Pontuação:

Calcule as probabilidades pedidas dada a seguinte informação:

Seja $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ dois eventos aleatórios com

$\text{[math]}$

Encontre:

1 $\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

5 $\text{[math]}$

6 $\text{[math]}$

7 $\text{[math]}$

Solução

Seja $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ dois eventos aleatórios com

$\text{[math]}$

Encontre:

1 $\text{[math]}$

Os eventos são compatíveis porque a interseção é diferente do vazio, $\text{[math]}$ , dado que sua probabilidade é nula. Portanto

$\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

As probabilidades de $\text{[math]}$ é igual a $\text{[math]}$ (probabilidade total) menos a probabilidade do evento $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

A probabilidade de $\text{[math]}$ é igual a $\text{[math]}$ (probabilidade total) menos a probabilidade do evento $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

Aplicando as leis de Morgan, obtemos

$\text{[math]}$

Além disso, a probabilidade de $\text{[math]}$ é igual a $\text{[math]}$ (probabilidade total) menos a probabilidade do evento $\text{[math]}$ , portanto

$\text{[math]}$

5 $\text{[math]}$

Podemos notar que $\text{[math]}$ . Aplicando a probabilidade da diferença de eventos, temos

$\text{[math]}$

6 $\text{[math]}$

Aplicando as leis de Morgan, obtemos

$\text{[math]}$

Além disso, a probabilidade de $\text{[math]}$ é igual a $\text{[math]}$ (probabilidade total) menos a probabilidade do evento $\text{[math]}$ , portanto

$\text{[math]}$

7 $\text{[math]}$

Podemos notar que $\text{[math]}$ . Aplicando a probabilidade da diferença de eventos, temos

$\text{[math]}$

Calcule o que se pede dados os seguintes eventos e suas probabilidades.

$\text{[math]}$

Encontre:

1 $\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

Solução

Calcule o que se pede dados os seguintes eventos e suas probabilidades.

$\text{[math]}$

Encontre:

1 $\text{[math]}$

A probabilidade de $\text{[math]}$ é igual a $\text{[math]}$ (probabilidade total) menos a probabilidade do evento $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

Vale recordar que $\text{[math]}$ , portanto, se isolamos $\text{[math]}$ obtemos

$\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

Podemos notar que $\text{[math]}$ . Aplicando a probabilidade da diferença de eventos, temos

$\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

Podemos notar que $\text{[math]}$ . Aplicando a probabilidade da diferença de eventos, temos

$\text{[math]}$

Descreva o espaço amostral dado o seguinte experimento.

Duas bolas são retiradas de uma urna que contém em seu interior uma bola branca, uma bola vermelha, uma bola verde e uma bola preta. Descreva o espaço amostral nas seguintes situações:

1 A primeira bola vai de volta para a urna antes de se retirar a segunda bola.

2 A primeira bola não volta para a urna.

Solução

Duas bolas são retiradas de uma urna que contém em seu interior uma bola branca, uma bola vermelha, uma bola verde e uma bola preta. Descreva o espaço amostral nas seguintes situações:

1 A primeira bola vai de volta para a urna antes de se retirar a segunda bola.

$\text{[math]}$

2 A primeira bola não volta para a urna.

$\text{[math]}$

Calcule as probabilidades indicadas segundo o seguinte experimento:

Uma urna tem oito bolas vermelhas, cinco bolas amarelas e sete bolas verdes. Se retirarmos uma bola ao acaso calcule a probabilidade de que ela:

1 Seja vermelha.

2 Seja verde.

3 Seja amarela.

4 Não seja vermelha.

5 Não seja amarela.

Solução

Uma urna tem oito bolas vermelhas, cinco bolas amarelas e sete bolas verdes. Se retirarmos uma bola ao acaso calcule a probabilidade de que ela:

1 Seja vermelha.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
Portanto, a probabilidade é

$\text{[math]}$

2 Seja verde.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
Portanto, a probabilidade é

$\text{[math]}$

3 Seja amarela.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
Portanto, a probabilidade é

$\text{[math]}$

4 De que não seja vermelha.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
Portanto, a probabilidade é

$\text{[math]}$

5 Que não seja amarela.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
Portanto, a probabilidade é

$\text{[math]}$

Calcule as probabilidades indicadas segundo o seguinte experimento:

Uma urna contém três bolas vermelhas e sete bolas brancas. São retiradas duas bolas ao acaso. Escreva o espaço amostral e encontre a probabilidade dos eventos:

1 Com reposição (tiramos a primeira bola e a colocamos de volta antes de retirar a segunda bola).

2 Sem reposição (tiramos a primeira bola e não a colocamos de volta. Em seguida tiramos uma segunda bola das que restaram).

