Exercícios de fatoração e decomposição de polinômios

1Para fatorar , notamos que é fator comum de ambos os termos

2Sabemos que as raízes é o valor que toma se a equação é igual a zero, então dado , existem 2 casos: quando e quando

Assim, as raízes são y
 

1Para fatorar , notamos que é fator comum de cada um dos termos

2Neste caso existe apenas a raiz , já que o polinômio não têm raízes, isto é, não existe um número real assim

1Aplicamos a diferença de quadrados

2Igualando cada fator a zero obtemos as raízes

y

1Aplicamos a diferença de quadrados

2Aplicamos novamente a diferença de quadrados no segundo fator

3Igualando cada fator a zero, obtemos as raízes

y

Lembre-se que o fator não possui raízes reais
 

1Estamos diante de um trinômio quadrado perfeito, que pode ser escrito como um binômio ao quadrado, para qual temos que fazer as seguintes perguntas

Qual numero elevado ao quadrado dá ?, qual número elevado ao quadrado dá
e comprovar que o dobro do produto dos dois resultados é igual a
2A premissa satisfaz o e , assim, a fatoração é expressada da seguinte maneira

3Igualando cada fator a zero, obtemos as raízes

e dizemos que é uma raiz dupla

1Neste caso usaremos a fórmula geral para equações do segundo grau da qual devemos igualar a zero, isto é . Encontramos os valores de (raízes da equação) utilizando a fórmula geral:

Quando resolvido, obtemos as raízes

2Neste caso os fatores de cada equação são:

.

1Igualamos o polinômio a zero e fazemos uma mudança de variável
substituindo nossa nova variável, temos

2Resolvendo a equação do segundo grau

Quando resolvidos, obtemos as raízes

3Agora, na nossa mudança de variável teríamos que ; desfazemos a mudança de variável e obtemos as raízes

4Neste caso os fatores da equação são

.

1Igualamos o polinômio a zero e fazemos uma mudança de variável
Substituindo nossa nova variável, temos

2Resolvemos a equação do segundo grau

Quando resolvidos, obtemos as raízes

3Agora na nossa mudança de variável teríamos que ; desfazemos a mudança de variável e obtemos as raízes

; mas não possui soluções reais

4Neste caso os fatores da equação são

.

1 Pegamos os divisores do termo independente, que são, .

2 Aplicando o teorema do resto saberemos para quais valores a divisão é exata.

3 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz e o polinômio é expressado como

4 Continuamos fazendo as mesmas operações no segundo fator. Voltamos a tentar por porque o primeiro fator poderia estar elevado ao quadrado.

Assim, não é raiz do segundo fator. Tentamos com

5 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz e o polinômio é expressado como:

6 O terceiro fator pode ser encontrado aplicando a equação do segundo grau, tal como temos feito, ainda que haja o inconveniente de que apenas possamos encontrar raízes inteiras.

As raízes são e o polinômio é expressado como:

1 Pegamos os divisores do termo independente, que são, .

2 Aplicando o teorema do resto saberemos para quais valores a divisão é exata.

3 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz e o polinômio é expresso por

4 Continuamos fazendo as mesmas operações no segundo fator. Voltamos a tentar por porque o primeiro fator poderia estar elevado ao quadrado.

5 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz dupla e o polinômio é expresso por

1 Pegamos os divisores do termo independente, que são, .

2 Aplicando o teorema do resto saberemos para quais valores a divisão é exata.

3 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz e o polinômio é expressado por

4 O segundo fator pode ser encontrado aplicando a equação do segundo grau, tal como temos feito, ainda que haja o inconveniente de que apenas possamos encontrar raízes inteiras.

Como o discriminante é negativo, o polinômio não possui raízes inteiras. Assim, a única raiz é e o polinômio é expresso por

 

1 Pegamos os divisores do termo independente, que são, .

2 Aplicando o teorema do resto saberemos para quais valores a divisão é exata.

3 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz e o polinômio é expressado por

4 O segundo fator pode ser encontrado aplicando a equação do segundo grau, tal como temos feito, ainda que haja o inconveniente de que apenas possamos encontrar raízes inteiras.

As raízes do segundo fator são e o polinômio é expressado por

1 Pegamos os divisores do termo independente, que são, .

2 Aplicando o teorema do resto saberemos para quais valores a divisão é exata.

3 Dividimos por Ruffini.

Como a divisão é exata, é uma raiz e o polinômio é expressado por

4 O segundo fator pode ser encontrado aplicando a equação do segundo grau, tal como temos feito, ainda que haja o inconveniente de que apenas possamos encontrar raízes inteiras.

As raízes do segundo fator são e o polinômio é expressado por

 

a)

Tiramos o fator comum

Escrevemos a diferença de quadrados como uma soma pela diferença

b)

Tiramos o fator comum

Temos um trinômio quadrado perfeito que podemos expressar como um binômio ao quadrado

c)

Tiramos o fator comum

Temos um trinômio quadrado perfeito que podemos expressar como um binômio ao quadrado

Escrevemos a diferença de quadrados como uma soma pela diferença

d)

Tiramos o fator comum

Escrevemos a diferença de quadrados como uma soma pela diferença

e)

Tiramos o fator comum

Escrevemos a diferença de quadrados como uma soma pela diferença

O segundo fator é um polinômio irredutível ou primo

O terceiro fator é uma diferença de quadrado que fatoramos como uma soma pela diferença

f)

Igualamos o trinômio do segundo grau a zero e resolvemos a equação

As raízes são e o polinômio é expressado por

 

a)

Neste exercício podemos fazer uma dupla extração de fator comum. Nos dois primeiros somandos extraímos e nos dois últimos extraímos

Tiramos o fator comum

b)

é uma diferença de quadrados

c)

A diferença de quadrados é igual à soma pela diferença

d)

Um trinômio quadrado perfeito é igual a um binômio ao quadrado

O quadrado de é , o quadrado de é e o dobro do primeiro pelo segundo é

e)

Um trinômio quadrado perfeito é igual a um binômio ao quadrado

O quadrado de é , o quadrado de é e o dobro do primeiro pelo segundo é

f)

Um trinômio quadrado perfeito é igual a um binômio ao quadrado

O quadrado de é , o quadrado de é e o dobro do primeiro pelo segundo é

g)

Um trinômio quadrado perfeito é igual a um binômio ao quadrado

O quadrado de é , o quadrado de é e o dobro do primeiro pelo segundo é

h)

Um trinômio quadrado perfeito é igual a um binômio ao quadrado

O quadrado de é , o quadrado de é e o dobro do primeiro pelo segundo é

i)

Tiramos fator comum

Temos outro trinômio quadrado perfeito

O quadrado de é , o quadrado de é e o dobro do primeiro pelo segundo é

j)

Tiramos fator comum

Transformamos a diferença de quadrados em uma soma pela diferença

Aplicamos a soma e diferença de cubos

k)

Igualamos o polinômio a zero

Resolvemos a equação do segundo grau

As raízes são e o polinômio é expressado por

l)

Resolvemos a equação do segundo grau

As raízes são e o polinômio é expressado por

m)

Resolvemos a equação do segundo grau

As raízes são e o polinômio é expressado por