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Representando uma função matemática

De Fernando, publicado dia 23/11/2017 Blog > Apoio Escolar > Matemática > Como elaborar uma tabela de variações

No ensino médio, o problema do estudo de funções é faz parte do aprendizado necessário dos estudantes dos últimos anos e pode ser muito importante em avaliações de seleção e na escolha de uma carreira futura.

Neste tipo de problema, você terá que estudar uma função polinomial, exponencial, logarítmica ou trigonométrica.

O estudo de uma função consiste em estudar suas variáveis e seus limites, buscar seus extremos, encontrar suas assíntotas, se existirem, e finalmente rastreá-las para mapear uma representação gráfica.

Estudar as variáveis de uma função é, portanto, uma questão padrão, entre as que sempre caem em testes de matemática.

Neste artigo, apresentaremos o método geral para estudar as variáveis de uma função definida em um intervalo I, elaborar sua tabela de variáveis e depois traçar seu gráfico. Isso também servirá bem para suas aulas de matemática.

E quem sabe esse não será o seu incentivo para se dedicar mais às aulas de matemática ou buscar um bom professor particular para desenvolver melhor o seu aprendizado?

A matemática também exige prática A dedicação aos exercícios deve ser diária

Tome o exemplo da função f (x) definida e dada por:

f (x) = x 3 + 3x 2 -9x +6

Função derivada

A função f (x) é uma função polinomial formada pela soma de 3 termos da forma “ax n  ” (onde a e n são números naturais) e uma constante. Sabendo que a derivada de “ax n  ” é da forma “anx n-1  ” e que a derivada de uma constante é zero, a derivada de f (x) é:

f ‘(x) = 3x 2 + 6x -9.

Fatorize, se possível, a derivada de f

O objetivo desta etapa é avaliar a derivada da função f (x) para expressá-la como um produto ou um quociente de expressões. Fatorar, simplificando as sentenças matemáticas,  é um passo chave que não deve ser esquecido porque facilita muito o estudo de f ‘(x).

E sim, a fatorização é como resolver um enigma matemático  em aulas de matemática, pois é preciso prestar atenção aos dados e determinar a melhor maneira de torná-lo mais palpável ao indivíduo que está resolvendo a questão. Fator comum em evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio dos quadrados perfeitos são apenas algumas das maneiras de realizar essa etapa. Se você ainda não as conhece, pergunte ao seu professor e tente avançar ainda mais no aprendizado da matemática!

Observamos que podemos tomar 3 como o elemento comum em evidência, o que dá: f ‘(x) = 3 (x 2 + 2x -3).

2 + 2x -3 é um trinômio de segundo grau da forma ax 2 + bx + c com números reais a, b e c. Para fatorizar este trinomial deve-se primeiro calcular o discriminante (lembra da Fórmula de Baskhara? ele é sempre representado pela letra grega delta  ) e encontrar as raízes x 1 e x 2 .

= b 2 -4ac = 2 2 -4 × 1 × -3 = 4 + 12 = 16

Podemos então calcular as raízes através das duas fórmulas seguintes:

1 = -3

2 = 1

Note-se que se o discriminante for positivo (e então ambas as raízes existem), o trinomial pode ser escrito como factorizado (x-x 1 ) (x-x 2 ), o que dá x 2 + 2x -3 = (x – (- 3)) (x-1) = (x + 3) (x-1).

A derivada da função está escrita na seguinte forma fatorada:

f ‘(x) = 3 (x + 3) (x-1)

Para estudar o sinal de f ‘(x) no intervalo I

3 é um número positivo, portanto, o sinal de f ‘(x) é idêntico ao sinal de (x + 3) (x-1).

Vamos resolver as seguintes desigualdades:

x + 3> 0 => x> -3 então o binômio x + 3 é positivo quando x é maior que -3, zero quando x é igual a -3 e negativo quando x é inferior a -3.

x – 1> 0 => x> 1 então binomial x-1 é positivo quando x é maior que 1, zero quando x é 1 e negativo quando x é inferior a 1.

A tabela de signos da derivada f ‘(x) é mostrada abaixo:

X – ∞                                  -3 1 + ∞
x + 3                  – 0 + +
x – 1                  – – 0 +
f ‘(x)                + 0 – 0 +

Note-se que poderíamos ter determinado o sinal trinomial x 2 + 2x -3 usando outro método.

As linhas devem ser perfeitas em seu estudo Não se esqueça de organizar bem os dados

Portanto, quando o discriminante é positivo, o trinômio tem X ^ + bx + c converte o sinal oposto de um deles , no intervalo entre as duas raízes X 1 e X 2 e o mesmo sinal que foi em outro lugar.

Desenhe a tabela de variações de f em I

f sendo diferenciável, para qualquer intervalo J incluído em:

Se f ‘(x)> 0 para todo x pertencente a J, f está aumentando estritamente em J.

Se f ‘(x) <0 para todo x pertencente a J, f está diminuindo estritamente em J.

A tabela de variação é a representação esquemática das direções tomadas pela curva representativa de uma função.

A tabela de variações de f é dada por:

X -∞                                            -3 1 + ∞
f (x)                                                   33 + ∞

-∞ 1

Observe que f (-3) = 33 e f (1) = 1

Vamos calcular os limites da função:

= = + ∞

= = -∞ (porque um número negativo com uma potência ímpar permanece negativo)

De acordo com a tabela de variações de f, encontramos que tem um máximo no ponto A (-3; 33) e um mínimo no ponto B (1; 1).

Desenhe a função em seu intervalo de definição

Para desenhar um gráfico que represente esta função, basta colocar o mínimo e o máximo no marcador e fazer uma pequena tabela que nos ajude a colocar alguns pontos particulares:

X f (x)
-5 1
-2 28
-1 17
0 6
5 161

E aqui está a nossa famosa curva:

Apresentando os números corretos de uma tabela A variação de uma função

Matemática e arte são muitas vezes ligadas, mas uma curva matemática está longe de ser uma forma livre de arte. É necessário ser muito preciso e tenha cuidado para colocar seus marcadores corretamente na curva.

 

A importância de um professor particular

A matemática pode f, mas ela não precisa ser um grande problema em sua vida. Saber os exercícios corretos para se realizar e como as resoluções de problemas podem ser feitas de maneira mais efetiva são alguns dos desafios que você pode superar com um bom professor.

Se o seu programa escolar parece defasado ou você precisa de ajuda específica em um tópico, que tal procurar um professor particular. Ele terá as melhores maneiras de ajudá-lo a progredir e superar o medo dos números, funções, equações…

Programa personalizado

Se você é um estudante de ensino fundamental ou médio, você pode revisar melhor os pontos passados em sala de aula ou já avançar para pontos mais complexos com a ajuda de alguém que conhece bem o seu potencial. Seja para se preparar para uma prova específica ou entrar no ritmo certo para acompanhar a sua turma, um professor vai separar sempre os exercícios corretos e dar uma atenção mais direcionada para você.

Os estudantes do ensino superior e os que estão se preparando para uma prova de seleção que envolve temas como matemática financeira ou lógica, também podem contar com esse tipo de profissional. Nesse caso, é mais importante ainda avaliar bem as credenciais e o passado dos professores, já que o seu nível é mais avançado e ele precisará trazer elementos diferentes do que já fazem parte de um programa escolar fechado como o do Ensino Fundamental ou Médio. E, claro, ele precisa dominar bem o tema que está passando com você.

E se você é um profissional da área de exatas, ciências ou administração que deseja desenvolver habilidades de raciocínio mais rápido e concentração, essa também pode ser uma boa chance de aprender. Afinal, a matemática nunca sai da nossa rotina! E saber lidar bem com os números faz toda a diferença.

Um professor particular pode marcar sua vida Saber matemática é muito importante para seu futuro

Atenção para os problemas certos

Na aula de matematica o estímulo gradual e você precisa usar isso ao seu favor.  Use o seu tempo com seu professor particular para realizar tarefas que você não conseguiria sozinho, trazendo o conhecimento dele para apoiar a ampliação do seu. Afinal,  essa é a função dele: apoiar o seu desenvolvimento e a preencher as lacunas que podem ter sido criadas em seu aprendizado.

Se você tem uma prova importante nas próximas semanas, que tal pesquisar o que pode ser importante nela e utilizar isso como guia para os seus estudos nos próximos dias?

Se você se dá bem com equações de primeiro grau, que tal uma lista de exercícios mais complexa e que pode ajudá-lo a melhor também em funções? E também em geometria?

Seu professor vai encontrar os pontos para tirar o melhor de você e aplicar todas as suas questões em revisões constantes e focadas no que você precisa.

Cuidados na hora de estudar

A sua gestão do tempo precisa ser muito bem feita, já que sua disciplina e dedicação serão testadas a todo tempo. Ao contrário de um professor de  sala de aula que divide a atenção entre 30, 50 alunos, o seu professor estará à sua disposição em um horário específico e você certamente deseja aproveitar o melhor desse investimento.

Por isso, tenha sempre à mão quais serão os desafios que deseja superar e tire todas as suas dúvidas, fazendo esse momento ser mais produtivo e completo.

Aproveite para ter um espaço de estudos claro, organizado e que já tenha todas as ferramentas necessárias à mão: régua, caneta, lápis, borrachas, apontadores, calculadora, cadernos… Não perca seu tempo procurando algo que pode ser simples de já estar organizado com antecedência. É o seu aprendizado que está em jogo.

Faça do seu professor particular de matemática o seu tutor para conquistar o que você deseja.  A matemática pode ser maravilhosa quando você sabe utilizá-la bem.

Saiba também onde encontrar um bom curso de matematica online!

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