Solução

Uma urna contém três bolas vermelhas e sete bolas brancas. São retiradas duas bolas ao acaso. Escreva o espaço amostral e encontre a probabilidade dos eventos:

1 Com reposição (tiramos a primeira bola e a colocamos de volta antes de retirar a segunda bola).

O espaço amostral está dado por

$\text{[math]}$

A extração de duas bolas com reposição são eventos independentes, já que a extração da primeira bola não tem nenhum efeito sobre a segunda, portanto

$\text{[math]}$

2 Sem reposição (tiramos a primeira bola e não a colocamos de volta. Em seguida tiramos uma segunda bola das que restaram).

O espaço amostral está dado por

$\text{[math]}$

A extração de duas bolas com reposição são eventos dependentes, já que a extração da primeira bola afeta a extração da segunda, portanto

$\text{[math]}$

Calcule as probabilidades indicadas segundo o seguinte experimento:

Retiramos uma bola de uma urna que contém em seu interior quatro bolas vermelhas, cinco bolas brancas e seis pretas.

1 Qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha ou branca?

2 Qual é a probabilidade de que não seja branca?

Solução

Retiramos uma bola de uma urna que contém em seu interior quatro bolas vermelhas, cinco bolas brancas e seis pretas.

1 Qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha ou branca?

A extração de duas bolas de cores diferentes são eventos incompatíveis, ou seja, sua interseção é um conjunto vazio. Portanto

$\text{[math]}$

2 Qual é a probabilidade de que não seja branca?

Devemos lembrar que a probabilidade dos eventos $\text{[math]}$ é igual a $\text{[math]}$ menos a probabilidade do evento $\text{[math]}$ , assim

$\text{[math]}$

Resolva os seguintes problemas:

Uma sala de aula possui $\text{[math]}$ alunos, dos quais $\text{[math]}$ são loiras, $\text{[math]}$ morenas, $\text{[math]}$ loiros e $\text{[math]}$ morenos. Encontre a probabilidade de que um aluno:

1 Seja um homem.

2 Seja uma mulher morena.

3 Seja homem ou mulher.

Solução

1 Seja um homem.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$

2 Seja uma mulher morena.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$

3 Seja homem ou mulher.

Casos favoráveis: $\text{[math]}$ .
Casos possíveis: $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$

Um dado está manipulado de forma que as probabilidades de tirar os diferentes lados são proporcionais aos seus próprios números.

Encontre:

1 A probabilidade de tirar o 6 em um lançamento.

2 A probabilidade de tirar um número ímpar em um lançamento.

Solução

Um dado está manipulado de forma que as probabilidades de tirar os diferentes lados são proporcionais aos seus próprios números.

Encontre:

1 A probabilidade de tirar o 6 em um lançamento.

Vamos chamar de $\text{[math]}$ a probabilidade. Sabendo que é proporcional aos números dos dados, obteremos: $\text{[math]}$ . Além disso, a sua soma cumpre

$\text{[math]}$

Isolando $\text{[math]}$ obtemos

$\text{[math]}$

Portanto, $\text{[math]}$ é

$\text{[math]}$

2 A probabilidade de tirar um número ímpar em um lançamento.

Os números ímpares seriam, $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ , portanto, a probabilidade está dada por

$\text{[math]}$

Dois dados são lançados no ar e a soma de seus pontos anotados. Pede-se:

1 A probabilidade de que saia o $\text{[math]}$ .

2 A probabilidade de que o número seja par.

3 A probabilidade de que o número seja múltiplo de três.

Solução

Dois dados são lançados no ar e a soma de seus pontos anotados. Pede-se:

1 A probabilidade de que saia o $\text{[math]}$ .

Casos favoráveis: Os casos favoráveis são os $\text{[math]}$ seguintes $\text{[math]}$

Casos possíveis: Para encontrar os casos possíveis devemos calcular as variações com a repetição de $\text{[math]}$ elementos de $\text{[math]}$ em $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Assim, a probabilidade de que os dados somem $\text{[math]}$ é

$\text{[math]}$ .

