Seja bem-vindo à nossa seção dedicada aos Exercícios de Áreas de Funções. As funções matemáticas são ferramentas poderosas para descrever e modelar fenômenos em diversas áreas. Neste material, vamos te guiar por exercícios pensados para compreender e calcular áreas sob curvas representadas por funções.
A determinação da área sob uma curva envolve a aplicação de conceitos de cálculo integral. Esses exercícios não apenas vão fortalecer sua compreensão sobre funções matemáticas, mas também vão te oferecer ferramentas práticas para resolver problemas do mundo real que envolvem o cálculo de áreas. Vem com a gente nesse percurso matemático, colocando em prática conceitos importantes para enfrentar desafios relacionados às funções e suas áreas.
Exercícios propostos
Calcule a área da região limitada pela curva 
e pelo eixo
.
Calcule a área da região limitada pela curva e pelo eixo.
1 Em primeiro lugar, encontramos os pontos de interseção com o eixo para representar a curva e conhecer os limites de integração.
2 Em segundo lugar, calcula-se a integral:
Encontre a área da região do plano delimitada pela curva 
, entre o ponto de interseção com o eixo e o ponto de abscissa 
.
Encontre a área da região do plano delimitada pela curva , entre o ponto de interseção com o eixo e o ponto de abscissa .
1 Em primeiro lugar, calculamos o ponto de interseção com o eixo das abscissas.
2 A integral é resolvida por meio de integração por partes
Calcule a área limitada pela reta 
, pelo eixo e pelas ordenadas de 
e 
.
Calcule a área limitada pela reta , pelo eixo e pelas ordenadas de e .
Calcule a área limitada pela curva 
e pelo eixo das abscissas.
Calcule a área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas.
1 Calculamos os pontos de interseção da função com o eixo das abscissas
2 Propomos e resolvemos a integral definida
Calcule a área das regiões do plano limitadas pela curva 
e pelo eixo .
Calcule a área das regiões do plano limitadas pela curva e pelo eixo .
1 Calculamos os pontos de interseção da função com o eixo das abscissas.
2 Propomos uma integral definida
A área sobre o eixo é igual ao valor absoluto da área abaixo do eixo no intervalo dado, portanto, podemos escrever:
3 Resolvemos as integrais.
Calcule a área do círculo do raio 
.
Calcule a área do círculo do raio .
1 Partimos da equação da circunferência e isolamos 
.
2 A área do círculo é quatro vezes a área do primeiro quadrante, portanto
3 Calculamos a integral indefinida por mudança de variável.
4 Encontramos os novos limites de integração e substituímos
[
Encontre a área de uma elipse de semieixos 
e 
.
1 Partimos da equação da elipse
2 Por ser a elipse uma curva simétrica, a área pedida será 
vezes a área delimitada no primeiro quadrante e pelos eixos de coordenadas.
3 Resolvemos a integral aplicando uma mudança de variável
4 Encontramos os novos limites de integração e substituímos.
Calcule a área limitada pela curva 
e pela reta 
.
Calcule a área limitada pela curva e pela reta .
1 Em primeiro lugar, encontramos os pontos de interseção das duas funções para conhecer os limites de integração.
2 De 
a 
, a reta fica acima da parábola, portanto
Calcule a área limitada pela parábola 
e pela reta 
.
Calcule a área limitada pela parábola e pela reta .
1 Calculamos os pontos de interseção das funções
2 De 
a 
, a parábola fica acima da reta, portanto
Calcule a área limitada pelos gráficos das funções 
e 
.
Calcule a área limitada pelos gráficos das funções e .
1 Em primeiro lugar, representamos as parábolas a partir do vértice e dos pontos de interseção com os eixos.
2 Também encontramos os pontos de interseção das funções, que nos darão os limites de integração.
Calcule a área da figura plana limitada pelas parábolas 
, .
Calcule a área da figura plana limitada pelas parábolas , .
1 Representamos as parábolas a partir do vértice e dos pontos de interseção com os eixos.
2 Consideramos as áreas que ficam acima e abaixo do eixo das abscissas para poder calcular a área total
Encontre a área entre a curva 
e a curva 
no intervalo 
.
1 Primeiro, analisamos os pontos de interseção dessas curvas. Observe que, nos pontos 
, temos
Então, a função 
é sempre maior ou igual à função 
no intervalo proposto.
Agora, calculamos a integral de 
no intervalo para encontrar a área:
Encontre a área entre a curva 
e a curva 
no intervalo 
.
1 Primeiro, analisamos os pontos de interseção dessas curvas. Observe que, nos pontos 
, temos
2 Agora, calculamos a integral de no intervalo para encontrar a área:
Encontre a área entre a curva e a curva 
no intervalo 
.
1 Primeiro, analisamos os pontos de interseção dessas curvas. Observe que, nos pontos 
, temos
De forma simples, temos que 
para todo 
. Em particular, 
. Assim, para calcular a área, devemos separar a integral nesse ponto, onde ocorre a troca da função dominante (a que possui o maior valor).
2 Como observamos anteriormente, 
no intervalo 
, mas depois 
no intervalo 
. Portanto, a área entre as curvas é
Encontre a área entre a curva 
e a curva 
no intervalo 
.
1 Primeiro, analisamos os pontos de interseção dessas curvas. Observe que, nos pontos 
, temos
observe que en 
temos 
.
2 Então, a área entre as curvas é a integral de 
no intervalo 
mais a integral de 
no intervalo 
:
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