Exercícios sobre o domínio de uma função

Calcular o domínio das funções polinomiais:

O domínio de uma função polinomial inteira é , ou seja, todos os números reais.

 

1.

 

2.

 

3.

 

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais.:
Portanto,

Calcule o domínio das funções racionais: 

O domínio de uma função racional é exceto os valores que anulam o denominador. Para encontrar o domínio, devemos igualar o denominador a zero e resolver a equação. As soluções dessa equação são os pontos que não pertencem ao domínio, já que anulam o denominador.

 

1.

 

2.

 

3.

porque essa equação não tem raízes reais.

 

4..

 

porque a raiz é dupla.

 

5.

Tenemos que , então

Assim, ou . Portanto, o domínio é

 

6.

Observamos que o polinômio é o desenvolvimento de binômio ao cubo porque é uma raiz tripla.

 

7.

 

Fazendo o fator
Portanto,

Calcule o domínio das funções radicais: 

O domínio de uma função irracional de índice ímpar é

 

1.

 

 

2.

 

O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os valores nos quais o denominador da função racional dentro da raiz cúbica se anula. Assim,

 

3.

O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os valores nos quais o denominador da função racional dentro da raiz cúbica se anula. Assim,

Calcule o domínio das funções exponenciais: 

O domínio de uma função exponencial é

 

1.

 

 

2.

 

Como o expoente é racional, não pertence ao domínio porque anula o denominador. Portanto, .

Calcule o domínio das funções logarítmicas: 

Para que a função logaritmo esteja bem definida, seu argumento deve ser positivo. Ou seja, o domínio da função logarítmica é

 

1.

 

Resolvemos

 

2.

 

Como o denominador é sempre positivo, só vamos estudar o numerador. Desta forma:

 

.

Calcule o domínio das funções trigonométricas: 

O domínio de uma função irracional de índice par é formado pelo conjunto dos valores que fazem com que o radicando seja maior ou igual a zero. As funções trigonométricas seno e cosseno têm como domínio todos os números reais. Além disso, o valor máximo delas é 1, o que significa que essas funções sempre têm valores menores ou iguais a 1 para qualquer número real.

1.

 

Vamos resolver

 

2.

E resolvemos

O domínio de uma função irracional de índice par é formado pelo conjunto de valores para os quais o radical é maior ou igual a zero.

a)

Resolvemos a desigualdade

 

 

b)

Resolvendo

 

c)

Resolvemos Igualamos a zero para obter as raízes

 

Por fim, vamos usar os intervalos nos quais a desigualdade é positiva. A união destes será nosso domínio. Portanto,

 

d)

 

Resolvendo igualamos a zero para obter as raízes

 

Finalmente, pegamos os intervalos nos quais a desigualdade é negativa. A união destes será nosso domínio. Portanto,

 

e)

 

Resolvemos porque sempre é maior ou igual a zero.

 

f)

 

Resolvendo Se igualamos a zero, a equação correspondente não tem soluções reais. Além disso, notamos que, se tomamos qualquer valor será positivo ou zero. Portanto,

 

g)

Resolvemos Observe que, essa desigualdade de restrição apenas se aplica ao valor uma vez que para todos os demais valores de , o resultado é sempre negativo. Assim, é o único valor que satisfaz nossa desigualdade e assim,

 

h)

 

Resolvemos a desigualdade de segundo grau

 

Finalmente, consideramos os intervalos nos quais a desigualdade é positiva, incluindo os extremos onde ela se anula. A união desses intervalos será nosso domínio. Portanto

 

i)

Resolvendo

 

 

Por fim, tomamos os intervalos nos quais a desigualdade é positiva, incluindo os extremos onde ela se anula. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

 

j)

 

Como a raiz está no denominador, o radicando precisa ser maior que zero, mas não igual, pois nesse caso anularia o denominador. Resolvemos:

 

k)

 

Neste caso, é necessário que o denominador seja diferente de zero e que a raiz do numerador seja maior ou igual a zero. Resolvendo: A solução é a interseção dos dois conjuntos, de forma que,

 

l)

O numerador precisa ser maior ou igual a zero, e o denominador deve ser diferente de zero. Vamos resolver:

 

 

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

m)

 

O denominador precisa ser maior que zero. Vamos resolver:

 

 

 

O radicando precisa ser maior que zero, e o denominador deve ser diferente de zero. Vamos resolver. y

 

 

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

O domínio de uma função polinomial inteira é , ou seja, todos os números reais.

a)

b)

c)

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais:
Portanto,

d)

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais, portanto,

e)

Observe que esta é uma função polinomial com coeficientes racionais e irracionais, portanto,

Calcule o domínio da função:

 

Resolvemos a solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

 

 

 

O domínio de uma função racional é menos os valores que anulam o denominador. Para encontrar o domínio, devemos igualar o denominador a zero e resolver a equação. As soluções dessa equação são os pontos que não pertencem ao domínio, pois anulam o denominador.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

pois essa equação não tem raízes reais.

g)

pois a raiz é dupla.

h)

Temos que , então

Assim, ou . Portanto, o domínio é

i)

Observamos que o polinômio é o desenvolvimento de um binômio ao cubo

pois é uma raiz tripla.

j)

Fatorando

Portanto,

Calcule o domínio da função definida em trechos:

 

No primeiro trecho, é necessário que o denominador seja diferente de zero. No segundo trecho, sendo 3 uma constante que é sempre positiva, apenas estudamos se o denominador é maior que zero. Assim,

Finalmente, a solução é

O domínio de uma função irracional de índice ímpar é

O domínio de uma função irracional de índice par é obtido pelos pontos que satisfazem que o radicando seja maior ou igual a zero.

a)

b)

c)

d)

O domínio desta função são todos os reais, exceto os valores onde o denominador da função racional dentro da raiz cúbica se anula. Assim,

e)

O domínio desta função são todos os reais, exceto os valores onde o denominador da função racional dentro da raiz cúbica se anula. Assim,

f)

g)

Resolvemos a desigualdade

h)

Resolvemos

i)

Resolvemos Igualamos a zero para obter as raízes latex(x-4)=0\quad\Rightarrow\quad x=2, x=4.[/latex]

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é positiva. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

j)

Resolvemos Igualamos a zero para obter as raízes latex(x-4)=0\quad\Rightarrow\quad x=2, x=4.[/latex]

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é negativa. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

k)

Resolvemos porque latex^2[/latex] é sempre maior ou igual a zero.

l)

Resolvemos Se igualarmos a zero, a equação correspondente não tem soluções reais. Além disso, notamos que, se tomarmos qualquer valor, o resultado será positivo ou zero. Portanto,

m)

Resolvemos Observe que essa desigualdade só se cumpre para o valor , já que para todos os outros valores de , o resultado é sempre negativo. Assim, é o único valor que satisfaz nossa desigualdade e, portanto,

n)

Resolvemos a desigualdade de segundo grau

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é positiva, com os extremos onde se anula incluídos. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

o)

Resolvemos

Finalmente, tomamos os intervalos em que a desigualdade é positiva, com os extremos onde se anula incluídos. A união desses intervalos será o nosso domínio. Portanto,

p)

Como a raiz está no denominador, o radicando deve ser maior que zero, mas não igual, pois isso anularia o denominador. Resolvemos

q)

Neste caso, devemos garantir que o denominador seja diferente de zero e a raiz do numerador seja maior ou igual a zero. Resolvemos A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

r)

O numerador deve ser maior ou igual a zero e o denominador diferente de zero. Resolvemos

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,

s)

O denominador deve ser maior que zero. Resolvemos

t)

O radicando deve ser maior que zero e o denominador diferente de zero. Resolvemos e

A solução é a interseção dos dois conjuntos, portanto,