O que é ângulo entre dois vetores?

O ângulo entre dois vetores é o ângulo formado quando os dois vetores partem do mesmo ponto de origem. Esse ângulo indica a direção relativa entre eles e pode variar de 0° a 180°. Ele é muito utilizado em geometria e física para analisar a posição e a relação entre vetores.

O que é ângulo entre retas?

O ângulo entre retas é o menor ângulo formado no ponto em que duas retas se encontram. Ele indica a inclinação de uma reta em relação à outra e pode variar de 0° a 90° quando consideramos o menor ângulo entre elas.

Ângulo entre vetores

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Fórmula do ângulo entre dois vetores

O ângulo que formam dois vetores $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ é dado pela expressão:

$\text{[math]}$

A expressão em função de suas coordenadas é:

$\text{[math]}$

Exemplo: Determine o ângulo formado entre os vetores:

[l a t e x] \vec{u} = (3,0) [/ l a t e x] e [l a t e x] \vec{v} = (5,5) [/ l a t e x]

$\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

1Para aplicar a fórmula que permite encontrar o ângulo entre dois vetores, primeiro calculamos o produto escalar dos dois vetores.

$\text{[math]}$

2Calculamos o módulo do primeiro vetor.

$\text{[math]}$

3Calculamos o módulo do segundo vetor.

$\text{[math]}$

4Substituímos os valores obtidos anteriormente na fórmula do ângulo $\text{[math]}$ entre dois vetores.

$\text{[math]}$

5O valor $\text{[math]}$ que satisfaz a igualdade anterior é $\text{[math]}$

Exercícios propostos

Pontuação:

$\text{[math]}$

Solução

1 Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1 Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida empregando as frações parciais:

$\text{[math]}$

A integral é:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida utilizando frações parciais:

$\text{[math]}$

A integral é:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e para simplificar utilizamos identidades trigonométricas:

$\text{[math]}$

3Resolvemos as integrais obtidas:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para isso isolamos $\text{[math]}$ na mudança de variável inicial.

$\text{[math]}$

Calculamos o seno e cosseno de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Assim, o resultado se expressa em termos da variável $\text{[math]}$ como:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para tal, usamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Assim, a solução em termos da variável inicial é:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e para simplificar utilizamos identidades trigonométricas

$\text{[math]}$

3Resolvemos as integrais obtidas

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, para isso isolamos $\text{[math]}$ na mudança de variável inicial.

$\text{[math]}$

Calculamos o seno e cosseno de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Dessa forma, o resultado é expresso na variável $\text{[math]}$ como:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos as integrais obtidas:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos as integrais obtidas:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos as integrais obtidas:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos:

$\text{[math]}$

3Resolvemos as integrais obtidas:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial:

$\text{[math]}$

Solução

1 Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos

$\text{[math]}$

3Resolvemos las integrales obtidas

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos, utilizando:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial:

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos, utilizando:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial usando $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos, utilizando:

$\text{[math]}$

3Resolvemos a integral obtida:

$\text{[math]}$

4Voltamos para a variável inicial, usando $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Solução

1Realizamos a mudança de variável e calculamos o diferencial:

$\text{[math]}$

2Substituímos na integral e simplificamos, utilizando:

$\text{[math]}$

3Voltamos para a variável inicial, usando $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

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Ms. Kessia

As palavras são a minha forma de ver o mundo. Escrevo, traduzo e crio histórias que viajam entre línguas e pessoas. Na Superprof, trabalho com tradução do espanhol e conteúdo editorial em português para a página brasileira, um espaço onde posso unir criatividade, cultura e conexão todos os dias. Between languages, stories and people, that’s where I feel at home, turning ideas into words that connect and inspire. Because every text, when written with care, becomes a bridge between worlds. 🌟

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