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Definição da eliminação de Gauss (Método de Gauss-Jordan)
A eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema de equações em outro equivalente, de modo que este assuma a forma escalonada.
Para facilitar os cálculos, vamos transformar o sistema em uma matriz, na qual colocaremos os coeficientes das variáveis e os termos independentes (separados por uma barra vertical).
Sistemas de equações equivalentes
Obtemos sistemas equivalentes por meio da eliminação de equações dependentes se ocorrer alguma das seguintes situações:
1 Todos os coeficientes são iguais a zero.
2 Duas linhas são idênticas.
3 Uma linha é proporcional a outra.
4 Todos os coeficientes são iguais a zero.
Critérios de equivalência de sistemas de equações
1 Se somamos ou subtraimos uma mesma expressão em ambos os membros de uma equação de um sistema, o sistema resultante será equivalente ao original.
2 Se multiplicamos ou dividimos ambos os membros das equações de um sistema por um número diferente de zero, o sistema resultante será equivalente ao original.
3 Se somamos ou subtrairmos a uma equação do sistema outra equação do mesmo sistema, o sistema resultante será equivalente ao original.
4 Se, em um sistema, substituímos uma equação por outra que resulta da soma de duas equações previamente multiplicadas ou divididas por números não nulos, o novo sistema será equivalente ao primeiro.
5 Se trocarmos a ordem das equações ou a ordem das incógnitas em um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Exemplo: 
Somamos 
em ambos os membros da primeira equação e obtemos:
Pelo primeiro critério de equivalência, temos que o sistema original é equivalente ao sistema:
Exemplo:
Multiplicamos por 
ambos os membros das equações e, pelo segundo critério de equivalência, temos que o sistema original é equivalente ao novo sistema obtido:
Exemplo:
Somamos a terceira equação à segunda equação, obtemos um sistema de equações que, pelo critério 3, é equivalente com o sistema original.
Exemplo:
Substituímos a segunda equação pela soma da primeira equação com a segunda equação multiplicada por três. Obtemos um sistema de equações que, pelo critério 4, é equivalente ao sistema original:
Exemplo:
Trocamos a segunda e a terceira equação. Obtemos um sistema de equações que, pelo critério 5, é equivalente ao sistema original:
Para resolver um sistema de equações, utilizamos os critérios anteriores, como veremos nos próximos exercícios.
Exercícios de sistemas de equações
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Substituímos a linha 
por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
3 Substituímos a linha 
por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Substituímos a linha por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
3 Substituímos a linha por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Substituímos a linha por 
obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
3 Substituímos a linha por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Substituímos a linha por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
3 Substituímos a linha por 
e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
3 Trocamos as linhas 
e 
e obtemos, pelo critério 5, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Substituímos as linhas por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
6 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 2, a matriz equivalente:
7 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Substituímos as linhas por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
3 Substituímos as linhas por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Substituímos as linhas por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 2, a matriz equivalente:
6 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Trocamos as linhas 
e e obtemos, pelo critério 5, a matriz equivalente:
3 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
6 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 2, a matriz equivalente:
7 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Trocamos as linhas e e obtemos, pelo critério 5, a matriz equivalente:
3 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
6 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 2, a matriz equivalente:
7 Temos que o sistema original é possível e determinado, e suas soluções são:
1 Escrevemos na forma matricial:
2 Trocamos as linhas e e obtemos, pelo critério 5, a matriz equivalente:
3 Substituímos as linhas por respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Substituímos as linhas por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
6 Obtemos que o sistema é possível e indeterminado e equivalente ao sistema original:
7 Multiplicamos a segunda equação por 
e, pelo critério 2, obtemos o sistema equivalente:
8 Fazendo 
e 
obtemos:
1 Escrevemos na forma matricial:
3 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente, e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
4 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
5 Substituímos as linhas 
por 
respectivamente e obtemos, pelo critério 4, a matriz equivalente:
6 Como na última linha todos os coeficientes das variáveis são zero e o termo independente é diferente de zero, então o sistema é incompatível.
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