Sistemas de equações matriciais

1. Verificamos se a matriz possui inversa. Uma matriz é inversível quando seu determinante é diferente de zero, então calculamos o determinante da matriz .

Isso mostra que a matriz é inversível.

2 Calcular a matriz inversa de .

A fórmula para calcular a matriz inversa é a seguinte:

onde

A matriz adjunta, neste caso, é:

Enquanto a matriz transposta da adjunta é:

Portanto, ao fazermos o cálculo, a matriz inversa de é:

3 Usar álgebra matricial para reescrever a equação.

Como possui inversa, podemos multiplicar ambos os lados da equação , pelo lado esquerdo, da seguinte forma:

onde representa a matriz identidade (neste caso, de ordem ).

4 Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

1 Usar álgebra matricial para reescrever a equação. Primeiro, é preciso isolar na equação, então fazemos:

2 Calcular a matriz inversa de . Primeiro, verificamos se é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante:

Isso mostra que a matriz é inversível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Assim, fazendo os cálculos, obtemos:

3. Substituir os valores encontrados e resolver a equação:

Temos a equação:

Substituindo ps valores de , e temos:

1 Revisamos se a matriz tem inversa. Uma matriz é inversível se seu determinante é diferente de zero, portanto, prosseguimos calculando o determinante da matriz

Isso nos mostra que a matriz (A) é invertível.

2. Calcular a matriz inversa de (A).

A fórmula para calcular a matriz inversa é a seguinte:

onde

A matriz adjunta neste caso é:

Enquanto isso, a matriz transposta da adjunta é:

Assim, ao fazer o cálculo, a matriz inversa de é:

Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Como possui inversa, então podemos multiplicar ambos os lados da equação por , pelo 'lado esquerdo', da seguinte maneira, para obter:

Onde representa a matriz identidade (neste caso de ).

4 Substituir os valores encontrados e resolver a equação:

Verificamos se a matriz possui inversa. Uma matriz é invertível quando seu determinante é diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante da matriz :

Isso nos mostra que a matriz é invertível.

Calcular a matriz inversa de . A fórmula para calcular a matriz inversa é a seguinte:

onde

A matriz adjunta, neste caso, é:

Enquanto isso, a matriz transposta da adjunta é:

latex^{t}=\begin{pmatrix}
-1 & 6\
-2 & 6
\end{pmatrix}[/latex]

Assim, ao fazer o cálculo, a matriz inversa de é:

Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.
Como possui inversa, então podemos multiplicar ambos os lados da equação por , pelo lado esquerdo, da seguinte maneira, para obter:

Onde representa a matriz identidade, neste caso, de .

Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

Verificamos se a matriz possui inversa. Uma matriz é invertível quando seu determinante é diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante da matriz :

Isso nos mostra que a matriz não é invertível, portanto, não existe solução.

1 Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primero, precisa isolar da equação, portanto:

Onde representa a matriz identidade (de neste caso).

2 Calcular la matriz inversa de .

Primeiro revisaremos que seja inversível, portanto, precisamos calcular o determinante, que é:

Isso nos mostra que a matriz é invertível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Assim, fazendo os cálculos obtemos:

3 Substituir os valores encontrados e resolver la equação:

Temos a equação:

Substituem os valores de , e temos:

1. Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2 Calcular la matriz inversa de .

Do exercício temos que a matriz inversa de é:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação:

Temos a equação:

Substituem os valores de , e temos:

1. Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2. Calcular a matriz inversa de .

Do exercício temos que a matriz inversa de é:

3. Substituir os valores encontrados e resolver a equação:

Temos a equação:

Substituindo os valores de , e temos:

1. Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2 Calcular a matriz inversa de .

Primero temos que fazer a suma das matrizes e , que é:

A inversa de uma matriz é dada pela fórmula:

onde

Portanto, ao fazermos os cálculos, obtemos que a matriz inversa de é:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação:

Temos a equação:

Substituem os valores de e temos:

1 Usar álgebra matricial para reescrever a equação.

Primeiro, é preciso isolar na equação, então fazemos:

2 Encontrar a matriz dada por .

Substituindo os valores de , e e realizando as operações correspondentes, temos:

3 Encontrar a matriz inversa de .

Antes de encontrar a matriz inversa, temos que verificar se ela é inversível. Para isso, precisamos calcular seu determinante.

Isso mostra que é inversível. Agora, a inversa de uma matriz é dada pela fórmula:

onde

Portanto, neste caso, ao fazermos os cálculos, obtemos:

4 Substituir os valores encontrados e resolver a equação:

Temos a equação:

Substituem os valores de e temos:

1 Usar algebra de matrizes para reescrever a equação.

Primei, precisaar isolar da equação, assim:

2.Encontrar a matriz inversa de .

Primeiro, verificaremos se é invertível, portanto precisamos calcular o determinante, que é:

Isso nos mostra que a matriz é invertível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Assim, fazendo os cálculos, obtemos:

3 Substituir os valores obtidos e resolver a equação.

Se substituirmos os valores de , e na equação e desenvolvermos, obtemos:

1 Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2 Substituir os valores obtidos e resolver a equação.

