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Entendendo os princípios do Máximo Divisor Comum

De Fernando, publicado dia 22/09/2018 Blog > Apoio Escolar > Matemática > O que é o algoritmo de Euclides e para que serve?

”  O que é afirmado sem prova, pode ser negado sem prova. ”  Euclides, matemático grego, 300 aC

Um dos maiores pensadores da história da ciência matemática, Euclides é o autor de Os Elementos, escrito por volta de 300 aC, e provavelmente um dos livros matemáticos mais marcantes de todos os tempos.

Desde o início da imprensa, em meados do século XV, Os Elementos de Euclides foi o trabalho didático mais impresso depois da Bíblia, com mais de mil edições até hoje.

O tratado consiste em treze livros dedicados à geometria plana  – triângulos, linhas paralelas, propriedades do círculo -, aritmética – incluindo primos, o máximo divisor comum (MDC) e o método de subtrações sucessivas repetidas, hoje resumidos sob o nome de divisão euclidiana.

Euclides tendo vivido entre os séculos III e II aC, na época em que a Grécia Antiga dominava a bacia do Mediterrâneo, é inegável que seu conhecimento invadiu todo o mundo conhecido na época e foi absorvido pelas civilizações que o sucederam, especialmente a Roma antiga.

Euclides influenciou o mundo da ciência da Renascença até os dias atuais, de Copérnico a Kepler, de Galileu a Newton, passando por Spinoza e Bertrand Russel.

Neste artigo, vamos nos concentrar em um ponto da obra de Euclides responsável por ter construído sua fama internacional: a divisão euclidiana, um conceito presente da matemática mais básica até os mais complexos estudos de programação.

Um euclidiano precisa compreender princípios gregos A Grécia Antiga foi o berço de grandes matemáticos

Divisão euclidiana: definição e princípios

A divisão euclidiana, também conhecida como divisão inteira ou divisão com resto, é um assunto essencial dos exercícios de matemática nos primeiros anos de aprendizado, mas que nem sempre é dominado logo nas aulas iniciais.

Eu tenho cerca de dez morangos e três filhos. Quanto cada um receberá frutos?

Esta é a famosa operação que usa dois inteiros naturais – dividendo e divisor – e associa dois outros: o quociente e o resto.

É definido  que todos os números inteiros podem ser divididos por um inteiro natural diferente de zero (≠ 0) e ter como resultado um quociente e um resto, no qual o resto sempre deve ser menor que o divisor.

O algoritmo de Euclides é aprendido como uma das quatro operações básicas da matemática já nas aulas dos anos iniciais do ensino fundamental no Brasil. No geral, os alunos são introduzidos aos conceitos de divisão utilizando cenários: como dividir um bolo de 8 pedaços em 3 pratos, como distribuir 47 bolinhas para 4 pessoas, etc.

Então, os alunos aprendem como fazer uma divisão de um inteiro natural por outro – a divisão euclidiana, portanto – colocando a operação no papel.

Esta etapa do curso de matemática envolve dominar ou aprender as tabelas de multiplicação de cor , mas também as regras básicas de cálculo: adição, subtração, decompor inteiros (analisando e diferenciando números pares e números ímpares) e assim por diante.

A técnica de divisão permite encontrar todos os divisores de um número sem usar uma calculadora.

Para isso, são procuradas quantas vezes podemos encontrar uma determinada quantidade dentro de um valor maior.

Por exemplo, como calcular a divisão de 30 por 4 ou 75 por 7. Quando se é uma criança de 6 ou 7 anos, encontrar o resultado não é óbvio.

Quando calculamos pequenos números naturais, tudo bem, mas quando tentamos determinar quantas vezes o número 4357 contém o número 28 apenas com o cálculo mental, devemos ter assimilado muito bem a técnica da divisão.

A partir de então, os conhecimentos sobre números relativos – os inteiros naturais, positivos ou negativos – virão, e os alunos então passarão para um próximo nível, sabendo analisar e realizar uma divisão de decimais e cálculo fracionário.

Fazer divisão euclidiana também é distribuir de forma justa uma quantidade  n entre várias entidades, como a possibilidade de dar 53 bolas para 5 pessoas – ou seja, 53 é o dividendo e 5 o divisor.

Por divisão básica, uma bola pode ser dada a cada uma das cinco pessoas. Agora que cada um tem uma bola e restam 47 bolas. Então nós começamos de novo até que todos tenham um número igual de bolas.

Na última distribuição, percebemos que cada um tem dez bolas e que há um estoque de três bolinhas após a operação. Eles podem ser distribuídos, mas duas pessoas seriam prejudicadas. Então é é dito que o resto dessa operação é 3.

Cada criança, portanto, tem dez bolas e 10 é o quociente.

Assim, realizar a divisão euclidiana de 53 por 5 pode ser escrita como 53 = 5 × 10 + 3 depois de verificar que 3 é menor do que 5.

Descubra também a definição da função afim!

O resto é normal para a operação matemática Como distribuir bolinhas e não prejudicar ninguém? Fazendo a divisão correta!

Como resolver uma divisão euclidiana?

O método de subtração sucessivo específico do algoritmo euclideano consegue simplificar uma operação que é, a princípio, complexa.

Além disso, é a magia da matemática tornar acessível um processo que é inicialmente parece irrealizável.

Eu tenho que dividir um inteiro de cinco dígitos por outro número de três dígitos. Como fazer sem usar a calculadora?

Dividindo passo a passo

Por exemplo, faça a seguinte operação: divida 273 por 17. Procuramos quantas vezes o número 17 está presente entre 17 e 273.

