Exercícios sobre a equação da hipérbole

Q: O que é uma hipérbole?

Uma hipérbole é uma curva formada por dois ramos separados e simétricos. Ela é uma das seções cônicas, obtida quando um plano corta as duas partes de um cone duplo. Na geometria analítica, a hipérbole é definida como o conjunto de pontos do plano cuja diferença das distâncias até dois pontos fixos, chamados focos, permanece constante.

Q: Como calcular uma hipérbole?

Para calcular os principais elementos de uma hipérbole, é preciso conhecer sua equação. Na forma reduzida, com centro na origem, ela pode ser escrita como: x²/a² − y²/b² = 1 ou y²/a² − x²/b² = 1. A partir da equação, identificamos os valores de a e b. A distância do centro até cada foco é determinada pela relação c² = a² + b². Assim, é possível encontrar o centro, os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole.

Pontuação:

Represente graficamente e determine as coordenadas dos focos, dos vértices e a excentricidade das seguintes hipérboles:

1 $\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

Solução

1 $\text{[math]}$

Da equação da hipérbole, obtemos

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Conhecendo $\text{[math]}$ , sabendo que a hipérbole está centrada na origem e que seu eixo real é horizontal, podemos determinar os vértices $\text{[math]}$ , os focos $\text{[math]}$ e a excentricidade $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Com os dados anteriores, representamos graficamente a hipérbole.

ejercicios de la hiperbola 1

2 $\text{[math]}$

Da equação da hipérbole, obtemos

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Conhecendo $\text{[math]}$ , sabendo que a hipérbole está centrada na origem e que seu eixo real é vertical, podemos determinar os vértices $\text{[math]}$ , os focos $\text{[math]}$ e a excentricidade $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Com os dados anteriores, representamos graficamente a hipérbole.

ejercicios de la hiperbola 2

3 $\text{[math]}$

Dividindo por 30,

$\text{[math]}$

Da equação da hipérbole, obtemos

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Com os dados anteriores, representamos graficamente a hipérbole.

ejercicios de la hiperbola 3

4 $\text{[math]}$

Dividindo por 1296

$\text{[math]}$

Da equação da hipérbole, obtemos

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Com os dados anteriores, representamos graficamente a hipérbole.

ejercicios de la hiperbola 4

Represente graficamente e determine as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e a excentricidade das seguintes hipérboles:

1 $\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

Solução

1 $\text{[math]}$

Encontramos a equação reduzida da hipérbole:

$\text{[math]}$

Da equação da hipérbole, obtemos o centro e

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Conhecendo $\text{[math]}$ , o centro e sabendo que seu eixo real é horizontal, podemos determinar os vértices $\text{[math]}$ , os focos $\text{[math]}$ e a excentricidade $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Com os dados anteriores, representamos graficamente a hipérbole.

ejercicios de la hiperbola 5

2 $\text{[math]}$

Encontramos a equação reduzida da hipérbole:

$\text{[math]}$

Da equação da hipérbole, obtemos o centro e

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Conhecendo $\text{[math]}$ , o centro e sabendo que seu eixo real é vertical, podemos determinar os vértices $\text{[math]}$ , os focos $\text{[math]}$ e a excentricidade $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Com os dados anteriores, representamos graficamente a hipérbole.

ejercicios de la hiperbola 6

Determine a equação de uma hipérbole com centro na origem, eixo real horizontal igual a $\text{[math]}$ e distância focal $\text{[math]}$ .

Solução

A partir dos valores do eixo real e da distância focal, temos

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

A equação da hipérbole é:

$\text{[math]}$

O eixo principal de uma hipérbole é horizontal e mede $\text{[math]}$ . Se o centro está localizado na origem e a curva passa pelo ponto $\text{[math]}$ , determine sua equação.

Solução

A equação da hipérbole é da forma

$\text{[math]}$

Para obter $\text{[math]}$ , utilizamos o eixo principal

$\text{[math]}$

Para encontrar $\text{[math]}$ , substituímos $\text{[math]}$ e o ponto $\text{[math]}$ na equação da hipérbole

$\text{[math]}$

A equação procurada é

$\text{[math]}$

Calcule a equação reduzida da hipérbole horizontal cuja distância focal é $\text{[math]}$ , a distância de um foco ao vértice mais próximo é $\text{[math]}$ e cujo centro está localizado na origem.

