Probabilidade condicional

a) As duas sejam copas

Podemos tratar este problema como se estivéssemos realizando duas extrações sem devolução.

Expressamos com    o evento em que obtemos uma copa na extração  -ésima, com    Com isso em mente e de acordo com a definição de probabilidade condicional.

Para calcular simplesmente dividimos o número de casos favoráveis entre o número de casos totais. Neste caso, há 12 cartas de copas entre as possibilidades, isso é, 12 é o número de casos favoráveis. E um total de 48 cartas, que representam o número de casos totais. Assim

Por outro lado,

porque o número de casos favoráveis é 11, uma vez que já extraímos uma copa e o total de cartas é agora 47.

Logo,

b) Ao menos uma seja copa

Expressamos com o evento em que obtemos uma copa na extração e com o evento em que não obtemos uma copa na extração A condição de extrair ao menos uma copa será satisfeita em qualquer um dos seguintes casos:

obtemos uma copa em ambas extrações,
obtemos uma copa na primeira extração e não obtemos copa na segunda, e
não obtemos uma copa na primeira extração e obtemos uma copa na segunda.
Então a probabilidade solicitada será a probabilidade da união dos três eventos anteriores, que é equivalente à soma de suas probabilidades, pois são eventos distantes entre si. Em termos matemáticos:


Pelo inciso anterior sabemos que
Para calcular as probabilidades restantes faremos uso da probabilidade condicional. Obtemos:

O número de casos favoráveis no evento    é 12 e no evento    é 36, pois é o número de cartas que não são copas. Em ambos os casos, por ser a primeira extração, o número de casos totais continua sendo 48. Portanto:

Assim, o número de casos favoráveis no evento são 36, já que esse é o número de cartas que não são copas, enquanto que para são 12, pois ainda não foi extraída nenhuma copa. Em ambos os casos o número de casos totais é 47, levando em conta que já foi tirada uma carta. Portanto:

Então:

Assim,

c) Uma seja copa e a outra espada

Chamamos   o evento em que obtemos uma copa na extração    e como    o evento em que não obtemos uma espada na extração    A condição de extrair uma copa e uma espada é satisfeita em qualquer um dos seguintes casos:

obtemos uma copa na primeira extração e uma espada na segunda, e
obtemos uma espada na primeira extração e uma copa na segunda.
Então a probabilidade que procuramos será a probabilidade da união dos três eventos anteriores, que é equivalente à soma de suas probabilidades, pois são eventos distantes entre si. Em termos matemáticos:

Por sua vez,


Como há 12 cartas de cada naipe no baralho e o baralho tem um total de 48 cartas, usando a fórmula de número de casos favoráveis entre os casos totais, compreendemos que,

Por outro lado, no caso do evento temos 12 casos favoráveis e um total de 47 cartas (pois já foi feita uma extração) ou casos totais. Devemos notar que são as mesmas contas para portanto:

Com isso, obtemos:


Por fim,

Chamamos   o evento “o aluno pode escolher um dos temas estudados”. Assim, temos

onde    indica o evento complementar de    isto é, “o aluno pode escolher um dos temas estudados”.

Para calcular    devemos lembrar que há 10 temas dos quais o aluno não estudou, por essa razão, a probabilidade de escolher como primeiro tema algum deles é igual a    Simplesmente aplicamos a regra

Da mesma maneira, a probabilidade de escolher como segundo tema algum dos quais o aluno não estudou é    pois neste caso já escolhemos anteriormente um tema não estudado, o que nos deixa com    casos possíveis e    casos totais.
Assim, o resultado de   é multiplicar as duas probabilidades que encontramos pois presumimos que é equivalente à extrair sem repor dois temas não estudados, portanto:

Então,

a) Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja menino ou que estudou francês?

Vamos chamar    o evento “a pessoa escolhida ao azar é menino e não escolheu francês” e    o evento “a pessoa escolhida ao azar estuda francês”. Então, se    indica o evento “a pessoa escolhida ao acaso é menino ou estuda francês”, é a probabilidade que queremos calcular

A última igualdade é certa já que os eventos    e    são distantes.

Para calcular    aplicamos a regra

No evento      o número de casos favoráveis é      pois este é o número de pessoas que compreendem os grupos serem meninos e os que não estudam francês, enquanto que para      o número de pessoas que estuda francês é igual a      que é o número de casos favoráveis.

Em ambos os eventos o número de casos totais é      que é o número total de alunos.
Com isso podemos concluir que

b) Qual a probabilidade de que seja menina e não estude francês?
No contexto do inciso anterior, basta observar que o evento “escolher ao acaso uma menina que não estude francês” é equivalente a    ou seja, é o evento complementar de  

Para qualquer evento e seu complemento, as seguintes igualdades são válidas já que estes são sempre distantes.


