Exercícios sobre determinantes

1A primeira coluna é múltipla de 2, então

2Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

3Para a primeira coluna que contém três zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

4Aplicamos a regra de Sarrus e obtemos

Determinante A

1Comoo valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

2Como há duas linhas iguais, pelas propriedades dos determinantes, o resultado é zero:

Determinante B

1Como se trata de uma matriz triangular, pelas propriedades dos determinantes, o resultado é o produto dos elementos da diagonal:

Determinante C

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

2Para a primeira coluna que contém dois zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

3Calculamos o último determinante e obtemos

Determinante A

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

2Novamente, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

3Como há duas linhas iguais, pelas propriedades dos determinantes, o resultado é zero, isto é,

Determinante B

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as colunas, substituímos as colunas por , respectivamente, e obtemos

2Para a primeira linha que contém três zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

3A primeira linha é múltipla de 2, então

4Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as colunas, substituímos as colunas por , respectivamente, e obtemos

5Para a primeira linha contém dois zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

6Calculamos o determinante para a matriz de

Determinante C

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

2Para a primeira coluna que contém três zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

3A segunda linha é múltipla de 4 e a terceira é múltipla de , então

4Resolvemos o último determinante obtido:

Determinante A

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as colunas, substituímos por e obtemos

2Como a primeira coluna é múltipla de , temos

3Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

4O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal:

Determinante B

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

2O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal:

Determinante A

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as colunas, substituímos por , respectivamente, e obtemos

2Para a primeira linha que contém dois zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

3Os elementos da primeira linha possuem um fator comum; o mesmo ocorre com os elementos da segunda linha. Colocamos esses fatores em evidência e resolvemos o determinante obtido:

Determinante B

1Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos por , respectivamente, e obtemos

2Para a primeira coluna que contém três zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

3Os elementos da primeira coluna possuem um fator comum; o mesmo ocorre com as demais colunas. Colocamos esses fatores em evidência:

4Substituímos por , respectivamente, e obtemos

5Para a primeira coluna que contém dois zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

6Os elementos da primeira coluna possuem um fator comum; o mesmo ocorre com a segunda coluna. Colocamos esses fatores em evidência e resolvemos o determinante obtido:

Determinante A

1 Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as colunas, substituímos por e obtemos

2 Como a primeira coluna é múltipla de , temos

3 Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos as linhas por , respectivamente, e obtemos

4 O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal:

Determinante B

1 Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos por e obtemos

2 Como a primeira coluna contém 3 zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

3 Como a segunda coluna é múltipla de e a terceira coluna é múltipla de , temos

4 Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as linhas, substituímos por e obtemos

5 Como a primeira coluna contém 2 zeros, aplicamos a redução do determinante e obtemos

Determinante A

1 Como o valor do determinante não se altera ao realizarmos combinações lineares entre as colunas, substituímos por e obtemos

2 A terceira coluna possui um fator comum, então

3 A primeira e a terceira colunas são iguais, portanto, o determinante é zero:

Determinante B

1 A terceira coluna é igual à soma da primeira com a segunda, portanto, o determinante é zero:

1 Como as linhas possuem 2 como fator comum, temos

2 Trocamos a segunda e a terceira colunas:

3 Trocamos a segunda e a terceira linhas:

Determinante B

1 A primeira linha possui um fator comum, assim como a segunda linha:

Determinante C

1 Substituímos as linhas por , respectivamente:

Determinante A

1 Substituímos a coluna por :

2 A coluna possui 5 como fator comum:

Portanto, o determinante é múltiplo de 5.

Determinante B

1 Substituímos a coluna por :

2 A coluna possui 4 como fator comum:

Portanto, o determinante é múltiplo de 4.

1 Substituímos a coluna por :

2 A coluna possui 15 como fator comum:

Portanto, o determinante é múltiplo de 15.

1 Substituímos a coluna por :

2 A coluna possui 21 como fator comum:

Portanto, o determinante é múltiplo de 21 e, consequentemente, é divisível por 21.

Primeira igualdade

1 Para o primeiro determinante, utilizamos a propriedade de que, quando os elementos de uma coluna são formados por dois termos, o determinante pode ser decomposto na soma de dois determinantes, mantendo-se as demais colunas inalteradas. Aplicamos essa propriedade à primeira coluna:

2 Aplicamos novamente a propriedade anterior a cada uma das parcelas:

3 Se duas colunas são iguais, o determinante é igual a zero. Portanto, temos:

4 Dessa forma, verificamos que

Segunda igualdade

1 Multiplicamos a primeira linha por , a segunda linha por e a terceira linha por . Para manter a igualdade, multiplicamos o determinante resultante por :

2 A terceira coluna possui um fator comum:

Primeira igualdade

1 Para o primeiro determinante, utilizamos a propriedade de que, quando os elementos de uma coluna são formados por dois termos, o determinante pode ser decomposto na soma de dois determinantes, mantendo-se as demais colunas inalteradas. Aplicamos essa propriedade à primeira coluna:

2 Aplicamos novamente a propriedade anterior a cada uma das parcelas:

3 Se duas colunas são iguais, o determinante é igual a zero. Portanto, temos:

4 Dessa forma, verificamos que

Segunda igualdade

1 Multiplicamos a primeira linha por , a segunda linha por e a terceira linha por . Para manter a igualdade, multiplicamos o determinante resultante por :

2 A terceira coluna possui um fator comum:

1 Calculamos o determinante:

2 Calculamos a matriz adjunta:

3 Calculamos a sua transposta:

4 A matriz inversa é dada por :

1 Calculamos o determinante, reduzindo os cálculos a partir da terceira coluna:

2 Uma matriz não possui inversa se seu determinante for igual a zero. Assim, a matriz não possui inversa quando .

1 Calculamos o determinante:

2 Uma matriz não possui inversa se seu determinante for igual a zero. O determinante é sempre negativo para qualquer valor real de . Assim, a matriz sempre possui inversa, independentemente do valor real de .

Posto de

1 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 1:

2 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 2:

3 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 3:

4 Assim, o posto da matriz é 2.

Posto de

1 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 1:

2 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 2:

3 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 3:

4 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 4:

5 Assim, o posto da matriz é 4.

Posto de

1 Eliminamos a terceira coluna por ser nula, a quarta por ser proporcional à primeira e a quinta por ser uma combinação linear da primeira e da segunda, :

2 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 1:

3 Calculamos os determinantes das submatrizes de ordem 2:

4 Assim, o posto da matriz é 2.

Primeira equação

1 O determinante de é diferente de zero, portanto, sua matriz inversa existe:

2 Resolvemos a equação:

Segunda equação

1 O determinante de é diferente de zero, portanto, sua matriz inversa existe:

2 Resolvemos a equação:

1 O determinante de é diferente de zero, portanto, sua matriz inversa existe:

2 Resolvemos a equação: