No ensino médio, o problema do estudo de funções é faz parte do aprendizado necessário dos estudantes dos últimos anos e pode ser muito importante em avaliações de seleção e na escolha de uma carreira futura.
Neste tipo de problema, você terá que estudar uma função polinomial, exponencial, logarítmica ou trigonométrica.
O estudo de uma função consiste em estudar suas variáveis e seus limites, buscar seus extremos, encontrar suas assíntotas, se existirem, e finalmente rastreá-las para mapear uma representação gráfica.
Estudar as variáveis de uma função é, portanto, uma questão padrão, entre as que sempre caem em testes de matemática.
Neste artigo, apresentaremos o método geral para estudar as variáveis de uma função definida em um intervalo I, elaborar sua tabela de variáveis e depois traçar seu gráfico. Isso também servirá bem para suas aulas de matemática.
E quem sabe esse não será o seu incentivo para se dedicar mais às aulas de matemática ou buscar um bom professor particular para desenvolver melhor o seu aprendizado?
Tome o exemplo da função f (x) definida e dada por:
f (x) = x 3 + 3x 2 -9x +6
Função derivada
A função f (x) é uma função polinomial formada pela soma de 3 termos da forma "ax n " (onde a e n são números naturais) e uma constante. Sabendo que a derivada de "ax n " é da forma "anx n-1 " e que a derivada de uma constante é zero, a derivada de f (x) é:
f '(x) = 3x 2 + 6x -9.
Fatorize, se possível, a derivada de f
O objetivo desta etapa é avaliar a derivada da função f (x) para expressá-la como um produto ou um quociente de expressões. Fatorar, simplificando as sentenças matemáticas, é um passo chave que não deve ser esquecido porque facilita muito o estudo de f '(x).
E sim, a fatorização é como resolver um enigma matemático em aulas de matemática, pois é preciso prestar atenção aos dados e determinar a melhor maneira de torná-lo mais palpável ao indivíduo que está resolvendo a questão. Fator comum em evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio dos quadrados perfeitos são apenas algumas das maneiras de realizar essa etapa. Se você ainda não as conhece, pergunte ao seu professor e tente avançar ainda mais no aprendizado da matemática!
Observamos que podemos tomar 3 como o elemento comum em evidência, o que dá: f '(x) = 3 (x 2 + 2x -3).
x 2 + 2x -3 é um trinômio de segundo grau da forma ax 2 + bx + c com números reais a, b e c. Para fatorizar este trinomial deve-se primeiro calcular o discriminante (lembra da Fórmula de Baskhara? ele é sempre representado pela letra grega delta ) e encontrar as raízes x 1 e x 2 .
= b 2 -4ac = 2 2 -4 × 1 × -3 = 4 + 12 = 16
Podemos então calcular as raízes através das duas fórmulas seguintes:
x 1 = -3
x 2 = 1
Note-se que se o discriminante for positivo (e então ambas as raízes existem), o trinomial pode ser escrito como factorizado (x-x 1 ) (x-x 2 ), o que dá x 2 + 2x -3 = (x - (- 3)) (x-1) = (x + 3) (x-1).
A derivada da função está escrita na seguinte forma fatorada:
f '(x) = 3 (x + 3) (x-1)
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Para estudar o sinal de f '(x) no intervalo I
3 é um número positivo, portanto, o sinal de f '(x) é idêntico ao sinal de (x + 3) (x-1).
Vamos resolver as seguintes desigualdades:
x + 3> 0 => x> -3 então o binômio x + 3 é positivo quando x é maior que -3, zero quando x é igual a -3 e negativo quando x é inferior a -3.
x - 1> 0 => x> 1 então binomial x-1 é positivo quando x é maior que 1, zero quando x é 1 e negativo quando x é inferior a 1.
A tabela de signos da derivada f '(x) é mostrada abaixo:
| X | - ∞ | -3 1 | + ∞ |
| x + 3 | - 0 + + | ||
| x - 1 | - - 0 + | ||
| f '(x) | + 0 - 0 + | ||
Note-se que poderíamos ter determinado o sinal trinomial x 2 + 2x -3 usando outro método.
Portanto, quando o discriminante é positivo, o trinômio tem X ^ + bx + c converte o sinal oposto de um deles , no intervalo entre as duas raízes X 1 e X 2 e o mesmo sinal que foi em outro lugar.
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Desenhe a tabela de variações de f em I
f sendo diferenciável, para qualquer intervalo J incluído em:
Se f '(x)> 0 para todo x pertencente a J, f está aumentando estritamente em J.
Se f '(x) <0 para todo x pertencente a J, f está diminuindo estritamente em J.
A tabela de variação é a representação esquemática das direções tomadas pela curva representativa de uma função.
