euclides: Elementos

Embora ele tenha escrito outros, "Elementos" é o livro principal de Euclides. Grande sucesso científico, o matemático lista todas as demonstrações de conhecimento geométrico que ele conhece nesse trabalho.

Os seis primeiros livros de "Elementos" tratam da geometria plana. Existem dados sobre triângulos, linhas paralelas, o teorema de Pitágoras, figuras planas, propriedades do círculo (e a presença de figuras retilíneas em um círculo), a construção do pentágono ou as proporções entre grandezas.

Quais são os traços de Euclides? Os seus documentos são objetos históricos reais!

Esses primeiros livros permitem estabelecer as bases da geometria, lembrando as características das figuras e aplicando-as em demonstrações.

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Pensadores gregos revolucionários!
A geometria é a base de tudo e Euclides é o pai!

Os próximos três livros não lidam mais com geometria plana, mas com aritmética. Euclides fala então de números primos, da construção do máximo divisor comum a dois ou vários números inteiros, números em progressão geométrica e construção de números perfeitos.

É também nesses livros que o cientista introduz o processo por repetidas subtrações sucessivas, também chamadas de divisão euclidiana.

O décimo livro é dedicado a quantidades irracionais.

Os últimos três livros são dedicados à geometria no espaço. Vemos a construção de objetos como a esfera, os sólidos regulares, a pirâmide, o cubo, o octaedro, o dodecaedro, o icosaedro e assim por diante.

Outros livros foram inseridos vários séculos após a edição de Euclides. Eles foram escritos por novos matemáticos (conheça os principais) que adicionaram capítulos sobre poliedros regulares.

Todos os livros de "Elementos" lançam as bases da matemática, como ainda são ensinadas hoje nas aulas de matematica. Geometria plana, geometria do espaço, aritmética, fazem parte da aula matemática ministrados na escola.

Portanto, "Elementos" é uma verdadeira Bíblia da matemática. O livro é considerado a referência do mundo matemático antes de ser analisado alguns séculos depois. Todas as informações fornecidas por "Elementos" são uma espécie de fotografia da representação do mundo físico da época.

O que é a divisão euclidiana?

No grande capítulo da aritmética, a divisão euclidiana é certamente uma das habilidades matemáticas que nos foram ensinadas desde o início. Essa é simplesmente a divisão que é estabelecida manualmente quando você está na escola primária.

Também chamada de divisão inteira, é composta por dois números inteiros naturais denominados dividendo e divisor, além de outros dois números inteiros: o quociente e o resto.

Álgebra sem Euclides não tem jeito!
Saiba calcular com a ajuda dos pensadores gregos

Como o Euclides representa uma divisão? Todo mundo sabe fazer uma divisão manual graças a ele!

Realizar uma divisão euclidiana de um número A (o dividendo) por um número B (o divisor) torna possível encontrar o quociente inteiro, ou seja, o número inteiro encontrado no final da divisão e o resto isto é, a parte do dividendo que não pode mais ser dividida.

Para entender melhor aqui está um exemplo:

Com um dividendo de 25, dividido por 4 (o divisor), o quociente inteiro é 6 porque 6 x 4 = 24. Permanece 1. O número 1 é o resto. Para fazer isso, tentamos descobrir quantas vezes multiplicar o divisor (o número 4) para alcançar o dividendo (o número 25).

A representação da divisão é feita com o dividendo à esquerda e o divisor à direita. O resto está abaixo do dividendo, enquanto o quociente inteiro está abaixo do divisor.

Para saber se a divisão terminou, você deve ter certeza de que o resto não pode mais ser dividido. Portanto, deve ser menor que o divisor.

Pode acontecer que o resto seja zero. Dizemos, então, que A é um múltiplo de B.

A divisão euclidiana faz parte dos cursos de matemática elementares, porém pode ser complicada com os números decimais ou outros métodos.

O que são os axiomas de Euclides?

Em seu livro "Elementos", Euclides apresenta vários postulados ou axiomas de Euclides. São algumas proposições matemáticas que são óbvias. É a partir daí que o mundo matemático escolhe chamar "axioma" qualquer regra matemática lógica e elementar.

Euclides cita cinco em seu trabalho:

  • Axioma I: "Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos."
  • Axioma II: "Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta."
  • Axioma III: "Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio."
  • Axioma IV: "Todos os ângulos retos são iguais."
  • Axioma V: "Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos."

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Algoritmo de Euclides ou máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides também é ensinado no curso de matemática, o famoso Máximo Divisor Comum (MDC). O  MDC é o maior divisor comum entre dois números inteiros.

Como estudar a matemática de Euclides? As aulas particulares de matemática, agora, serão influenciados por Euclides!

É um capítulo da aritmética elementar, assim como a divisão euclidiana.

Para encontrá-lo, é necessário listar todos os divisores dos dois números que você deseja. Como encontrar o MDC de 10 e 26?

  • 10: 1, 2, 5, 10.
  • 26: 1, 2, 4, 9, 13.
  • O máximo divisor comum é o número 2.
Euclides revolucionou os cálculos
Como descobrir os mistérios do mundo sem os matemáticos?

Para evitar a necessidade de fazer toda a lista de divisores para cada número, o algoritmo de Euclides consiste em realizar uma série de divisões euclidianas.

Assim, basta dividir o maior número pelo menor e então fazer a divisão até cair em um número igual a 0 ou permaneça nulo. Em uma divisão de A por B, continuamos com uma divisão de B por R (o resto da primeira divisão) e assim por diante.

O algoritmo de Euclides é explicado no livro 7 dos Elementos. Euclides apresenta sua pesquisa como um problema geométrico. Ele, então, procura encontrar uma unidade de medida para dois segmentos. Para isso, ele decide subtrair o menor segmento pelo maior e continuar até encontrar a medida ideal.

Esse método é a base de qualquer divisão e o motivo de muitas dores de cabeça dos alunos do ensino fundamental!

Mas todos eles são essenciais para aprendermos matemática! Por isso, não podemos estudar essa matéria sem passar pelo sábio Euclides.

Seus conhecimentos servem de base para muitos estudos matemáticos. Até hoje, muitas descobertas são possíveis graças aos axiomas, máximo divisor comum, e outros postulados apresentados por Euclides, Pitágoras, Tales de Mileto (conheça sua vida) e tantos outros!

Por isso a importância de se conhecer o que foi estudados a séculos antes de Cristo!

E a matemática hoje?

O século XX começou com a lista dos 23 problemas não solucionados que ocuparam vários cientistas. Esse século foi dominado por três teoremas matemáticos:

  • O teorema da incompletude de Gödel que em grosso modo diz que nem tudo pode ser resolvido na matemática.
  • A demonstração da conjectura de Shimura-Taniyama-Wei. Graças a ela, o Último Teorema de Fermat foi demonstrado!
  • As demonstrações das conjecturas de Weil.

No século XX, novas ciências apareceram como a topologia e a geometria diferencial ou algébrica.

A mecânica foi objeto de estudos impulsionada principalmente por Einstein e Pontcarré com a teoria da relatividade geral.

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O gênio não ignorou seus colegas antepassados
Einstein aproveitou todos os conhecimentos de antes para as suas teorias

A teoria dos grupos mobilizou vários cérebros até a resolução da classificação dos grupos simples finitos em 1980. Graças a informática que permitiu criar programas de cálculos, eles resolveram o teorema das quatro cores.

O século XXI começou bem, principalmente com as descobertas do prodígio Terence Tao sobre os números primos de Euclides.

No dia 8 de outubro de 2013, o prêmio Nobel de física foi atribuído a François Englert e a Peter Higgs pela descoberta teórica de um mecanismo contribuindo para a nossa compreensão da origem da massa das partículas subatômicas.

O personagem de Simpsons também entrou na história do Nobel...
Homer seria capaz de calcular o bóson de Higgs?

Questionado por um jornal britânico, o jornalista e cientista Simon Singh, especialista da série, respondeu calorosamente sobre a pesquisa (matéria divulgada por Le Monde)

"Essa equação previu a massa do bóson de Higgs. Se você calcular, você tem uma massa para o bóson de Higgs apenas ligeiramente superior a sua nano massa real. É bastante surpreendente que Homer fez essa previsão há 14 anos antes de sua descoberta".

Fique tranquilo, um número infinito de descobertas ainda falta ser reveladas! Para aprofundar-se para além da aula de matematica tradicional, descubra as ligações que existem entre:

  • a matemática e a arte (pintura e suas ligações com a matéria)
  • a matemática e a informática

Como a matemática influencia em nosso cotidiano?

Quando você estava na escola, provavelmente se perguntava por que raios precisava estudar matemática e para que ela serviria na sua vida, a menos que você trabalhasse em alguma área diretamente ligada à ela.

De fato, quando você realiza uma atividade no cotidiano, dificilmente você consegue relacionar os acontecimentos à matemática, independente da tarefa que esteja sendo executada.

Com o passar dos anos, nós esquecemos do conteúdo das aulas, das fórmulas que foram escritas na lousa, bem como da própria  história da matemática e do quão ela foi (e continua sendo) importante no avanço científico e tecnológico.

Entretanto, a matemática está presente em todos os segmentos da vida e em todas as tarefas que você executa no seu dia a dia, que você perceba ou não!

Veja como era o ensino da matemática através dos tempos.

Como a matemática influencia no nosso dia a dia?
A matemática está presente em todas a tarefas do nosso cotidiano, das mais simples às mais complexas.

Seja no ato de fazer uma simples compra no supermercado, como na aplicação de um grande investimento financeiro, o que te permite realizar estas e outras tarefas são seus conhecimentos em matemática. Não acredita? Pois então, observe:

  • Ao acordar, todo o seu dia é regido pela matemática, utilizando o princípio da contagem do tempo. Você tem hora para levantar da cama, tomar banho, ir ao trabalho, ir à academia e assim por diante. Isso é possível graças aos números, que te permite contar as horas;
  • Quando você faz uma refeição, você utiliza o conceito da proporção. Você sabe que se comer demais se sentirá mal e se comer de menos, ficará com fome. Você precisa, então, saber a quantidade de alimentos ideal para você, e adivinha quem te ajuda nisso também? Ela mesmo, a matemática;
  • Quando você vai ao supermercado, você usa seus conhecimentos em cálculos para saber quanto de dinheiro você tem e quanto pode gastar. Mesmo o ato de usar uma calculadora para essa tarefa pressupõe um conhecimento mínimo em matemática como as operações básicas, por exemplo.

Poderíamos citar inúmeros outros exemplos, mas como você pode perceber, a matemática faz parte da nossa vida cotidiana e sem ela as tarefas mais simples pareceriam coisa de outro mundo!

Ainda assim, a matemática é temida e detestada por boa parte das crianças e jovens em idade escolar. Isso se explica pelo fato da disciplina exigir dos estudantes um alto grau de comprometimento com os estudos e boa capacidade de raciocínio lógico.

A maior dificuldade em estudar e aprender matemática nem sempre está associada aos conceitos. Muitos alunos conseguem realizar operações como adição, subtração e multiplicação. Outros conseguem ainda resolver problemas simples quando são interrogados fora do contexto escolar.

A maioria das dificuldades encontradas em matemática são, na realidade, de natureza psicológica e não necessariamente um problema de aprendizagem. Muitos acreditam que matemática é coisa de gênios ou pessoas muito inteligentes, com capacidades acima da média.

Outro grande problema é a forma como a matemática é ensinada nas escolas, totalmente descontextualizada. Quando você começa a estudar um novo conceito, é muito importante que você  busque compreendê-lo profundamente, saber sobre o motivo pelo qual ele é importante e quais são suas diferentes aplicações práticas. Estudar sobre a história da matemática pode abrir sua mente!

Muitas vezes a matemática não faz sentido para nós porque não conseguimos ver uma aplicação concreta para aquilo que estamos aprendendo ou porque achamos que um determinado conceito não serve para nada, já que ele não faz parte do nosso cotidiano.

Na realidade, todos os conceitos matemáticos fazem parte da nossa vida e estão em todos os lugares à nossa volta. Mas, é apenas quando conseguimos entender as aplicações da matemática que percebemos a relevância que ela tem para as diferentes ciências e para sociedade como um todo.

As aplicações da matemática em diferentes áreas do conhecimento

A matemática é muito mais do que um amontoado de números e equações, pois ela está presente em diversos processos, objetos e, como citamos anteriormente, em diferentes situações do nosso cotidiano.

invenções que só foram possíveis graças à matemática
A invenção dos transistores revolucionou a engenharia elétrica.

As matemáticas apareceram com a resolução dos quebra-cabeças. A física também é a resolução dos quebra-cabeças, mas de quebra-cabeças criados pela natureza, não pela mente do homem. Maria Goeppert-Mayer - Física alemã

Pode-se dizer que, a matemática é uma ciência sustentada pelas correlações que nós fazemos. Um bom exemplo exemplo disso é o sistema de numeração decimal. Esse sistema é de base 10, ou seja, utiliza 10 algarismos diferentes para representar todos os números.

