Definições importantes sobre vetores
Vetores equipolentes
Dois vetores são equipolentes quando possuem o mesmo módulo, direção e sentido.
Vectores livres
O conjunto de todos os vetores equipolentes entre si é chamado de vetor livre. Ou seja, os vetores livres possuem o mesmo módulo, direção e sentido.
Vetores fixos
Um vetor fixo é um representante do vetor livre. Ou seja, os vetores fixos possuem o mesmo módulo, direção, sentido e origem.
Vetores ligados
Vetores ligados são vetores equipolentes que atuam sobre a mesma reta. Ou seja, os vetores fixos possuem o mesmo módulo, direção, sentido e estão sobre a mesma reta.
Vetores opostos
Vetores opostos possuem o mesmo módulo e direção, mas sentidos opostos.
Vetores unitários
Os vetores unitários possuem módulo igual a 1. Isso significa que um vetor 
é unitário se
Para obter um vetor unitário, com a mesma direção e sentido do vetor dado, dividimos esse vetor pelo seu módulo.
Vetores concorrentes
Vetores concorrentes possuem a mesma origem.
Vetor posição
O vetor 
, que liga a origem das coordenadas 
a um ponto 
), é chamado de vetor posição do ponto 
.
Vetores linearmente independentes
Existem duas formas principais de definir isso. A primeira é que vários vetores livres do plano são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como combinação linear dos demais. A segunda é que vários vetores livres do plano são linearmente independentes se existir uma combinação linear deles igual ao vetor nulo sem que todos os coeficientes sejam iguais a zero. Isto é, os vetores 
ssão linearmente independentes se existirem números reais 
não todos nulos (ou seja, pelo menos algum 
) tais que
Vectores linealmente dependientes
Da mesma forma, existem duas maneiras principais de definir isso. A primeira é que vários vetores livres do plano são linearmente dependentes se algum deles puder ser escrito como combinação linear dos demais. A segunda é que vários vetores livres do plano são linearmente dependentes se a única maneira de uma combinação linear deles resultar no vetor nulo for quando todos os coeficientes forem iguais a zero. Isto é, temos que, se
então isso só acontece se
Vetores ortogonais
Dois vetores são ortogonais ou perpendiculares quando seu produto escalar é igual a zero. Isto é, os vetores 
e 
são ortogonais se, e somente se,
.
Vetores ortonormais
Dos vetores e são ortonormais se satisfazem as seguintes condições:
- São ortogonais:
- São unitários:
Exemplos sobre vetores
1. Dado o vetor 
, determinar dois vetores equipolentes a 
, 
e 
, sabendo que 
e 
.
Para resolver este exercício, observe que é o vetor posição do ponto 
, e notamos que 
(
é origem), Ou seja, o vetor é definido pela diferença entre os pontos que ele liga. Assim, todo vetor equipolente ddeve satisfazer que o ponto final menos o ponto inicial seja igual a 
. Dito isso, temos o ponto inicial do vetor , . A(1,−3). Agora precisamos encontrar o ponto final 
, faremos isso da seguinte forma:
Isso nos mostra que 
. Agora encontraremos o ponto inicial do vetor , já que conhecemos o ponto final
Isso nos mostra que 
.
2. Calcule as coordenadas de 
para que o quadrilátero de vértices 
, 
, 
e ; seja um paralelogramo.
Nosso paralelogramo é mostrado na figura a seguir.
Nossa tarefa é encontrar as coordenadas de . D. Para isso, procederemos da mesma forma que no exercício anterior. Temos que os vetores e devem ser vetores equipolentes. Portanto, 
. Usaremos essa igualdade para encontrar as coordenadas do ponto
Assim, nosso ponto é 
.
3. Se é um vetor de componentes 
, determine um vetor unitário de mesma direção e sentido.
Para resolver isso, primeiro calcularemos o módulo do vetor.
O vetor desejado é simplesmente o vetor dividido pelo seu módulo, ou seja, 
4. Determine um vetor unitário com a mesma direção do vetor 
.
Para resolver isso, primeiro calcularemos o módulo do vetor.
O vetor desejado é simplesmente o vetor dividido pelo seu módulo, ou seja, 
.
Observe que o vetor 
também é unitário, possui a mesma direção, mas sentido oposto.
5. Determine um vetor unitário 
que tenha a mesma direção do vetor 
Para resolver isso, primeiro calcularemos o módulo do vetor.
O vetor desejado é simplesmente o vetor dividido pelo seu módulo, ou seja, 
.
Observe que o vetor também é unitário, possui a mesma direção, mas sentido oposto.
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