Exercícios com polinômios: Regra de Ruffini e Teorema do Resto

Analise se as seguintes expressões algébricas são polinômios ou não. Em caso afirmativo, indique qual é seu grau e termo independente.

a)

Grau: , termo independente: .

b)

Não é um polinômio porque a parte literal do primeiro monômio está dentro de uma raiz.

c)

Grau: , termo independente: .

d)

Não é um polinômio porque o expoente do primeiro monômio não é um número natural.

e)

Grau: , termo independente:.

f)

Não é um polinômio porque o expoente do segundo monômio não é um número natural.

g)

Grau: , termo independente: .

Escreva:

a) Um polinômio ordenado sem termo independente.

b) Um polinômio não ordenado e completo.

c) Um polinômio completo sem termo independente.

Impossível

d) Um polinômio de grau , completo e com coeficientes ímpares.

Dados os polinômios e as expressões algébricas:

Calcule:

a)

b)

c)

=

=

=

d)

e)

=

=

=

f)

=

=

=

Dados os polinômios:

Calcule:

a)

b)

c)

Faça as seguintes multiplicações

a)

b)

c)

Faça as seguintes divisões:

a.

b.

c. Dados os polinômios:

Resolva:

:

Divida por Ruffini:

a)

b)

c)

Sem efetuar as divisões, encontre o resto das seguintes operações:

Para encontrar o resto usaremos o teorema do resto que nos diz que o resto da divisão de um polinômio , entre um polinômio da forma é o valor numérico de tal polinômio para o valor:

a.

b.

c.

Indique quais dessas divisões são exatas:

a) Aplicamos o teorema do resto. Se o resto é zero a divisão será exata.

Não é exata.

b)

Exata.

c)

Exata.

Exata.

a. tem por fator

b. tem por fator

c. tem por fator

d. tem por fator

Comprove que os seguintes polinômios têm os fatores indicados:

a. tem por fator

é divisível por se e apenas se .

não é um fator.

b. tem por fator

é divisível por se e apenas se

é um fator.

c.  tem por fator

.

é um fator.

d. tem por fator

é divisível por se e apenas se .

é um fator.

Comprove que os seguintes polinômios têm os fatores indicados:

a. tem por fator

é divisível por se e apenas se .

não é um fator.

b. tem por fator

é divisível por se e apenas se

é um fator.

c. tem por fator

.

é um fator.

d. tem por fator

é divisível por se e apenas se .

é um fator.

Encontre e para que o polinômio seja divisível por .

Decompomos em fatores a diferença de quadrados

é divisível por se e apenas se y

Aplicamos o teorema do resto sabendo que o resto é zero

Operamos

Aplicamos o teorema do resto sabendo que o resto é zero

Operamos

Obtemos duas equações com duas incógnitas. Resolveremos o sistema por redução:

Encontre e para que o polinômio seja divisível por .

Decompomos em fatores a diferença de quadrados

é divisível por se e apenas se y

Aplicamos o teorema do resto sabendo que o resto é zero

Operamos

Aplicamos o teorema do resto sabendo que o resto é zero

Operamos

Obtemos duas equações com duas incógnitas. Resolveremos o sistema por redução

Determine os coeficientes de e para que o polinômio

seja divisível por .

Efetuamos a divisão

Para que seja divisível a divisão têm que ser exata, isto é,

o resto tem que ser zero.

Para que o resto seja zero o coeficiente da e o coeficiente do termo independente têm que ser zero

Encontre o valor de para que ao dividir por dê como resto.

Aplicamos o teorema do resto e sabemos que o resto é

Operamos

Encontre um polinômio de quarto grau que seja divisível por e se anule para e .

Se se anula para e , então e são fatores do polinômio que procuramos é outro fator, já que o polinômio é divisível por

Multiplicamos os fatores:

Em primeiro lugar multiplicamos os dois primeiros

Calcule o valor de a para que o polinômio tenha raiz ,

e calcule outras raízes.

Calculamos o valor de sabendo que o valor numérico do polinômio para tem que ser zero

Fatoramos dividindo por Ruffini

Igualamos o segundo fator a zero e resolvemos a equação do segundo grau

Não tem mais raízes reais.