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Entendendo a função decimal

De Fernando, publicado dia 01/10/2018 Blog > Apoio Escolar > Matemática > O que são as funções decimais?

“Na matemática,” óbvio “é a palavra mais perigosa. ”  Eric Temple Bell (1883-1960), matemático escocês.

Este famoso matemático, inventor dos “polinômios de Bell”, disse em uma sentença sumária que a essência da disciplina matemática não pode ser científica se os seus pressupostos são refutáveis e é possível submeter a dúvida sobre tal.

O objeto da matemática – no cálculo aritmético e algébrico – é também disponibilizar uma infinidade de números complexos e quantidades desconhecidas.

Isto permite conhecer o valor de muitas variáveis ​​desconhecidas e resolução de equações e inequações, pintar um cenário de sinais e a demonstração das alterações de uma função – função linear, função exponencial, função logarítmica – a partir do derivado.

Conhecemos a matemática da Grécia antiga e aprendemos isso nas aulas de matemática no Ensino Fundamental, especialmente ouvindo nomes como Arquimedes, Euclides, Pitágoras ou Tales , por exemplo.

Depois de mais de 1500 anos de evolução científica, quando a astronomia se desenvolveu na Europa durante a Renascença (séculos XVI-XVII), os cálculos tornaram-se muito complexos para serem feitos sem erros.

Alguns matemáticos inventaram estratagemas e teoremas para simplificar essa lógica: nós precisamos conhecer melhor a obra de John Napier (1550-1617) e a invenção do logaritmo, representada em uma tabela de logaritmos, uma ferramenta para transformar seus produtos.

Estas descobertas permitiram o cálculo da área sob uma hipérbole, o estudo da função logarítmica e a função exponencial.

Neste artigo, o Superprof presta especial atenção para a função logaritmo decimal, denotado y = log (x) para explicar o que é esse importante conceito da matemática.

Aprenda sobre logaritmo com bons professores Não se desespere: a matemática pode ser simples quando você se dedica

Uma breve história da função logaritmo

Os registros são uma pedra angular da história da matemática. Eles nasceram com a criação de tabelas logarítmicas com o objetivo de facilitar cálculos astronômicos no início do século XVII.

Se eu quiser calcular log (34), qual seria o valor? Os gênios matemáticos do século XVII tornaram a vida mais fácil para nós.

É de fato a complexificação de cálculos que levou os astrônomos, marinheiros e matemáticos a procurar ferramentas para facilitar o cálculo de produtos e quocientes.

A ciência matemática já conhecia as tabelas de trigonometria, o que possibilitou encontrar o produto de dois inteiros A e B graças ao cosseno.

Mas a jogada de ângulos para o cálculo se provou impraticável: Jost Bürgi e John Napier criaram uma maneira mais simples, uma leitura com tabela de correspondência entre suites geométrica primeiro com base de  10 8  e razão 1.000 1 e aritméticas sequências com valores maiores que 0 e razão 10.

Numa época em que todos os cálculos eram feitos à mão, era difícil multiplicar os produtos por quocientes.

Calcular a área de uma hipérbole e a tangente de cada ponto em uma curva exponencial para qualquer  x positivo era acessível trabalhando com um número real e lendo os senos e cossenos das tabelas trigonométricas.

Por outro lado, conhecer todos os valores de uma função – incluindo todos os números decimais – exigia infinitos cálculos.

Foi Henry Briggs quem, com J. Napier, construiu o primeiro logaritmo decimal em 1615. Tabelas trigonométricas e uma tabela de antilogaritmos foram seguidas.

Estas tabelas numéricas, com até quatorze decimais serviria como uma ferramenta básica para estudar a função logarítmica durante três séculos antes de ser destronado pela invenção da calculadora científica no final dos anos 20 do século passado.

Na aula de matemática, a análise da função do logaritmo decimal perdeu um pouco de sua beleza, em parte por conta da calculadora gráfica, função das calculadoras científicas que integrou em suas possibilidades e que permite drasticamente simplificar os cálculos.

Antes da calculadora, era imperativo quase um livro para calcular as funções decimais dos logaritmos.

No entanto, continua a ser muito útil na física quando se trata de tratar valores entre 10 -10  e 10 10 . Encontramos este tipo de exercício em estudantes do ensino médio em matemática sendo usado para cálculos de decibéis em acústica, em química para a avaliação de testes de PH, ou para controlar uma solução aquosa.

Para um excelente lembrete das funções logarítmicas – Neperian e Decimal -, revisar alguns conteúdos permite visualizar cursos e exercícios.

Não hesite em fazê-las com calma, mesmo que queira submetê-las ao seu professor apenas durante as aulas particulares de matemática.

Descubra aqui o que é uma divisão euclidiana !

Aplique seu aprendizado também nos seus hobbies O estudo do espaço é um dos campos que mais usa os princípios matemáticos

Logaritmo decimal, teorema e propriedades algébricas

Para desenhar uma representação gráfica de números variando ao longo de várias ordens de magnitude, ao longo de um intervalo de 1 a 1000, por exemplo, é impossível usar a escala usual com graduações proporcionais aos números.

Imagine as páginas monumentais de cálculo que ele teve que escrever para encontrar cada ponto decimal para cada ponto da função log (x)

Em uma ortonormalidade, se um milímetro representa o valor 1, então um centímetro representa o valor 10. Assim precisaríamos de uma folha larga de um metro para representar o valor de 1000.

Por outro lado, para dimensões muito pequenas, seria necessário uma longo folha de dez quilômetros para representar valores de 10 -10  a 10 -3 , com a mesma escala!

