Exercícios sobre o domínio de uma função

O domínio de uma função irracional de índice par é formado pelo conjunto de valores para os quais o radical é maior ou igual a zero.

a)

Resolvemos a desigualdade

 

 

b)

Resolvendo

 

c)

Resolvemos Igualamos a zero para obter as raízes

 

Por fim, vamos usar os intervalos nos quais a desigualdade é positiva. A união destes será nosso domínio. Portanto,

 

d)

 

Resolvendo igualamos a zero para obter as raízes

 

Finalmente, pegamos os intervalos nos quais a desigualdade é negativa. A união destes será nosso domínio. Portanto,

 

e)

 

Resolvemos porque sempre é maior ou igual a zero.

 

f)

 

Resolvendo Se igualamos a zero, a equação correspondente não tem soluções reais. Além disso, notamos que, se tomamos qualquer valor será positivo ou zero. Portanto,

 

g)

Resolvemos Observe que, essa desigualdade de restrição apenas se aplica ao valor uma vez que para todos os demais valores de , o resultado é sempre negativo. Assim, é o único valor que satisfaz nossa desigualdade e assim,

 

h)

 

Resolvemos a desigualdade de segundo grau

 

Finalmente, consideramos os intervalos nos quais a desigualdade é positiva, incluindo os extremos onde ela se anula. A união desses intervalos será nosso domínio. Portanto

 

i)

Resolvendo

 

 

Por fim, tomamos os intervalos nos quais a desigualdade é positiva, incluindo os extremos onde ela se anula. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

 

j)

 

Como a raiz está no denominador, o radicando precisa ser maior que zero, mas não igual, pois nesse caso anularia o denominador. Resolvemos:

 

k)

 

Neste caso, é necessário que o denominador seja diferente de zero e que a raiz do numerador seja maior ou igual a zero. Resolvendo: A solução é a interseção dos dois conjuntos, de forma que,

 

l)

O numerador precisa ser maior ou igual a zero, e o denominador deve ser diferente de zero. Vamos resolver:

 

 

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

m)

 

O denominador precisa ser maior que zero. Vamos resolver:

 

 

 

O radicando precisa ser maior que zero, e o denominador deve ser diferente de zero. Vamos resolver. y

 

 

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

O domínio de uma função polinomial inteira é , ou seja, todos os números reais.

a)

b)

c)

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais:
Portanto,

d)

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais, portanto,

e)

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais e irracionais, portanto,

Calcule o domínio da função:

 

Resolvemos a solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

 

 

 

O domínio de uma função racional é menos os valores que anulam o denominador. Para encontrar o domínio, devemos igualar o denominador a zero e resolver a equação. As soluções dessa equação são os pontos que não pertencem ao domínio, pois anulam o denominador.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

pois essa equação não tem raízes reais.

g)

pois a raiz é dupla.

h)

Temos que , então

Assim, ou . Portanto, o domínio é

i)

Observamos que o polinômio é o desenvolvimento de um binômio ao cubo

pois é uma raiz tripla.

j)

Fatorando

Portanto,

Calcule o domínio da função definida em trechos:

 

No primeiro trecho, é necessário que o denominador seja diferente de zero. No segundo trecho, sendo 3 uma constante que é sempre positiva, apenas estudamos se o denominador é maior que zero. Assim,

Finalmente, a solução é

O domínio de uma função irracional de índice ímpar é

O domínio de uma função irracional de índice par é obtido pelos pontos que satisfazem que o radicando seja maior ou igual a zero.

a)

b)

c)

d)

O domínio desta função são todos os reais, exceto os valores onde o denominador da função racional dentro da raiz cúbica se anula. Assim,

e)

O domínio desta função são todos os reais, exceto os valores onde o denominador da função racional dentro da raiz cúbica se anula. Assim,

f)

g)

Resolvemos a desigualdade

h)

Resolvemos

i)

Resolvemos Igualamos a zero para obter as raízes latex(x-4)=0\quad\Rightarrow\quad x=2, x=4.[/latex]

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é positiva. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

j)

Resolvemos Igualamos a zero para obter as raízes latex(x-4)=0\quad\Rightarrow\quad x=2, x=4.[/latex]

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é negativa. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

k)

Resolvemos porque latex^2[/latex] é sempre maior ou igual a zero.

l)

Resolvemos Se igualarmos a zero, a equação correspondente não tem soluções reais. Além disso, notamos que, se tomarmos qualquer valor, o resultado será positivo ou zero. Portanto,

m)

Resolvemos Observe que essa desigualdade só se cumpre para o valor , já que para todos os outros valores de , o resultado é sempre negativo. Assim, é o único valor que satisfaz nossa desigualdade e, portanto,

n)

