Enunciado do Teorema
Vamos lembrar que, ao dividir um polinômio 
por outro 
obtemos um quociente 
e um resto 
, tais que
em que o grau de é estritamente menor que o grau de . Outra forma de escrever a divisão é:
O teorema do resto nos ajuda a determinar o resto da divisão de por um polinômio da forma 
. O teorema afirma o seguinte:
Teorema: Seja um polinômio. Então, o resto resultante da divisão de por é igual ao resultado da substituição de 
por 
no polinômio . Ou seja,
Exemplo:Consideremos os polinômios 
e 
. Temos que
Portanto, o resto da divisão de por deve ser 56. Para verificar, utilizaremos a regra de Ruffini. Primeiro, colocamos os coeficientes do polinômio na primeira linha e o número 3 à esquerda:
Em seguida, baixamos o 1 (o primeiro coeficiente de ) para baixo da linha horizontal:
Depois, multiplicamos o 1 que está abaixo da linha horizontal por 3 (cujo resultado é 3) e colocamos o resultado abaixo do coeficiente seguinte de :
Depois, somamos os números que estão na coluna do segundo coeficiente (
) e colocamos o resultado abaixo da linha horizontal:
Repetimos o procedimento anterior. Multiplicamos o número obtido abaixo da linha horizontal por 3 (cujo resultado será 9), colocamos o resultado abaixo do próximo coeficiente de e, em seguida, somamos os números:
Repetimos o procedimento, agora com o 6:
Finalmente, repetimos o procedimento mais uma vez, agora com o 18:
Nesse último esquema, podemos observar que 
, conforme esperávamos.
Observação: Como podemos ver no exemplo anterior, o teorema do resto fornece apenas o resto resultante da divisão por um polinômio. Se quisermos encontrar o quociente , devemos realizar a divisão completa.
Observação: O teorema pressupõe que estamos dividindo por um polinômio da forma . Se tivermos um polinômio da forma 
, devemos observar que
Portanto, para encontrar o resto, basta calcular 
. Em outras palavras, devemos substituir pelo termo independente de com o sinal trocado.
Observação: Esse teorema é muito importante, pois nos permite saber se um polinômio é fator de . Sabemos que 
é fator de se 
. Esse resultado é conhecido como teorema do fator.
Exercícios
Calcule, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de 
por 
. Em seguida, verifique o resultado utilizando a regra de Ruffini.
1 Primeiro, utilizaremos o teorema do resto. Para isso, devemos calcular o valor do polinômio em 
:
Portanto, o resto é -4, o que indica que não é fator de .
2 Agora, verificaremos o resultado utilizando a regra de Ruffini. Começamos colocando os coeficientes do polinômio na primeira linha (lembre-se de que devemos colocar todos os coeficientes, inclusive os dos termos ). Em seguida, colocamos o 1 à esquerda e baixamos o primeiro coeficiente do polinômio:
Multiplicamos o número que está abaixo da linha horizontal por 1 e colocamos o resultado abaixo do coeficiente do segundo termo. Depois, somamos os termos dessa coluna:
Repetimos o procedimento para o próximo número que está abaixo da linha horizontal:
Assim, podemos verificar que, de fato, o resto da divisão é -4.
Calcule, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de 
por 
. Em seguida, verifique o resultado utilizando a regra de Ruffini.
1 Primeiro, utilizaremos o teorema do resto. Para isso, devemos calcular o valor do polinômio em 
:
Portanto, o resto é 30, o que indica que não é fator de .
2 Agora, verificaremos o resultado utilizando a regra de Ruffini. Começamos colocando os coeficientes do polinômio na primeira linha (lembre-se de que devemos colocar todos os coeficientes, inclusive os dos termos ). Em seguida, colocamos o 3 à esquerda e baixamos o primeiro coeficiente do polinômio:
Multiplicamos o número que está abaixo da linha horizontal por 3 e colocamos o resultado abaixo do coeficiente do segundo termo. Depois, somamos os termos dessa coluna:
Repetimos o procedimento para o próximo número que está abaixo da linha horizontal:
Assim, podemos verificar que, de fato, o resto da divisão é 30.