Então, substituindo o valor que encontramos no inciso anterior para  

a) Jogue apenas futebol

Sabemos que    dos alunos jogam futebol ou basquete e que dessa porcentagem há    que praticam ambos os esportes. Isto quer dizer que dos alunos praticam apenas um dos esportes, o que significa que a probabilidade de escolhermos um aluno que pratique apenas um dos esportes é igual a 0.5.
Por outro lado,    destes, ou a probabilidade de , não jogam futebol. Isso quer dizer que dos que praticam apenas um esporte,    jogam apenas basquete. Agora,   dos encontramos fazendo o produto
Portanto, se é o evento "jogar apenas futebol” e “jogar apenas basquete” e “praticar apenas um dos esportes”, então:

b) Jogue apenas basquete

Sabemos que    dos alunos jogam futebol ou basquete e que dessa porcentagem há    que praticam ambos os esportes. Isto quer dizer que dos alunos praticam apenas um dos esportes, o que significa que a probabilidade de escolhermos um aluno que pratique apenas um dos esportes é igual a 0.5.
Por outro lado,    destes, ou a probabilidade de , não jogam futebol. Isso quer dizer que dos que praticam apenas um esporte,    jogam apenas basquete. Agora,    dos encontramos fazendo o produto
Portanto, se é o evento “jogar apenas basquete”, então:

c) Pratique apenas um dos esportes

Sabemos que    dos alunos jogam futebol ou basquete e que dessa porcentagem há    que praticam ambos os esportes. Isto quer dizer que dos alunos praticam apenas um dos esportes, o que significa que a probabilidade de escolhermos um aluno que pratique apenas um dos esportes é igual a 0.5.

d) Não jogue nem futebol e nem basquete

Vamos chamar    o evento “jogam futebol” e    o evento “jogam basquete”. Então “jogar futebol" ou "jogar basquete” é equivalente ao evento    Então, a probabilidade de escolhermos alguém que não jogue futebol é igual a probabilidade do evento complementar de do qual sim conhecemos a probabilidade, pois hipoteticamente  
Assim,

a) Faça uma tabela organizando os dados anteriores

b) Calcule a porcentagem dos que são atendidos pela tarde

Para calcular a porcentagem dos carros que são atendidos pela tarde, temos que simplesmente encontrar o quociente

Nesta situação, o número de casos favoráveis é o número de carros que vão à oficina pela tarde, ou seja, 6; enquanto que o número de casos totais é o total de carros que comparecem, ou seja, 20.
Portanto,

Por fim, para expressar esta cifra em porcentagem, temos apenas que multiplicá-la por cem. Então a porcentagem de carros que vão pela tarde é de

c) Calcule a porcentagem dos que comparecem por problemas mecânicos

Para calcular a porcentagem dos carros que vão pela tarde, temos que simplesmente encontrar o quociente

Nesta situação, o número de casos favoráveis é o número total de carros que vão à oficina por causa de problemas mecânicos, ou seja, 11; enquanto que o número de casos totais é o total de carros que comparecem à oficina, ou seja, 20.
Portanto,

Por fim, para expressar esta cifra em porcentagem, temos apenas que multiplicá-la por cem. Então a porcentagem de carros que vão pela tarde é de

d) Calcule a probabilidade de que um automóvel com problemas elétricos vá pela manhã.

Para calcular a porcentagem de carros com problemas elétricos que vão à oficina temos que simplesmente encontrar o quociente.

Nesta situação, o número de casos favoráveis é o número total de carros que comparecem à oficina por causa de problemas elétricos durante a parte da manhã, isto é, 3; enquanto que o número de casos totais é o total de carros que comparecem por problemas elétricos, ou seja, 5.
Portanto,

a) Se tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de que tenha também olhos castanhos?

Indicamos com    os eventos “ter olhos castanhos” e “ter cabelo castanho”, respectivamente. Assim, a probabilidade que estamos procurando será expressada como

Com definição de probabilidade condicional

Observe que    é equivalente a “ter olhos castanhos e cabelo castanho” do qual conhecemos sua probabilidade, pois    cumpre esta condição, isto é Seguindo este raciocínio, sabemos que    portanto,

b) Se tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de que não tenha cabelos castanhos?

De acordo com o enunciado,    têm olhos castanhos    têm cabelos e olhos castanhos, e os    restantes têm olhos castanhos, mas não têm os cabelos castanhos.

Assim    são os eventos “não ter cabelos castanhos” e “ter olhos castanhos” respectivamente, então sabemos com o parágrafo anterior que o evento    (equivalente a “ter olhos castanhos e não ter cabelos castanhos) têm probabilidade de    Como além disso sabemos que    têm olhos castanhos, então  

Portanto, com a definição de probabilidade condicional,

c) Qual é a probabilidade de que não tenha cabelos castanhos e nem olhos castanhos?