O sistema decimal é o sistema de numeração que nós usamos e ele foi criado pelos hindus. Quem o divulgou e popularizou no ocidente foram os árabes. Mas, o mais curioso sobre o sistema decimal é que ele foi pensando dessa forma porque nós possuímos 10 dedos nos pés e também nas mãos.

As descobertas e inovações na área da matemática contribuem para novas pesquisas e muitas vezes levam a novos métodos de investigação em ciências como biologia, química, física, informática, robótica, neurociência, etc.

Até mesmo aquele conhecimento matemático que é desenvolvido de forma puramente abstrata, aparentemente sem qualquer potencial aplicação científica, pode acabar por ser útil na investigação científica. Um bom exemplo disso são os estudos realizados pelo matemático David Hilbert, em 1909.

Ele começou a desenvolver ferramentas matemáticas para estudar espaços de dimensão infinita, aparentemente sem nenhuma aplicação concreta. Suas equações foram utilizadas mais de 10 anos depois para formalizar a mecânica quântica — uma das teorias fundamentais da física moderna.

E por falar em mecânica quântica, graças ao estudo e conhecimento do comportamento das partículas subatômicas, muitos avanços tecnológicos foram possíveis, como por exemplo, a invenção dos transistores.

Os transistores são pequenos componentes eletrônicos indispensáveis para a maioria dos equipamentos que temos hoje, como: celulares, aparelhos de televisão, computadores, GPS, satelites, naves espaciais, radares, entre outros.

Vejamos a seguir algumas das principais aplicações da matemática.

Criptografia

A criptografia é um conjunto de regras que visa codificar a informação de forma que só o emissor e o receptor possam decifrá-la. O envio e o recebimento de informações sigilosas é uma necessidade antiga, que existe há centenas de anos. Já era usada tanto  no Egito Antigo, quanto no Império Romano.

Entretanto, a internet revolucionou a criptografia e com a necessidade de criar um ambiente seguro para trocas de mensagens e transações financeiras, algoritmos extremamente inteligentes e eficazes foram criados.

Em ciências da computação atualmente, a técnica usada para criptografar mensagens são as chamadas "chaves criptográficas". Essas chaves são, na realidades, um conjunto de bits baseado em um algoritmo capaz de codificar e de decodificar informações.

A segurança da chave depende da quantidade de bits, mas as chaves atuais usam por volta de 64 bits, ou seja, há mais de 10^160 de combinações possíveis - o que as tornam extremamente seguras. E se isso é viável, é graças ao conhecimento matemático.

Modelo cosmológico padrão

O modelo cosmológico padrão é o modelo físico-matemático com mais sucesso na tentativa de explicar o surgimento e a evolução do universo.

Esse modelo consegue explicar diferentes fenômenos físicos como a expansão do universo, a abundância de elementos leves no espaço (como o hidrogênio), ou ainda, a existência da radiação cósmica de fundo, que é o resquício de uma fase em que o universo era mais quente, em seus primórdios.

Além disso, esse modelo matemático nos permite construir um quadro geral no qual é possível estudar e entender como ocorreu a formação das estrelas e das galáxias e, consequentemente, do nosso sistema solar.

Engenharia genética

À primeira vista você pode até achar que matemática e biologia são disciplinas absolutamente distintas, sem nenhuma relação aparente. Mero engano!

A matemática é a base para a maioria das ciências "duras" (ou hard sciences, em inglês) e sem ela, a biologia ficaria sem uma de suas principais ferramentas. A matemática permite a previsibilidade e a repetição de experimentos, bem como o estabelecimento de métricas para leitura e análise dos dados coletados.

O desenvolvimento da engenharia genética, por exemplo, não seria possível sem a  matemática, pois a manifestação dos genes em um indivíduo segue a lógica da probabilidade. Assim, os cálculos envolvendo probabilidades estão presentes nas situações ligadas à genética, abrangendo diversos estudos relacionados às leis de Mendel.

Viu só como a matemática abre um mundo de possibilidades e permite o avanço da ciência e da tecnologia? Sem o descobrimento da matemática nosso mundo seria provavelmente muito diferente e graças à ela ainda iremos fazer coisas incríveis.

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Carolina

Quero aprender italiano e espanhol, mas preciso mesmo é do inglês... Leio as plaquinhas nos museus, gosto de música e de cinema dos anos 70. De agora, só o Pablo do arrocha que serve.