2 A probabilidade de que o número seja par.

Casos possíveis: Com o cálculo anterior sabemos que os casos possíveis são $\text{[math]}$ .
Casos favoráveis: A quantidade de casos favoráveis dos quais a soma é par é a metade dos casos possíveis. Além de que a soma dos números pares é par e a soma dos números ímpares é par. Portanto os casos favoráveis são $\text{[math]}$ .
Dada a premissa acima, a probabilidade de que a soma seja par é

$\text{[math]}$ .

3 A probabilidade de que o número seja múltiplo de três.

Casos favoráveis: Os casos favoráveis são os $\text{[math]}$ seguintes $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Casos possíveis: Com os cálculos anteriores sabemos que os casos possíveis são $\text{[math]}$ .
Assim, a probabilidade de que os dados somem um múltiplo de $\text{[math]}$ é

$\text{[math]}$ .

São lançados três dados. Encontre a probabilidade de que:

1 Saia $\text{[math]}$ em todos.

2 Os pontos somem $\text{[math]}$ .

Solução

São lançados três dados. Encontre a probabilidade de que:

1 Saia $\text{[math]}$ em todos.

Casos favoráveis: Temos apenas um caso favorável.
Casos possíveis: Para encontrar os casos possíveis devemos calcular as variações com repetição de $\text{[math]}$ elementos de $\text{[math]}$ em $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Assim, a probabilidade de que todos os dados sejam $\text{[math]}$ é

$\text{[math]}$ .

2 Os pontos somem $\text{[math]}$ .

Casos favoráveis: Os casos favoráveis são os $\text{[math]}$ seguintes $\text{[math]}$

Casos possíveis: Com o cálculo anterior sabemos que os casos possíveis são $\text{[math]}$ .
Assim, a probabilidade de que os dados somem $\text{[math]}$ é

$\text{[math]}$ .

Encontre a probabilidade de que ao levantarmos nossas peças de dominó obtemos um número de pontos maior do que $\text{[math]}$ ou múltiplo de $\text{[math]}$ .

Solução

Encontre a probabilidade de que ao levantarmos nossas peças de dominó obtemos um número de pontos maior do que $\text{[math]}$ ou múltiplo de $\text{[math]}$ .

O evento com peças de dominó do qual conseguimos um número de pontos maior do que $\text{[math]}$ está dado por

$\text{[math]}$

O evento com peças de dominó do qual conseguimos um número de pontos maior do que $\text{[math]}$ está dado por

$\text{[math]}$

Portanto, devemos considerar que o evento final é $\text{[math]}$ . Além disso, um jogo de dominó é composto por $\text{[math]}$ peças, portanto, a probabilidade está dada por

$\text{[math]}$

Encontre a probabilidade de que ao jogarmos um dado no ar, saia:

1 Um número par.

2 Um número múltiplo de três.

3 Um número maior que quatro.

Solução

Encontre a probabilidade de que ao jogarmos um dado no ar, saia:

1 Um número par.

Casos favoráveis: Os casos favoráveis são os $\text{[math]}$ seguintes $\text{[math]}$
Casos possíveis: Por ser um dado de $\text{[math]}$ lados, temos $\text{[math]}$ casos favoráveis.
Dada a premissa acima, a probabilidade é

$\text{[math]}$ .

2 Um número múltiplo de três.

$\text{[math]}$ .

3 Um número maior que quatro.

$\text{[math]}$ .