De acordo com o enunciado,    têm olhos castanhos,    têm cabelos e olhos castanhos, e os    restantes têm olhos castanhos, mas não têm os cabelos castanhos.

Por outro lado, sabemos que    da população têm cabelos castanhos, do qual podemos inferir que    restante não têm cabelos castanhos. Além disso, sabemos que    não têm cabelos castanhos, mas têm olhos castanhos, então subtraindo-o pela porcentagem total da população sem cabelos castanhos, veremos que    da população não têm nem cabelos castanhos e nem olhos castanhos. Portanto, a probabilidade de escolher uma pessoa sem cabelos castanhos e sem olhos castanhos é de   

a) Qual é a probabilidade de que seja mulher e não use óculos?

Há 100 alunos, dos quais 40 são homens, o que significa que 60 são mulheres. Além disso, 30 alunos usam óculos e 15 deles são homens, o que indica que os outros 15 alunos com óculos são mulheres. Portanto, temos 25 homens sem óculos e 45 mulheres sem óculos.
Assim, a probabilidade de que seja mulher e não use óculos podemos encontrar mediante a regra:

Neste caso o número de casos favoráveis é o número de mulheres que não usam óculos, ou seja, 45, enquanto que o número de casos totais é o total de alunos. Então,

b) Se sabemos que o aluno selecionado não usa óculos, qual a probabilidade de que seja homem?

Seja    os eventos “ser homem” e “não usar óculos” respectivamente. Assim, a probabilidade que procuramos está dada por  
Sabemos então que    pois 70 dos cem alunos não usam óculos, isto é:

Por outro lado    é equivalente ao evento “ser homem e não usar óculos”, e de acordo com o exercício anterior, há 25 alunos que encontram-se dentro desta categoria, assim:

Seguindo com a definição de probabilidade condicional, sabemos que:

a) Qual será a probabilidade de que o premiado seja um homem solteiro?

Começamos notando que dentro da população temos 65 mulheres e 55 homens, pois a soma de indivíduos deve ser 120. Continuando com o mesmo raciocínio, sabemos que há 80 pessoas casadas e que 45 delas são mulheres, o que nos deixa com 35 homens casados e 20 solteiros.
Portanto, a probabilidade de que um homem solteiro seja premiado é de:

onde simplesmente aplicamos a regra:

e identificando os casos favoráveis como os dos homens solteiros e os casos totais como o número total de indivíduos dos quais vão participar do sorteio.

b) Se sabemos que o (a) premiado (a) é casado (a), qual a probabilidade de que seja uma mulher?
No exercício anterior, calculamos o número de mulheres casadas que corresponde a 45. Sabendo que há 80 pessoas casadas, a probabilidade de que a viagem seja para uma mulher, levando em conta que o (a) premiado (a) é casado (a), é

Neste caso o número de casos totais é o número de indivíduos casados, já que sabemos que o ganhador da viagem é uma pessoa casada. Enquanto que o número de casos favoráveis são as mulheres casadas.

a) Selecionar três meninos

Podemos tratar este problema como se estivéssemos realizando duas extrações sem reposição.

Indicamos com   o evento de escolher um menino na extração  -ésima, com    Com isso em mente e de acordo com a definição de probabilidade condicional:

Para calcular simplesmente dividimos o número de casos favoráveis entre o número de casos totais. Neste caso há 10 meninos possíveis de serem escolhidos, isto é, 10 é o número de casos favoráveis, e um total de 16 meninos, que representam o número de casos totais. Então,

Por outro lado,

pois o número de casos favoráveis é 9, por já ter escolhido um menino. O total de meninos que restam para escolher é 15 agora.

Assim,

Aplicando esta premissa de maneira iterativa para a escolha do terceiro menino, teríamos que:

b) Selecionar exatamente dois meninos e uma menina

Para calcular esta probabilidade, primeiro necessitamos identificar os diferentes casos dos quais poderíamos selecionar dois meninos e uma menina. O primeiro caso é escolher 2 meninos e ao final uma menina. O segundo caso é escolher uma menina e ao final dois meninos. E, por último, um menino, uma menina e um menino. A probabilidade de cada caso podemos calcular fazendo a multiplicação da probabilidade em cada passo da figura apresentada no início.
Por exemplo, se no primeiro caso indicamos como evento então,

Logo, indicando como    os eventos restantes, sabemos que:


Por fim, a probabilidade que estamos procurando é a probabilidade de que qualquer destes eventos aconteça, ou seja    Como estes são eventos distantes, sabemos que:

Portanto,

c) Selecionar pelo menos um menino

Para calcular a probabilidade de selecionar ao menos um menino, faremos,

Podemos calcular a probabilidade de escolher três meninas de maneira completamente análoga ao inciso um deste exercício. Então,

Logo,

d) Selecionar exatamente duas meninas e um menino

Para calcular esta probabilidade, primeiro precisamos identificar os diferentes casos dos quais poderíamos selecionar duas meninas e um menino. O primeiro caso é escolher 2 meninas e ao final um menino. O segundo caso é escolher um menino e ao final duas meninas. E, por último, uma menina, um menino e uma menina. A probabilidade de cada caso podemos calcular fazendo a multiplicação da probabilidade em cada passo da figura apresentada no início.
Por exemplo, se o primeiro caso indicamos como evento então,

Logo, indicando como    os eventos restantes, sabemos que,


Por fim, a probabilidade que estamos procurando é a probabilidade de que qualquer destes eventos aconteça, ou seja    Como estes são eventos distantes, sabemos que:

Portanto,

a) A probabilidade de que a segunda bola seja verde

Seja   o evento “a segunda bola é verde”, há duas possibilidades para tal evento, que a primeira bola seja roxa ou que seja verde. Representaremos isso como    e é importante observar que estes casos são mutuamente excludentes, isto é, não podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto,

Seguindo a definição de probabilidade de uma interseção, sabemos que:


De acordo com o diagrama apresentado no início da solução,


Com isso, obtemos:

b) A probabilidade de que duas bolas extraídas sejam da mesma cor

Seja    o evento “a bola i-ésima é verde” e    o evento “a bola i-ésima é roxa”, procuramos  
Seguindo a definição de probabilidade de uma interseção, sabemos que,


De acordo com o diagrama apresentado no início da solução,


Com isso, obtemos:

a) Com uma pessoa sem óculos

Do total da população, sabemos que    corresponde à proporção de mulheres e    corresponde à proporção de homens. Desta maneira, cumpre-se a condição “o número de mulheres é quatro vezes superior à de homens”.
Logo, 25 de cada 100 homens usam óculos é equivalente à probabilidade de    de encontrarmos um homem com óculos, onde sabemos que    é a probabilidade de homens que não usam óculos. Com este mesmo raciocínio,    é a probabilidade de encontrarmos uma mulher com óculos, enquanto que    é a probabilidade de mulheres sem óculos. Em ambos os casos, apenas calculamos o quociente dos casos favoráveis entre os casos totais.
Seja os eventos “não ter óculos”, “ser homem” e “ser mulher” respectivamente, estamos procurando Como ser homem e ser mulher são eventos excludentes, sabemos que

De acordo com as regras de probabilidade condicional,

Como sabemos  
E substituindo estes valores na expressão anterior, obtemos

b) Com uma mulher com óculos

Do total da população, sabemos que    corresponde à proporção de mulheres e    corresponde à proporção de homens. Desta maneira cumpre-se a condição “o número de mulheres é quatro vezes superior ao de homens”.
Observe que    é a probabilidade de encontrarmos uma mulher com óculos, enquanto que    é a probabilidade de mulheres sem óculos. Em ambos os casos, apenas calculamos o quociente de casos favoráveis entre os casos totais.
Seja os eventos “ter óculos” e “ser mulher” respectivamente, estamos procurando
De acordo com as regras de probabilidade condicional,

Como sabemos     E substituindo estes valores na expressão anterior, obtemos

Vamos chamar de    os eventos “estudar inglês”, “estudar francês”, “ser mulher”, respectivamente. Assim, procuramos a probabilidade de escolher uma mulher ao acaso, mas como todas as pessoas do centro escolar estudam inglês ou francês, a probabilidade solicitada pode ser calculada através das probabilidades seguintes

Para ambas probabilidades podemos fazer,

Desta maneira podemos utilizar a informação proporcionada, pois:




Substituindo todos estes valores, obtemos o seguinte cálculo,

Seja    o evento “escolher a i-ésima moeda”, onde    é a moeda regular,    a moeda com duas caras e    a moeda viciada. Neste contexto, se chamamos    o evento “lançar a moeda e obter cara”, podemos calcular    fazendo uma interseção com os eventos    já que estes são mutuamente excludentes. Isto é,

Com a definição de probabilidade condicional as seguintes igualdades são válidas.



Como a escolha da moeda é feita ao acaso, sabemos que    com    Logo,

pois a primeira moeda é regular, o que quer dizer que têm uma cara e uma coroa, sendo assim, qualquer lado pode sair com a mesma probabilidade.

pois esta moeda tem duas caras, então não importa como caia, seu valor será cara.

pois a última moeda está viciada de modo que a probabilidade de sair cara seja essa.
Assim,