A tabela de variações de f é dada por:
| X | -∞ | -3 1 | + ∞ |
| f (x) | 33 + ∞ -∞ 1 | ||
Observe que f (-3) = 33 e f (1) = 1
Vamos calcular os limites da função:
= = + ∞
= = -∞ (porque um número negativo com uma potência ímpar permanece negativo)
De acordo com a tabela de variações de f, encontramos que tem um máximo no ponto A (-3; 33) e um mínimo no ponto B (1; 1).
Desenhe a função em seu intervalo de definição
Para desenhar um gráfico que represente esta função, basta colocar o mínimo e o máximo no marcador e fazer uma pequena tabela que nos ajude a colocar alguns pontos particulares:
| X | f (x) |
| -5 | 1 |
| -2 | 28 |
| -1 | 17 |
| 0 | 6 |
| 5 | 161 |
E aqui está a nossa famosa curva:
Matemática e arte são muitas vezes ligadas, mas uma curva matemática está longe de ser uma forma livre de arte. É necessário ser muito preciso e tenha cuidado para colocar seus marcadores corretamente na curva.
A importância de um professor particular
A matemática pode f, mas ela não precisa ser um grande problema em sua vida. Saber os exercícios corretos para se realizar e como as resoluções de problemas podem ser feitas de maneira mais efetiva são alguns dos desafios que você pode superar com um bom professor.
Se o seu programa escolar parece defasado ou você precisa de ajuda específica em um tópico, que tal procurar um professor particular. Ele terá as melhores maneiras de ajudá-lo a progredir e superar o medo dos números, funções, equações...
Programa personalizado
Se você é um estudante de ensino fundamental ou médio, você pode revisar melhor os pontos passados em sala de aula ou já avançar para pontos mais complexos com a ajuda de alguém que conhece bem o seu potencial. Seja para se preparar para uma prova específica ou entrar no ritmo certo para acompanhar a sua turma, um professor vai separar sempre os exercícios corretos e dar uma atenção mais direcionada para você.
Os estudantes do ensino superior e os que estão se preparando para uma prova de seleção que envolve temas como matemática financeira ou lógica, também podem contar com esse tipo de profissional. Nesse caso, é mais importante ainda avaliar bem as credenciais e o passado dos professores, já que o seu nível é mais avançado e ele precisará trazer elementos diferentes do que já fazem parte de um programa escolar fechado como o do Ensino Fundamental ou Médio. E, claro, ele precisa dominar bem o tema que está passando com você.
E se você é um profissional da área de exatas, ciências ou administração que deseja desenvolver habilidades de raciocínio mais rápido e concentração, essa também pode ser uma boa chance de aprender. Afinal, a matemática nunca sai da nossa rotina! E saber lidar bem com os números faz toda a diferença.
Atenção para os problemas certos
Na aula de matematica ou mesmo na aula de algebra basica o estímulo gradual e você precisa usar isso ao seu favor. Use o seu tempo com seu professor particular para realizar tarefas que você não conseguiria sozinho, trazendo o conhecimento dele para apoiar a ampliação do seu. Afinal, essa é a função dele: apoiar o seu desenvolvimento e a preencher as lacunas que podem ter sido criadas em seu aprendizado.
Se você tem uma prova importante nas próximas semanas, que tal pesquisar o que pode ser importante nela e utilizar isso como guia para os seus estudos nos próximos dias?
Se você se dá bem com equações de primeiro grau, que tal uma lista de exercícios mais complexa e que pode ajudá-lo a melhor também em funções? E também em geometria?
Seu professor vai encontrar os pontos para tirar o melhor de você e aplicar todas as suas questões em revisões constantes e focadas no que você precisa.
Cuidados na hora de estudar
A sua gestão do tempo precisa ser muito bem feita, já que sua disciplina e dedicação serão testadas a todo tempo. Ao contrário de um professor de sala de aula que divide a atenção entre 30, 50 alunos, o seu professor estará à sua disposição em um horário específico e você certamente deseja aproveitar o melhor desse investimento.
Por isso, tenha sempre à mão quais serão os desafios que deseja superar e tire todas as suas dúvidas, fazendo esse momento ser mais produtivo e completo.
Aproveite para ter um espaço de estudos claro, organizado e que já tenha todas as ferramentas necessárias à mão: régua, caneta, lápis, borrachas, apontadores, calculadora, cadernos... Não perca seu tempo procurando algo que pode ser simples de já estar organizado com antecedência. É o seu aprendizado que está em jogo.
Faça do seu professor particular de matemática o seu tutor para conquistar o que você deseja. A matemática pode ser maravilhosa quando você sabe utilizá-la bem.
Saiba também onde encontrar um bom curso de matematica online!
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Eu encontrei a formula de uma das questões inacabadas o resultado é x=6n ao quadrado