Solução

A equação da hipérbole é da forma

$\text{[math]}$

A partir dos valores da distância focal e da distância do foco ao vértice, temos

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

A equação da hipérbole é

$\text{[math]}$

Determine a equação reduzida da hipérbole horizontal com centro na origem e que passa pelos pontos $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$

Solução

A equação da hipérbole é da forma

$\text{[math]}$

Para encontrar $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ , substituímos os pontos dados na equação da hipérbole:

$\text{[math]}$

Resolvendo o sistema de equações, temos

$\text{[math]}$

A equação procurada é

$\text{[math]}$

Determine a equação reduzida de uma hipérbole com centro na origem, que passa pelo ponto $\text{[math]}$ e cuja excentricidade é $\text{[math]}$ .

Solução

A equação da hipérbole é da forma

$\text{[math]}$

Substituímos o ponto dado na equação da hipérbole e obtemos a equação

$\text{[math]}$

A partir da excentricidade, obtemos a equação

$\text{[math]}$

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações anteriores, temos $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ .

A equação procurada é

$\text{[math]}$

Determine a equação reduzida da hipérbole horizontal com centro na origem, sabendo que a distância de um foco aos vértices da hipérbole é $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ .

Solução

A partir dos dados, encontramos o eixo real e o eixo focal:

$\text{[math]}$

Encontramos o valor de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

A equação da hipérbole é

$\text{[math]}$

Determine a posição relativa da reta $\text{[math]}$ em relação à hipérbole $\text{[math]}$ .

Solução

Resolvemos o sistema de equações formado pela reta e pela hipérbole:

$\text{[math]}$

Obtemos os pontos de interseção $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ .

Assim, a reta é secante à hipérbole.

Uma hipérbole equilátera passa pelo ponto $\text{[math]}$ . Determine sua equação, considerando suas assíntotas como eixos, e as coordenadas dos vértices e dos focos.

Solução

A equação da hipérbole equilátera é

$\text{[math]}$

Substituímos o ponto pelo qual passa a hipérbole:

$\text{[math]}$

Assim, a equação referida às suas assíntotas como eixos é

$\text{[math]}$

Para encontrar os vértices, fazemos a interseção da reta que contém os vértices com a hipérbole:

$\text{[math]}$

Os vértices são $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ .

Sabemos que $\text{[math]}$ e sua equação associada é $\text{[math]}$ . Para encontrar os focos, fazemos a interseção da equação anterior com a reta que contém os vértices:

$\text{[math]}$

Os focos são $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ .

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Ms. Kessia

As palavras são a minha forma de ver o mundo. Escrevo, traduzo e crio histórias que viajam entre línguas e pessoas. Na Superprof, trabalho com tradução do espanhol e conteúdo editorial em português para a página brasileira, um espaço onde posso unir criatividade, cultura e conexão todos os dias. Between languages, stories and people, that’s where I feel at home, turning ideas into words that connect and inspire. Because every text, when written with care, becomes a bridge between worlds. 🌟

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Perguntas frequentes

O que é uma hipérbole?

Uma hipérbole é uma curva formada por dois ramos separados e simétricos. Ela é uma das seções cônicas, obtida quando um plano corta as duas partes de um cone duplo.

Na geometria analítica, a hipérbole é definida como o conjunto de pontos do plano cuja diferença das distâncias até dois pontos fixos, chamados focos, permanece constante.

Como calcular uma hipérbole?

Para calcular os principais elementos de uma hipérbole, é preciso conhecer sua equação. Na forma reduzida, com centro na origem, ela pode ser escrita como:

x²/a² − y²/b² = 1 ou y²/a² − x²/b² = 1.

A partir da equação, identificamos os valores de a e b. A distância do centro até cada foco é determinada pela relação c² = a² + b².

Assim, é possível encontrar o centro, os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole.

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