Calcule, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de 
por 
. Em seguida, verifique o resultado utilizando a regra de Ruffini.
1 Primeiro, utilizaremos o teorema do resto. Para isso, devemos calcular o valor do polinômio em 
:
Portanto, o resto é 5, o que indica que não é fator de .
2 Agora, verificaremos o resultado utilizando a regra de Ruffini. Começamos colocando os coeficientes do polinômio na primeira linha (lembre-se de que devemos colocar todos os coeficientes, inclusive os dos termos ). Em seguida, colocamos o 2 à esquerda e baixamos o primeiro coeficiente do polinômio:
Multiplicamos o número que está abaixo da linha horizontal por 2 e colocamos o resultado abaixo do coeficiente do segundo termo. Depois, somamos os termos dessa coluna:
Repetimos o procedimento para o próximo número que está abaixo da linha horizontal:
Assim, podemos verificar que, de fato, o resto da divisão é 5.
Calcule, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de 
por 
. Em seguida, verifique o resultado utilizando a regra de Ruffini.
1 Primeiro, utilizaremos o teorema do resto. Para isso, devemos calcular o valor do polinômio em 
:
Portanto, o resto é 46, o que indica que não é fator de .
2 Agora, verificaremos o resultado utilizando a regra de Ruffini. Começamos colocando os coeficientes do polinômio na primeira linha (lembre-se de que devemos colocar todos os coeficientes, inclusive os dos termos ). Em seguida, colocamos o 
à esquerda e baixamos o primeiro coeficiente do polinômio:
Multiplicamos o número que está abaixo da linha horizontal por e colocamos o resultado abaixo do coeficiente do segundo termo. Depois, somamos os termos dessa coluna:
Repetimos o procedimento para o próximo número que está abaixo da linha horizontal:
Assim, podemos verificar que, de fato, o resto da divisão é 46.
Calcule, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de 
por . Em seguida, verifique o resultado utilizando a regra de Ruffini.
1 Primeiro, utilizaremos o teorema do resto. Para isso, devemos calcular o valor do polinômio em :
Portanto, o resto é 0, o que indica que é fator de .
2 Agora, verificaremos o resultado utilizando a regra de Ruffini. Começamos colocando os coeficientes do polinômio na primeira linha (lembre-se de que devemos colocar todos os coeficientes, inclusive os dos termos 
, 
etc.). Em seguida, colocamos o 2 à esquerda e baixamos o primeiro coeficiente do polinômio:
Multiplicamos o número que está abaixo da linha horizontal por 2 e colocamos o resultado abaixo do coeficiente do segundo termo. Depois, somamos os termos dessa coluna:
Repetimos o procedimento para o próximo número que está abaixo da linha horizontal:
Repetimos novamente:
E, por último, obtemos:
Assim, podemos verificar que, de fato, o resto da divisão é 0.
Considere o polinômio 
. Encontre o resto da divisão por 
.
Utilizaremos o teorema do resto
Basta calcular o valor de em 
, ou seja,
Considere o polinômio 
. Encontre o resto da divisão por 
.
Utilizaremos o teorema do resto.
Basta calcular o valor de em 
, ou seja,
Considere o polinômio 
. Encontre o resto da divisão por 
.
Utilizaremos o teorema do resto.
Basta calcular o valor de 
em , ou seja,
Considere o polinômio 
. Encontre o resto da divisão por 
.
Utilizaremos o teorema do resto.
Basta calcular o valor de 
em , ou seja,
Considere o polinômio 
. Encontre o resto resultante da divisão por:
a
b
c
d
Utilizaremos o teorema do resto em todos os casos:
a
Para determinar o resto, basta calcular o valor de em 
. Ou seja,
Portanto, o resto é 0.
b
Nesse caso, devemos calcular o valor do polinômio em . Assim,
Portanto, o resto também é 0.
c
Agora, devemos calcular o valor do polinômio em 
. Isto é,
Portanto, o resto é 0.
d
Por último, devemos calcular o valor do polinômio em para encontrar o resto nesse caso. Assim,
Portanto, nesse último caso, o resto é 12.
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