Exercícios sobre equações exponenciais e logarítmicas

Transformamos em forma de potência e igualamos os exponentes

Transformamos em forma de potência e igualamos os exponentes

Transformamos em forma de potência e igualamos os exponentes

Transformamos em forma de potência e igualamos os exponentes

 
Colocamos a raiz na forma de potência com expoente fracionário e decompomos em fatores:

Igualamos os exponentes

 Decompomos e em fatores, igualamos os expoentes e simplificamos a equação resultante:

Resolvemos a equação:

Decompomos em fatores, igualamos os expoentes e resolvemos a equação irracional:

}

Como temos bases diferentes, aplicamos logaritmos aos dois membros:

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência ao primeiro membro:

Passamos para o outro membro e resolvemos a equação:

Passamos para o primeiro membro e para o segundo.

Aplicamos logaritmos de base aos dois membros:

No primeiro membro, aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência:

Levamos em consideração que:

Fazemos uma mudança de base:

Aplicamos logaritmos aos dois membros e usamos a propriedade do logaritmo de um produto no primeiro membro:

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência e colocamos em evidência:

Efetuamos as operações entre parênteses aplicando as propriedades do logaritmo de uma potência e de um produto:

Isolamos a incógnita:

Aplicamos a propriedade da potência de um quociente para eliminar a subtração do expoente e fazemos uma mudança de variável:

Eliminamos os denominadores e resolvemos a equação:

não tem solução, pois uma potência de base positiva não pode resultar em um número negativo.

Fazemos uma mudança de variável:

Resolvemos a equação e desfazemos a mudança de variável:

não tem solução, pois uma potência de base positiva não pode resultar em um número negativo.

Eliminamos os expoentes negativos utilizando o inverso, eliminamos os denominadores e fazemos a mudança de variável:

Resolvemos a equação e desfazemos a mudança de variável:

Aplicamos a fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica e reduzimos ao mesmo denominador:

Eliminamos os denominadores e isolamos a incógnita:

Decompomos em fatores, aplicamos as propriedades do produto e do quociente de potências para eliminar as somas e subtrações dos expoentes e fazemos uma mudança de variável:

Desfazemos a mudança de variável:

não tem solução, pois uma potência de base positiva não pode resultar em um número negativo.

Como na primeira equação temos a mesma base, igualamos os expoentes:

Resolvemos o sistema:

Eliminamos os denominadores na primeira equação e aplicamos a propriedade do produto de potências de mesma base no segundo membro:

Igualamos os expoentes:

Resolvemos o sistema:

Igualamos os expoentes:

Resolvemos o sistema:

Aplicamos as propriedades do quociente de potências para eliminar as subtrações dos expoentes e fazemos as mudanças de variável:

Eliminamos os denominadores na segunda equação e resolvemos o sistema:

Desfazemos a mudança de variável:

Na primeira equação, e, na segunda equação, aplicamos as propriedades do produto e do quociente de potências para eliminar as somas e subtrações dos expoentes:

Nas duas equações, multiplicamos as potências de mesma base:

Igualamos os expoentes e resolvemos o sistema:

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência no segundo membro:

Aplicamos a propriedade da injetividade dos logaritmos para eliminá-los:

Resolvemos a equação:

A solução é .

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência nos dois membros e a propriedade do logaritmo de um quociente:

Efetuamos as operações no primeiro membro e aplicamos a propriedade da injetividade dos logaritmos para eliminá-los:

Resolvemos a equação:

A solução é .

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência nos dois membros e a propriedade do logaritmo de um produto:

Efetuamos as operações no primeiro membro e aplicamos a propriedade da injetividade dos logaritmos para eliminá-los:

Resolvemos a equação:

A solução é .

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência e a propriedade do logaritmo de um produto:

Efetuamos as operações no primeiro membro e aplicamos a propriedade da injetividade dos logaritmos para eliminá-los:

Resolvemos a equação:

A solução é .

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência nos dois membros e a propriedade do logaritmo de um produto:

Efetuamos as operações no primeiro membro e aplicamos a propriedade da injetividade dos logaritmos para eliminá-los:

Resolvemos a equação:

Nem nem são soluções, pois, ao substituí-los na equação original, obtemos, respectivamente, o logaritmo de e o logaritmo de um número negativo, que não existem no conjunto dos números reais.

A única solução é .

Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência e, no segundo membro, utilizamos :

Aplicamos a propriedade do logaritmo de um quociente e a injetividade dos logaritmos:

Eliminamos os denominadores e resolvemos a equação:

Porém, não é solução, pois, ao substituí-lo na equação original, obteríamos o logaritmo de um número negativo.

Eliminamos os denominadores e fazemos uma mudança de variável:

Resolvemos a equação:

Desfazemos a mudança de variável aplicando a definição de logaritmo:

Passamos o segundo termo para o segundo membro, aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência e a propriedade da injetividade dos logaritmos:

Efetuamos as operações:

Resolvemos a equação:

Eliminamos os denominadores:

No segundo membro, aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência e a propriedade da injetividade dos logaritmos:

Efetuamos as operações e resolvemos a equação do segundo grau:

Multiplicamos os dois membros por e passamos todos os termos para o primeiro membro:

Eliminamos os denominadores e fazemos uma mudança de variável:

Resolvemos a equação:

Desfazemos a mudança de variável:

Na primeira equação, aplicamos a propriedade do logaritmo de um produto e a propriedade da injetividade dos logaritmos e isolamos :

Substituímos o valor de na segunda equação:

Resolvemos a equação do segundo grau:

   , 

Na primeira equação, aplicamos a propriedade do logaritmo de um produto, a propriedade da injetividade dos logaritmos e isolamos :

Substituímos o valor de na segunda equação:

Resolvemos a equação biquadrada:

Se substituirmos os valores negativos de na equação, obteremos o logaritmo de um número negativo. Portanto, esses valores não são admitidos.

Resolvemos o sistema pelo método da adição, multiplicando a primeira equação por :

Aplicamos a definição de logaritmo para determinar :

Substituímos o valor de na primeira equação inicial.

Aplicamos a definição de logaritmo para determinar :

Aplicamos a definição de logaritmo nas duas equações:

Obtemos o sistema:

Efetuamos as operações e resolvemos o sistema:

Aplicamos a definição de logaritmo nas duas equações:

Elevamos os dois membros da segunda equação ao quadrado e substituímos o valor de na primeira equação:

Efetuamos as operações e resolvemos a equação: