Boas-vindas ao nosso conteúdo sobre as coordenadas do ponto médio. Neste artigo, vamos explorar um conceito fundamental da geometria analítica: como encontrar o ponto médio entre dois pontos em um plano cartesiano. Esse conceito é importante em diversas áreas, desde a física até a engenharia e a programação.
O ponto médio de um segmento de reta é aquele que se encontra exatamente à mesma distância de seus dois extremos. Por meio de fórmulas simples e de uma boa compreensão das coordenadas cartesianas, você poderá determinar facilmente as coordenadas do ponto médio. Além disso, veremos exemplos práticos que ajudarão você a aplicar esse conhecimento em diferentes situações.
Vamos começar a entender como determinar as coordenadas do ponto médio e sua importância na geometria analítica!
Como determinar o ponto médio
Consideremos o segmento 
, cujas extremidades são os pontos 
e 
, representado na figura a seguir:
O ponto médio é o ponto 
que pertence ao segmento e faz com que o segmento 
tenha a mesma medida que o segmento 
, ou seja,
O ponto médio é calculado utilizando a seguinte fórmula:
Dizemos que o ponto 
é simétrico de 
em relação a se for o ponto médio do segmento 
.
Ponto que divide um segmento em uma proporção dada
Em geral, se quisermos encontrar um ponto que divida um segmento de reta de modo que satisfaça a razão
utilizamos
Exercícios sobre coordenadas do ponto médio
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento , cujas extremidades são:
a
e 
,
b
e 
.
Para encontrar o ponto médio, basta utilizarmos a fórmula:
a Para o primeiro caso, temos
Portanto, o ponto médio é 
.
b Já para o segundo caso, o ponto médio é
Calcule:
a o ponto simétrico de 
em relação ao ponto 
,
b o ponto simétrico de 
em relação ao ponto 
.
a Vamos representar o ponto simétrico de por 
. Então, é o ponto médio do segmento 
. Portanto, se possui coordenadas 
, então é calculado utilizando
Além disso, sabemos que . Portanto,
Multiplicando ambas as equações por 2, obtemos
Portanto, isolando as incógnitas, temos 
e 
. Assim, o ponto simétrico é 
.
b De forma semelhante, representaremos o ponto simétrico por . Assim, é calculado utilizando
Além disso, sabemos que . Portanto,
Multiplicando ambas as equações por 2, obtemos
Portanto, isolando as incógnitas, temos 
e 
. Assim, o ponto simétrico é 
.
Calcule os pontos 
e 
que dividem o segmento , cujas extremidades são 
e 
, em três partes iguais.
Observe que devemos encontrar dois pontos 
e 
tais que
a Para encontrar o primeiro ponto, observe que a razão é
pois o segmento do denominador possui o dobro do comprimento. Assim, utilizamos a fórmula:
b De forma semelhante, para encontrar o segundo ponto, a razão é
pois, nesse caso, o segmento do numerador possui o dobro do comprimento. Assim, utilizamos a fórmula:
Portanto, os pontos são 
e 
.
Encontre as coordenadas do ponto 
, sabendo que 
é o ponto médio do segmento 
e que 
.
Vamos representar as coordenadas do ponto por 
. Então, é calculado utilizando
Além disso, sabemos que . Portanto, temos as equações
Multiplicando as equações por 2, temos
Portanto, isolando as incógnitas, obtemos 
e 
. Assim, o ponto é
Encontre as coordenadas do ponto , que está próximo de e é colinear com o segmento , sabendo que 
, 
e que 
tem a mesma medida que .
Como tem a mesma medida que , então é o ponto médio de 
.
Vamos representar as coordenadas do ponto por . Então, é calculado utilizando
Além disso, sabemos que 
. Portanto, temos as equações
Multiplicando as equações por 2, temos
Portanto, isolando as incógnitas, obtemos 
e 
. Assim, o ponto é
Encontre as coordenadas do ponto , que está próximo de e é colinear com o segmento , sabendo que , e que mede o dobro de .
Como mede o dobro de , então
Vamos representar as coordenadas do ponto por . Então, é calculado utilizando
Além disso, sabemos que . Portanto, temos as equações
Multiplicando as equações por 3, temos
Portanto, isolando as incógnitas, obtemos e 
. Assim, o ponto é
Considere o segmento , cujas extremidades são 
e 
. Encontre as coordenadas do ponto que divide o segmento em dois segmentos, de modo que seja a metade de .
Como é a metade de , então temos
Portanto, basta utilizarmos a fórmula:
Assim, o ponto é 
.
Se o segmento , cujas extremidades são 
e 
, for dividido em quatro partes iguais, quais serão as coordenadas dos pontos de divisão?
Vamos determinar 3 pontos , e 
tais que
como mostrado na figura a seguir:
a Para calcular , observe que
pois o segmento de até mede a terça parte do segmento que vai de até . Assim, utilizamos a fórmula para calcular :
b Observe que é o ponto médio entre e , portanto é calculado utilizando
c Por último, para temos
pois o segmento de até mede três vezes o comprimento do segmento que vai de até . Assim, utilizamos a fórmula para calcular :
Portanto, os pontos são
Se o segmento , cujas extremidades são 
e 
, for dividido em duas partes por um ponto , de modo que meça a terça parte de , quais serão as coordenadas de ?
Vamos buscar o ponto tal que
Para calcular , observe que
pois o segmento de até mede a terça parte do segmento que vai de até . Assim, utilizamos a fórmula para calcular :
Ou seja, o ponto é
Dados os pontos 
e 
, encontre um ponto que esteja alinhado com e e que satisfaça a relação
A fórmula que utilizamos para pontos médios ou para pontos que dividem um segmento em uma determinada razão é sempre aplicada a pontos colineares. Portanto, utilizaremos essa fórmula.
Além disso, a razão 
já foi fornecida. Assim, podemos aplicar diretamente a fórmula:
Ou seja, o ponto é
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