Para encontrar o resultado, a demonstração é a seguinte:

Passo 1 : Começamos a divisão com o dividendo 273 à esquerda da primeira coluna e o divisor 17 à direita.

Passo 2 : Nós vemos que 2, primeiro número do nosso dividendo, é menor que 17, nosso divisor, então temos que descobrir quantas vezes 17 está contido em 27, já que o divisor sempre deve ser menor que o dividendo na divisão de números inteiros:

17 x 1 = 17, 17 x 2 = 34

E como 34 é maior do que 27, vamos escrever o 1 sob o divisor – iniciando a composição do quociente – e fazemos a seguinte subtração: 27 – 17. O resto para essa operação é 10.

Passo 3 : escrevemos 10 para o resto.

Então nós incluímos o número da unidade ainda não analisada do dividendo – 3  – na frente do resto inicial 10: obtemos então 103, que agora vamos dividir por 17. Então nós temos 17 x  6 =  102: nós incluímos o 6 no quociente e fazemos o subtração 103 (o divisor dessa etapa) – 102.

Restou 1.

O resultado então é 273/17 = 17 x 16 + 1, podemos escrever: o quociente inteiro de 273 por 17 é, portanto, 16, e seu restante é 1.

Uma divisão euclidiana é aceita se e somente se o resto for menor que o divisor, caso contrário, isso significa que ainda é possível fazer uma divisão.

Outra peculiaridade: quando o resto da divisão de  a  por  b  é zero, por exemplo, 20 dividido por 4, dizemos que:

  • a  é divisível por  b,
  • a  é um múltiplo de  b,
  • b  é um divisor de  a.

Aqui temos 20/4 = 5, então 20 é divisível por 4, mas também temos 20/5 = 4, então 20 também é divisível por 5 e 5 é também um divisor de 20.

Essa ginástica mental possibilita ampliar o campo de possibilidades, em vez de representar uma multiplicação e uma divisão em cada operação para o conjunto de números: esses são os critérios de divisibilidade.

Aplicando a divisibilidade

Podemos encontrar para qualquer número real uma aritmética modular graças à relação de congruência dos inteiros.

Para detectar rapidamente se um número é um divisor de outro, algumas regras podem ser aplicadas.

Um inteiro é divisível por :

  • 2 se o dígito das unidades for par, isto é, é 0, 2, 4, 6 ou 8,
  • 4 se o número formado pelos dois últimos dígitos for divisível por 4,
  • 5 se o dígito das unidades for 0 ou 5,
  • 3 se a soma dos dígitos que a compõem for divisível por 3,
  • 9 se a soma dos dígitos que a compõem for divisível por 9,
  • 10 se o seu dígito de unidades for 0.

Descubra aqui a definição de geometria!

divisor, dividendo, resto e quociente precisam estar organizados Monte a sua divisão no papel como um quebra-cabeças, cada peça em seu lugar

Como encontrar o máximo divisor comum de um número?

O máximo divisor comum (MDC) de dois inteiros diferentes de zero é um princípio básico na aritmética elementar, permitindo encontrar o maior número que os divide simultaneamente.

É uma questão de fazer a lista de todos os divisores desses números: por exemplo, o que é o MDC de 20 e 36?

  • 20 tem como divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20,
  • 36 tem como divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

O MDC de 20 e 36 é, portanto, 4, o maior valor entre os encontrados que vale para todos os envolvidos.

Outro exemplo : os divisores comuns de 36, 48 e 60 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Assim, escrevemos: MDC (36, 48, 60) = 12.

Dois outros métodos podem ser usados: o método das subtrações sucessivas e a divisão euclidiana (sim, ela mesma).

Para calcular o MDC de 116 e 78, por exemplo:

  • Por subtrações sucessivas: 116 – 78 = 38, 78 – 38 = 40, 40 – 38 = 2, 2-2 = 0. MDC (116; 78) = 2,
  • Pelo método de Euclides: 116 = 78 x 1 + 38, 78 = 38 x 2 + 2, 38 = 19 x 2 + 0. MDC (116; 78) = 2.

O princípio é o mesmo para os dois métodos: subtraímos um número do outro tantas vezes quantas pudermos e olhamos o que é o resto.

Descubra também o que é álgebra!

tente resolver problemas sem ajuda de ferramentas Sabendo como fazer as operações, você pode dispensar a calculadora

Reforce seu aprendizado de divisão euclidiana

Mesmo depois de tantas aulas, o cérebro ainda tem que entender como encontrar a solução no dia a dia.

Você pode pesquisar por vídeos em que professores explicam com diferentes métodos como fazer uma divisão e resolvê-la, isso existe aos montes pela internet.

Busque conteúdos que façam testes entre o método de uma divisão simples com um único divisor e um com um divisor com dois dígitos.

E assim você pode também demonstrar de maneira ainda mais educativa a aprender a representar uma divisão. E para isso, você pode fazer listas de exercícios e reforçar a sua memória e raciocínio.

Recapitulando: para conseguir realizar um divisão como a formalizada por Euclides, devemos saber:

  • As tabelas de multiplicação ,
  • O método de subtração,
  • Aplicar a metodologia.

Não esqueça de verificar o quociente obtido e escrever o resultado com detalhes (no formato “dividendo = divisor x quociente + resto”).

Não hesite em reler aulas e refazer exercícios se os bloqueios permanecerem na sua mente e manifeste suas dificuldades, podendo inclusive recorrer a as aulas com um professor particular de matemática!

E é isso! Estamos prontos para o concluir o ano letivo!

Descubra também o que é uma função decimal.

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