Encontre a probabilidade de que ao jogarmos duas moedas no ar, saia:

1 Duas caras.

2 Duas coroas.

3 Uma cara e uma coroa.

Solução

Encontre a probabilidade de que ao jogarmos duas moedas no ar, saia:

1 Duas caras.

São eventos independentes, portanto, uma vez que a probabilidade de que cada moeda seja cara é $\text{[math]}$ , assim

$\text{[math]}$

2 Duas coroas.

Igual ao cálculo anterior são eventos independentes portanto uma vez que a probabilidade de que cada moeda seja coroa é $\text{[math]}$ , assim

$\text{[math]}$

3 Uma cara e uma coroa.

A probabilidade de obtermos uma cara e uma coroa é a probabilidade de obter o evento $\text{[math]}$ . Além disso igual que nos cálculos anteriores são eventos independentes portanto dado que a probabilidade de que cada moeda seja coroa ou cara é $\text{[math]}$ , assim

$\text{[math]}$

Em um envelope há $\text{[math]}$ folhas, em $\text{[math]}$ delas tem um carro desenhado e as restantes estão em branco. Encontre a probabilidade de se extrair pelo menos uma folha com o desenho de um carro:

1 Se retirarmos uma folha.

2 Se retirarmos duas folhas.

3 Se retirarmos três folhas.

Solução

1 Se retirarmos uma folha.

Temos $\text{[math]}$ casos favoráveis e $\text{[math]}$ possíveis, portanto

$\text{[math]}$ .

2 Se retirarmos duas folhas.

A probabilidade de que ao retirarmos $\text{[math]}$ folhas ao menos uma tenha um carro é igual a $\text{[math]}$ menos a probabilidade de que ao retirarmos $\text{[math]}$ folhas as duas estejam em branco. Portanto

$\text{[math]}$

3 Se retirarmos três folhas.

$\text{[math]}$

Os estudantes $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ têm respectivamente probabilidades $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ de reprovarem em uma prova. A probabilidade que de sejam reprovados simultaneamente é de $\text{[math]}$ . Determine a probabilidade de que ao menos um dos estudantes seja reprovado.

Solução

Devemos notar que são eventos compatíveis porque $\text{[math]}$ . Portanto

$\text{[math]}$

Dois irmãos saem para caçar. O primeiro mata por volta de $\text{[math]}$ alvos a cada $\text{[math]}$ disparos e o segundo $\text{[math]}$ um alvo a cada $\text{[math]}$ disparos. Se os dois disparam ao mesmo tempo em um mesmo alvo qual é a probabilidade de que matem esse alvo?

Solução

Primeiro calculamos a probabilidade de que ambos matem um alvo. Ou seja

$\text{[math]}$

Dada a premissa anterior, vemos que os eventos são compatíveis. Portanto

$\text{[math]}$

Em uma sala de aula há $\text{[math]}$ homens e $\text{[math]}$ mulheres; a metade dos homens e a metade das mulheres tem olhos castanhos. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja um homem ou tenha os olhos castanhos.

Solução

Dada a planilha anterior, a probabilidade é

$\text{[math]}$

A probabilidade de que um homem viva $\text{[math]}$ anos é $\text{[math]}$ e a de que sua mulher viva $\text{[math]}$ anos é $\text{[math]}$ . Calcule a probabilidade:

1 De que ambos vivam $\text{[math]}$ anos.

2 De que o homem viva $\text{[math]}$ anos e sua mulher não.

3 De que ambos morram antes dos $\text{[math]}$ anos.

Solução

A probabilidade de que um homem viva $\text{[math]}$ anos é $\text{[math]}$ e a de que sua mulher viva $\text{[math]}$ anos é $\text{[math]}$ . Calcule a probabilidade:

1 De que ambos vivam $\text{[math]}$ anos.

Primeiro, devemos notar que são eventos independentes, portanto

$\text{[math]}$

2 De que o homem viva $\text{[math]}$ anos e sua mulher não.

$\text{[math]}$

3 De que ambos morram antes dos $\text{[math]}$ anos.

$\text{[math]}$

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Vinicius Magalhães

Licenciado em letras e mestre em literatura. Gosto de ensinar, produzir e traduzir. Junto a vontade de viajar com a de ler, escrever e desenhar.

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