Resolvemos a desigualdade de segundo grau

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é positiva, com os extremos onde se anula incluídos. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

o)

Resolvemos

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é positiva, com os extremos onde se anula incluídos. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

p)

Como a raiz está no denominador, o radicando deve ser maior que zero, mas não igual, pois isso anularia o denominador. Resolvemos

q)

Neste caso, devemos garantir que o denominador seja diferente de zero e a raiz do numerador seja maior ou igual a zero. Resolvemos A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

r)

O numerador deve ser maior ou igual a zero e o denominador diferente de zero. Resolvemos

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

s)

O denominador deve ser maior que zero. Resolvemos

t)

O radicando deve ser maior que zero e o denominador diferente de zero. Resolvemos e

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

1. Começamos resolvendo o sistema por substituição:

 

O método pela substituição consiste em isolar uma das duas variáveis de uma das equações e substituí-la em outra. Isolamos da segunda equação:

 

 

Note que escolhemos a segunda equação já que está igualada a 0; isso faz com que o procedimento seja mais fácil. Agora substituímos o valor de na primeira equação

 

 

Portanto, . Assim, substituímos o valor de na expressão de :

 

 

Portanto, a solução é .

 

2. Agora resolvemos o sistema pelo método gráfico:

 

O método gráfico consiste em fazer um gráfico para as duas retas. A interseção será a solução do sistema:

 

Com o gráfico anterior podemos observar que a solução é e . Além disso, devemos lembrar que precisamos ser muito precisos na hora de fazer o gráfico.

Uma vantagem do método pela substituição é que com ele não precisamos simplificar o sistema de equações antes de começar a resolver. Portanto, podemos começar a resolver imediatamente.

 

Primeiro, isolamos da segunda equação:

 

 

Depois, substituímos o valor de na primeira equação:

 

 

A partir daqui, sabemos que . Agora, substituímos o valor de na expressão anterior de :

 

 

Portanto, a solução do sistema é e .

O domínio de uma função exponencial é

1

2

3

4

5

Como o expoente é racional, não pertence ao domínio porque anula o denominador. Portanto, .

Para resolver o sistema por igualdade devemos isolar uma variável de ambas equações. Isolamos de ambas equações:

 

 

onde obtemos . Para a segunda equação temos

 

 

portanto e . Agora, igualamos ambas equações

 

 

Dessa equação isolamos :

 

 

assim . Dessa forma, substituímos o valor de na primeira equação

 

 

assim . Portanto, a solução é e .

Da mesma maneira que no caso anterior, para resolver por igualdade devemos isolar alguma variável de ambas equações. Neste caso, vamos isolar . Na primeira equação obtemos:

 

 

Enquanto que para a segunda equação obtemos:

 

 

Igualando as equações, temos

 

 

assim

 

 

de modo que . Assim, substituindo na primeira equação, temos

 

 

dessa forma . Assim, a solução é e .

Para que a função logaritmo esteja bem definida, seu argumento deve ser positivo, ou seja, seu domínio é

a)

Resolvemos

b)

Como é sempre positivo para , então

c)

Como é sempre positivo, então

d)

Resolvemos

e)

Como o denominador é sempre positivo, estudamos apenas o numerador. Assim,

Precisamos eliminar os da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por e depois subtraímos o resultado na segunda equação:

 

 

Agora, calculamos a segunda equação com a equação anterior:

 

 

A partir daqui sabemos que . Depois, substituímos o valor de na primeira equação:

 

 

Portanto .

 

Observe que o sistema é o mesmo do primeiro exercício e obtemos a mesma solução apesar de utilizar um método diferente.

Antes de aplicar o método pela redução, devemos escrever o sistema de forma que os termos independentes estejam do lado direito. Para isso, multiplicamos ambas equações por 2:

 

 

Depois, passamos as variáveis para o lado esquerdo das equações:

 

 

Agora, somamos a primeira equação na segunda equação:

 

 

A partir daqui sabemos que . Depois, substituímos o valor de na primeira equação:

 

 

Portanto, a solução é e .

a)

b)

c)

O domínio de uma função irracional de índice par é formado pelos valores que tornam o radicando maior ou igual a zero. As funções trigonométricas seno e cosseno têm como domínio todos os números reais. Além disso, seu valor máximo é 1, o que garante que essas funções sempre terão valores menores ou iguais a 1 para qualquer número real.

d)

Resolvemos

e)

Resolvemos

 

No primeiro trecho, o denominador deve ser diferente de zero. No segundo trecho, como 3 é uma constante sempre positiva, basta garantir que o denominador seja maior que zero.

 

Assim,

 

Finalmente, a solução é