Se substituirmos os valores de , e na equação e desenvolvermos, obtemos:

1 Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2 Substituir os valores obtidos e resolver a equação.

Se substituirmos os valores de , e na equação e desenvolvermos, obtemos:

1 Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2 Substituir os valores obtidos e resolver a equação.

Se substituirmos os valores de , e na equação e desenvolvermos, obtemos:

1 Usar álgebra de matrizes para reescrever a equação.

Primeiro, precisamos isolar na equação, então fazemos:

2 Lembremos que . Substituir os valores obtidos e resolver a equação.

Se substituirmos os valores de , e na equação e desenvolvermos, obtemos:

1 Reescrever o sistema de equações na forma matricial. Com os coeficientes das equações, podemos formar a seguinte matriz:
 

Agora, tomamos as 3 incógnitas e formamos o vetor coluna:

Por último, usamos os resultados das equações e os organizamos em um vetor coluna da seguinte maneira:

Portanto, se reescrevermos as equações na forma matricial, temos:

2 Encontrar a inversa de .
Primeiro, verificaremos se é invertível. Para isso, precisamos calcular o determinante, que é:

Isso nos mostra que a matriz é invertível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Assim, fazendo os cálculos, obtemos:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

Temos a equação:

Se substituirmos os valores de , e , e desenvolvermos a equação, temos:

Isso implica que:

1 Reescrever o sistema de equações na forma matricial. Com os coeficientes das equações, podemos formar a seguinte matriz:
 

2 Encontrar a inversa de . Primeiro, verificamos se é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante:

Isso mostra que a matriz é inversível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Portanto, fazendo os cálculos, obtemos:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

Temos a equação:

Isso implica que:

1 Reescrever o sistema de equações na forma matricial. Com os coeficientes das equações, podemos formar a seguinte matriz:

2 Encontrar a inversa de . Primeiro, verificamos se é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante:

Isso mostra que a matriz é inversível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Portanto, fazendo os cálculos, obtemos:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

Temos a equação:

Isso implica que:

1 Reescrever o sistema de equações na forma matricial. Com os coeficientes das equações, podemos formar a seguinte matriz:

2 Encontrar a inversa de . Primeiro, verificamos se é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante:

Isso mostra que a matriz é inversível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Portanto, fazendo os cálculos, obtemos:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

Temos a equação:

Isso implica que:

1 Reescrever o sistema de equações na forma matricial. Com os coeficientes das equações, podemos formar a seguinte matriz:

2 Encontrar a inversa de . Primeiro, verificamos se é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante:

Isso mostra que a matriz é inversível.

A matriz inversa de é dada por:

onde

Portanto, fazendo os cálculos, obtemos:

3 Substituir os valores encontrados e resolver a equação.

Temos a equação:

Isso implica que:

Multiplicamos a segunda equação por .

Somamos a segunda equação à primeira, obtendo:

Agora tomamos a primeira equação e isolamos , substituindo o valor encontrado de .

Para resolver esta equação sem fazer o cálculo dos determinantes, lembremos que o determinante é 0 quando a matriz não tem posto completo. Isso é equivalente a dizer que alguma das linhas é combinação linear das outras duas.

Chamemos de a primeira linha, de a segunda linha e de a terceira linha. Então, o determinante será 0 se ocorrer:

Note que, embora seja um sistema não linear, temos 3 variáveis e 3 equações. Então, é possível resolvê-lo. Começamos igualando as duas primeiras equações:

Aquí temos 2 casos, que ou que . Se , então podemos dividir a equação por para ter que .

Suponhamos agora que . Da primeira equação, segue que:

portanto, . Depois, na terceira equação, temos:

e onde se segue que .

Portanto, as soluções são e .

O determinante deste exercício é mais complicado que o do exercício anterior, pois temos entradas arbitrárias , e .

No entanto, se quisermos encontrar todas as soluções, devemos proceder como no exercício anterior. Primeiro, chamamos as linhas de , e . Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Observe que as variáveis desse sistema de equações são , e . As letras , e não são variáveis, portanto as soluções devem estar em função de , e .

Novamente, temos um sistema não linear. Aqui começamos isolando na primeira equação, o que nos dá:

Neste caso, assumimos que (no caso de , qualquer valor de resolve a equação).

Se substituirmos o valor de na segunda equação e isolarmos , obtemos:

Com isso, já concluímos que uma solução é .

Agora, se, em vez de substituir o valor de na segunda equação, fizermos isso na terceira, temos:

Portanto, as soluções são:  e .

Como já foi mencionado nos exercícios anteriores, o determinante é zero se uma linha ou coluna for uma combinação linear das outras linhas ou colunas, respectivamente. Então, temos que, para algumas constantes , vale:

Isso é equivalente ao sistema de equações:

Então, pela primeira equação, temos que . Assim, obtemos:

portanto . Se usamos , obtemos

isso implica que .

Como já foi mencionado nos exercícios anteriores, o determinante é zero se uma linha ou coluna é uma combinação linear das outras linhas ou colunas, respectivamente. Então, temos que, para algumas constantes , vale:

.

Isso é equivalente ao sistema de equações:

Então, da primeira equação, temos que , portanto obtemos:

Logo, quando . Se , obtemos .