Conceito de matriz
Chama-se matriz todo conjunto de números ou expressões organizados na forma retangular, dispostos em linhas e colunas. Este seria um exemplo de uma matriz "
"
Cada um dos números que compõem a matriz é chamado de elemento. Assim, os elementos da matriz do exemplo anterior seriam os números que ela contém 
.
O número de linhas e colunas de uma matriz é chamado de ordem ou dimensão da matriz.
Uma matriz de 
linhas e 
(sempre o número à esquerda no índice indica as linhas, enquanto o da direita indica as colunas) ou por 
escrita entre parênteses. Um elemento qualquer da matriz, que está localizado na linha 
e na coluna 
, é indicado por 
(sem parênteses).
Um elemento se diferencia do outro pela posição que ocupa, isto é, pela linha e pela coluna às quais pertence.
Exemplo:
Do exemplo anterior, para a matriz
Teríamos que seus elementos, ao distingui-los pela posição, seriam:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
e 
.
Além disso, sua dimensão é de 
linhas e 
colunas, portanto, podemos representar como 
ou 
.
Duas matrizes são iguais quando têm a mesma dimensão e os elementos que ocupam a mesma posição em ambas são iguais. Em linguagem matemática, se temos as matrizes 
e 
Portanto, e são iguais se 
, 
e 
para 
e 
.
Exemplo:
Considerando as matrizes:
Temos que e pois têm a mesma dimensão e os elementos que ocupam as mesmas posições também são iguais. No entanto e 
não são iguais, já que 
, mas 
, portanto 
.
Operações com matrizes
Soma de matrizes
Considerando duas matrizes de mesma dimensão, 
e 
, define-se a matriz soma como: 
.Ou seja, é a matriz cujos elementos são obtidos somando os elementos das duas matrizes que ocupam a mesma posição (soma elemento a elemento).
Exemplo:
Dadas as matrizes:
sua soma seria:
Propriedades
- Associativa: Dadas as matrizes
, 
e vale a propriedade:
. - Elemento neutro: Existe uma matriz, indicada por
, tal que, para toda matriz , ao efetuarmos a soma, obtemos:
. Os elementos da matriz são todos iguais a zero. - Inverso aditivo: Para toda matriz , existe uma matriz
, chamada inverso aditivo de , que satisfaz:
. Os elementos da matriz 
são os elementos de A multiplicados por 
. - Comutativa: Dadas as matrizes
e vale a propriedade:
.
Produto de um número real por uma matriz
Dada uma matriz e um número real 
,define-se o produto de um número real por uma matriz como a matriz de mesma ordem que , cujos elementos são obtidos multiplicando cada elemento de 
. Em outras palavras 
.
Exemplo:
Considerando a matriz:
e o escalar real 
, a multiplicação seria dada por:
Propriedades
- Associatividade escalar: Dada a matriz e os escalares
e 
, vale:
. - Distributividade em relação aos escalares: Dada a matriz e os escalares e , vale a propriedade:
. - Distributividade em relação às matrizes: Dadas as matrizes e e o escalar
, vale
. - Escalar neutro: Dada a matriz e o escalar
, vale
.
Produto de matrizes
Duas matrizes e são ditas multiplicáveis quando o número de colunas de é igual ao número de linhas de .
O produto de duas matrizes multiplicáveis 
e 
é uma nova matriz, 
que possui o mesmo número de linhas de e o mesmo número de colunas de .
O elemento 
da matriz produto é obtido multiplicando cada elemento da linha 
da matriz 
por cada elemento da coluna 
da matriz e somando os resultados. 
.
Exemplo:
Dadas as matrizes:
su multiplicación estaría dada por
Propriedades
- Associativa: Dadas as matrizes ,
e , vale
. - Elemento neutro: Dada a matriz
existe uma matriz 
tal que satisfaz
. Em que a matriz 
possui apenas 
na diagonal e em todas as demais posições.
- Não é comutativa: Dadas as matrizes e , na maioria dos casos vale que:
. - Distributividade do produto em relação à soma: Dadas as matrizes , e vale
.
.
Matriz inversa
Seja 
uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas).
Se existir uma matriz, indicada por 
, tal que
,
em que 
é o elemento neutro da multiplicação (matriz identidade), dizemos que é invertível ou regular. Além disso, 
é chamada de matriz inversa de 
.
Exemplo:
Dada a matriz:
.
Sua matriz inversa é dada por
Para comprovar isso, vejamos que
Propriedades
Tipos de matrizes
1. Matriz linha
É uma matriz formada por apenas uma linha
Exemplo:
2. Matriz coluna
Exemplo:
3. Matriz retangular
É aquela matriz que possui número diferente de linhas e colunas, sendo sua dimensão 
.
Exemplo:
4. Matriz quadrada
É aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas.
Os elementos da forma 
constituem a diagonal principal.
A diagonal secundária é formada pelos elementos cujos índices satisfazem a relação 
.
Exemplo:
5 Matriz nula
É a matriz em que todos os seus elementos são nulos (iguais a zero).
onde 
para todo e 
.
Exemplo:
6. Matriz triangular superior
É a matriz em que todos os elementos situados abaixo da diagonal principal são iguais a 
.
Exemplo:
Observe que, como a definição depende da diagonal principal, a matriz deve ser quadrada.
7. Matriz triangular inferior
É a matriz em que todos os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a .
Exemplo:
Observe que, como a definição depende da diagonal principal, a matriz deve ser quadrada.
8. Matriz diagonal
É aquela em que todos os elementos situados acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplo:
Como se trata de matrizes triangulares, elas são matrizes quadradas.
9. Matriz escalar
É uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais.
Exemplo:
Como se trata de uma matriz diagonal, ela é uma matriz quadrada.
10. Matriz identidade ou unidade
É uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Exemplo:
Como se trata de uma matriz escalar, ela é uma matriz quadrada.
11. Matriz transposta
Dada uma matriz A, chama-se transposta de A a matriz que se obtém trocando, de forma ordenada, as linhas pelas colunas (a primeira linha passa a ser a primeira coluna, a segunda linha passa a ser a segunda coluna, e assim sucessivamente). Se temos a matriz
sua matriz transposta, indicada por 
, é dada por:
Exemplo:
Dada a matriz:
sua matriz transposta é:
Propriedades:
12. Matriz regular
É aquela matriz quadrada que possui matriz inversa.
13. Matriz singular
É aquela que não possui matriz inversa. Por exemplo, nenhuma matriz retangular (não quadrada) possui inversa, pois é necessário ser quadrada para ter inversa.
14. Matriz idempotente
Uma matriz idempotente é aquela que satisfaz a condição:
Exemplo:
Considere a matriz:
,
Observe que
15. Matriz involutiva
Uma matriz involutiva é aquela que satisfaz a condição:
Exemplo:
Considere a matriz:
,
Observe que
16. Matriz simétrica
Uma matriz simétrica é aquela que satisfaz a condição
Exemplo:
Considere a matriz
,
Observe que
.
17. Matriz antissimétrica
Uma matriz antissimétrica é aquela que satisfaz a condição:
Exemplo:
Considere a matriz:
,
Observe que:
.
18. Matriz ortogonal
Uma matriz ortogonal é aquela que satisfaz a condição
Exemplo:
Considere a matriz:
,
Observe que sua transposta é:
,
Multiplicando por sua transposta 
obtemos:
.
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