O mínimo múltiplo comum (MMC) e o máximo divisor comum (MDC) são conceitos fundamentais da teoria dos números, utilizados para resolver uma grande variedade de problemas matemáticos, desde operações com frações até problemas de otimização em diferentes áreas. Esses dois conceitos permitem comparar e relacionar números de maneira eficiente, facilitando o trabalho com expressões algébricas e problemas numéricos.
- O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos eles. Em outras palavras, é o menor número que pode ser dividido exatamente por cada um dos números dados.
- O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide exatamente todos os números dados. É útil para simplificar frações, resolver equações e encontrar fatores comuns entre números.
Neste conjunto de exercícios resolvidos, veremos como calcular o MMC e o MDC de diferentes conjuntos de números utilizando diferentes métodos. Cada exercício será resolvido passo a passo para que você possa compreender claramente as técnicas e estratégias necessárias.
Dois corredores saem ao mesmo tempo da linha de largada de uma pista circular. O primeiro corredor leva 3 minutos para passar novamente pela linha de largada, e o segundo leva 4 minutos. Depois de quantos minutos após a largada eles voltarão a se encontrar na linha de largada?
Devemos calcular o 
En primer lugar descomponemos los números en factores primos
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente:
João trabalha como vigilante em uma empresa a cada 6 dias. Pedro também trabalha como vigilante na mesma empresa a cada 8 dias. Se ambos trabalham juntos no dia 1º de fevereiro, quando voltarão a coincidir na empresa?
Devemos calcular o 
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente:
João e Pedro voltarão a trabalhar juntos na empresa 24 dias depois, ou seja, no dia 25 de fevereiro.
Maria é professora de uma turma de crianças. Ela compra um pacote com 36 pirulitos e outro com 54 balas para distribuir entre seus alunos, de modo que todos recebam a mesma quantidade e que essa quantidade seja a maior possível, sem sobrar doces. Quantos alunos Maria tem?
Devemos calcular o 
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns com o menor expoente:
Maria tem 18 alunos.
Um farol acende a cada 
segundos, outro a cada 18 segundos e um terceiro a cada minuto. Às 
, os três acendem ao mesmo tempo. Determine quantas vezes eles voltarão a acender simultaneamente nos cinco minutos seguintes.
Devemos expressar todos os tempos na mesma unidade, por exemplo, em segundos.
O primeiro farol acende no segundo , no 
, no 
, no 
, no 
... Esses são os múltiplos de .
O segundo farol acende no segundo 
, no , no 
, no 
, no 
... Esses são os múltiplos de .
O terceiro farol acende no segundo , no 
, no 
, no 
, no 
... Esses são os múltiplos de .
O instante em que os três faróis acendem ao mesmo tempo corresponde ao menor número que pode ser dividido por 
e .
Portanto, devemos calcular o 
.
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente:
Os três faróis voltam a acender simultaneamente pela primeira vez após segundos.
Eles acendem simultaneamente a cada 
minutos. Portanto, nos 
minutos seguintes, isso ocorrerá apenas uma vez.
Os três faróis voltarão a acender simultaneamente apenas às 18:33.
Um viajante vai a São Paulo a cada dias e outro a cada dias. Hoje, os dois estão em São Paulo. Daqui a quantos dias eles voltarão a estar juntos em São Paulo?
O primeiro viajante viaja no dia , no dia , no dia , no dia , no dia ... Esses são os múltiplos de .
O segundo viajante viaja no dia , no dia , no dia , no dia 
, no dia ... Esses são os múltiplos de .
Os dois se encontram quando viajam no mesmo dia, ou seja, em um dia que seja múltiplo de e de . O primeiro dia em que isso ocorre corresponde ao menor número que pode ser dividido por e .
Portanto, devemos calcular o 
.
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente:
Os dois voltarão a estar juntos em São Paulo daqui a 72 dias.
Qual é o menor número que, ao ser dividido separadamente por 
e , deixa resto 
em cada caso?
O menor número divisível por e é o MMC desses números. A esse valor, somamos para que, ao dividir o resultado por qualquer um dos quatro números, o resto seja .
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente:
729
Em uma adega, há tonéis de vinho, com capacidades de 
L, 
L e 
L. O conteúdo desses tonéis deve ser armazenado em um determinado número de garrafões iguais. Calcule a capacidade máxima desses garrafões para que todo o vinho contido em cada um dos tonéis possa ser armazenado sem sobrar, e determine o número de garrafões necessários.
Para armazenar os L em garrafões menores, devemos escolher um número que seja divisor de .
Para armazenar os L em garrafões menores, devemos escolher um número que seja divisor de .
Para armazenar os L em garrafões menores, devemos escolher um número que seja divisor de .
Como a capacidade dos garrafões deve ser a maior possível, devemos calcular o 
.
Primeiro, decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns com o menor expoente:
Capacidade dos garrafões 
L.
Número de garrafões para 
Número de garrafões para 
Número de garrafões para 
Número total de garrafões 
garrafões.
O piso de um cômodo que será revestido com ladrilhos tem m de comprimento e m de largura. Calcule a medida do lado de cada ladrilho e o número de ladrilhos necessários, de modo que seja utilizada a menor quantidade possível e não seja necessário cortar nenhum deles.
Para que o número de ladrilhos seja mínimo, eles devem ter a maior área possível.
Portanto, devemos calcular o máximo divisor comum.
Como os ladrilhos geralmente são medidos em centímetros, convertemos todas as medidas para centímetros.
Decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns com o menor expoente:
de lado
Calculamos a área de um ladrilho:
Calculamos o número de ladrilhos dividindo a área total pela área de um ladrilho:
15 ladrilhos.
Um comerciante deseja colocar em caixas 
maçãs e 
laranjas, de modo que cada caixa contenha a mesma quantidade de maçãs ou de laranjas e, além disso, a maior quantidade possível. Determine o número de laranjas em cada caixa e o número de caixas necessárias.
Para colocar maçãs em caixas menores com a mesma quantidade de maçãs, devemos escolher um número que seja divisor de .
Da mesma forma, devemos encontrar um divisor de para as laranjas.
Como cada caixa deve conter a maior quantidade possível de frutas, devemos calcular o 
.
Decompomos os números em fatores primos:
Consideramos os fatores comuns com o menor expoente:
frutas
Caixas de laranjas 
Caixas de maçãs 
Caixas necessárias 
200
Qual é a medida do lado do maior ladrilho quadrado que cabe um número exato de vezes em uma sala de 
m de comprimento e 
m de largura? E quantos ladrilhos são necessários?
Portanto, devemos calcular o máximo divisor comum.
Como os ladrilhos geralmente são medidos em centímetros, convertemos todas as medidas para centímetros.
Área 
Decompomos os números em fatores primos:
de lado
Calculamos a área de um ladrilho:
Calculamos o número de ladrilhos, dividindo a área total pela área de um ladrilho:
20 ladrilhos.
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