É por isso que a matemática usa a escala logarítmica, permitindo multiplicar um valor pelo mesmo fator (10 -10 por exemplo) passando de uma graduação para a seguinte: as distâncias transportadas no eixo são proporcionais à logaritmos dos números representados.

Conheça  a importância da geometria para a matemática.

A função de logaritmo decimal é escrita da seguinte maneira: log (x) = ln (x) / ln (10). Suas propriedades algébricas são similares àquelas do logaritmo natural, denotado por ele, “ln“.

Para todo x  > 0 e para todo y ∈ R, log (x) = y <=> x = 10 y ou log (10 y ) = y.

Diz-se que o número real   é chamado logaritmo base de  a, logaritmo de  a,  log 10 a ou log ( a ).

Nós também admitimos que o log de   é o expoente da potência de 10 que dá  a.

Assim, para qualquer número real   > 0, temos:

  • log 1 = 0, desde que 10 0 = 1,
  • log 10 = 1, sendo 10 1 = 10,
  • log 0,1 = – 1 porque 10 -1 = 0,1,
  • log (10 x ) =  x,
  • log 1 /  = – log  a,  porque o logaritmo do inverso é igual ao oposto do logaritmo,
  • log  a /  = log a – log b , porque o logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos,
  • log 2 <=> 0,30103,
  • log 3 <=> 0,447712,
  • log 4 <=> 0,69897.

Como 10 x é sempre maior que 0, o logaritmo de um número negativo ou nulo não existe: uma função logarítmica é, por definição, sempre estritamente crescente e positiva em seu intervalo ] 0; ∞ [.

Faça seus exercícios usando ferramentas matemáticas Uma boa calculadora ajuda na hora de estudar logartimo

Outra propriedade do decimal logarítmico: o logaritmo de um produto é sempre igual à soma dos logaritmos. Se temos que  log  e log b, podemos determinar log ( ab ):

  •  = 10 x1 <=> log  a,
  • b =  10 x2 <=> log  b,
  • ab  = 10 x1 + x2 <=> log (ab),
  • Então log ( ab) = log  a + log  b.

Estas propriedades algébricas deixam então a questão de como verificar se o logaritmo de 2 é realmente igual a 0,30103?

Vamos calcular o log 5:

  • log 5 = log (10/2),
  • = log 10 – log 2,
  • = 1 – log 2,
  • = 1 – 0,30103,
  • log 5 = 0,69897.

Ou log 2 = log (10/5):

  • = log 10 – log 5,
  • = 1 – 0,69897,
  • = 0,30103.

Agora que sabemos como calcular um logaritmo simples, como determinar log (20) ou log (400)?

  • log (20) = log (10×2) = log (10) + log (2) = 1 + log (2) = 1,30103,
  • log (400) = log (100 x 4) = log (100) + log (4) = 2 + log (4) = 2,60205.

Descubra também a definição de uma tabela de multiplicação !

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Representação gráfica de uma função de logaritmo decimal

Graficamente, muitas vezes vemos que a função de logaritmo decimal assume uma forma ascendente, que dizemos que a curva está aumentando estritamente em R.

A representação gráfica de uma função serve para estabelecer a tabela de sinais dela, mas para log ( x ), sua plotagem pode ser complicada.

De fato, existe um valor de log (x) para qualquer valor de x entre 0 e + ∞. Além disso, notamos que a função aumenta muito pouco, mesmo quando x aumenta muito.

Em outras palavras, quando a curva admite uma assíntota vertical, da equação x = 0 e lim x → 0 ln (x) = – ∞ onde  cresce muito, a função cresce muito pouco.

Mas então como traçar a representação gráfica de log (x)?

Como no desenho de uma função afim , é necessário estabelecer uma tabela de pontos de referência arbitrariamente escolhidos. Deixe um log de função de logaritmo decimal (x) ser definido como] 0; 100].

Será necessário calcular o logaritmo de vários valores de   escolhidos por acaso para conhecer a ordenada em relação à sua abscissa.

Sabemos, todas as coisas sendo iguais, que log (1)  = 0 e log (10  = 1. Também sabemos que log 5 = 0,69897.

Para construir uma linha de equação y = 2x + 5, somente essas duas imagens de f (x) seriam suficientes.

Mas a função log (x) não é uma linha reta, mas sim uma curva assintótica – uma curva que nunca toca o eixo horizontal e se estende de -∞ a +∞.

Vamos, portanto, considerar os seguintes pontos:

  • log (0,1) = -3,
  • log (1) = 0,
  • log (5) = 0,69,
  • log (10) = 1,
  • log (15) = 1,17,
  • log (20) = 1,30,
  • log (50) = 1,69,
  • log (75) = 1,875,
  • log (100) = 2.

Assim podemos desenhar a curva a partir do ponto de coordenadas A (0; -3), B (1; 0), C (5; 0,69), etc. até I (100; 2).

O que percebemos?

A função log (x) é negativa para todos os x <1 e positivos para x> 1.

Quando x tende para 0, log (x) tende para -∞ e vice-versa, quando x tende para + ∞, log (x) também tende para + ∞.

Pode-se imaginar como os logaritmos podem ser usados ​​apenas no ensino médio, especialmente para pessoas mais aplicadas às ciências exatas.No entanto, será benéfico conhecê-los, por exemplo, para estar preparado para o Enem, independente da sua área. Sem contar que esse aprendizado mostra um processo lógico interessante e que pode apoiá-lo em outras operações.

Dificuldades permanecem? Nossos professores particulares de matemática estão sempre disponíveis para dar a revisão de matemática que você precisa!

Descubra aqui a nossa definição de álgebra.

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