Como encontrar a função inversa
Lembre-se de que a função inversa de 
é definida como aquela função 
tal que 
e 
. Portanto, podemos obtê-la a partir de .
Além disso, a função inversa de costuma ser denotada como 
(note que o 
e na expressão anterior não se refere a um expoente negativo, mas apenas indica que é a função inversa).
Observação: em geral, para que uma função tenha uma função inversa, é necessário que a função seja um-a-um (ou bijetora). Quando isso não ocorre, é necessário restringir o domínio.
Lembre-se de que uma função um-a-um é aquela que atribui a cada elemento do domínio um valor diferente no contradomínio. Ou seja, se 
então 
.
Método para encontrar a função inversa
1 Substitua por 
.
2 Isolamos a variável 
. Assim, obtemos uma expressão da forma 
3 Em 
substituímos as por .
4 Finalmente, troque o do lado esquerdo por .
Exemplo: Consideremos a função 
. Vamos seguir o procedimento para encontrar a função inversa:
1 Substituímos por 
: 
.
2 Isolamos :
onde 
3 Trocamos as por :
4 Depois, trocamos o do lado esquerdo por :
Por fim, verificamos se a função é realmente a inversa:
onde podemos observar que satisfaz que 
.
Exercícios propostos
Encontre a função inversa da seguinte função linear:
Encontraremos a função sem listar os passos. Temos 
, onde substituímos por :
Depois, isolamos :
Por fim, substituímos for e por :
Essa é a função inversa.
Encontre a função inversa da seguinte função:
Primeiro, substituímos por :
Depois, isolamos :
Ou seja,
Por fim, substituímos por e por :
Essa é a função inversa.
Encontre a função inversa da seguinte função (não é necessário simplificar):
Começamos substituindo por :
Depois, isolamos . ara isso, primeiro multiplicamos por 
:
Em seguida, passamos o para um lado da equação e os termos restantes para o outro:
Por último, dividimos por 
:
Portanto, a função inversa é:
Calcule a função inversa da seguinte função quadrática.
Observe que 
não é uma função um-a-um (por exemplo, 
).Portanto, ela não tem uma função inversa em todo o domínio.
No entanto, se considerarmos como domínio o intervalo 
, então a função será um-a-um. Nesse caso, a inversa é obtida da seguinte forma:
Isolando (e utilizando o fato de que 
no domínio restrito):
Portanto, neste caso, a função inversa é:
Por outro lado, se restringirmos o domínio para 
, então a função inversa é obtida da seguinte forma:
Em seguida, isolamos (que satisfaz 
):
Portanto, a função inversa é:
Isso significa que 
é a inversa de apenas quando o domínio é os números reais não negativos . Se o domínio for todos os números reais, a função não tem inversa.
Calcule a função inversa da seguinte função:
Começamos substituindo por :
Depois, isolamos: :
Portanto, a função inversa é:
Calcule a função inversa da seguinte função:
Começamos substituindo por :
Depois, lembre-se de que o logaritmo natural satisfaz:
Assim, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Dessa forma,
Portanto, a função inversa é:
Calcule a função inversa da seguinte função:
As funções radicais são sim uma-a-uma, portanto, têm função inversa:
Sabemos que 
. Depois, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
Portanto, a função inversa é:
onde (como fazemos a troca de por , então no final é quem satisfaz ).
Em outras palavras, para que 
seja a função inversa de 
, deve satisfazer que e tenha como domínio apenas .
Encontre a função inversa de:
Sabemos que a função de raiz cúbica é uma-a-uma, tem como imagem todos os números reais, e seu contradomínio também são todos os números reais. Portanto, ela terá uma inversa cujo domínio são todos os reais:
Elevamos os dois lados ao cubo:
Ou seja,
Portanto, a função inversa é:
Encontre a função inversa de:
Asimismo, verifica que
a 
b 
Primeiro, encontramos a função inversa. Para isso, substituímos por :
Depois, isolamos :
Ou seja,
Já temos isolado. No entanto, simplificamos um pouco:
Portanto, a inversa é:
Agora, verificamos o que nos foi pedido:
a) Primeiramente, verificamos que . Para isso, substituímos pelo seu valor:
Em seguida, avaliamos com o argumento dado:
Simplificamos:
Ou seja,
Portanto, a primeira relação é satisfeita.
b) Agora, verificamos que . Primeiro, substituímos pela expressão:
Em seguida, avaliamos :
Ou seja,
Portanto, a segunda relação também é satisfeita.
Encontre a função inversa de:
y verifica que .
Começamos calculando a inversa, substituindo por :
Depois, isolamos . Para isso, multiplicamos por 
:
Em seguida, passamos os termos com para o lado esquerdo da equação, e os termos restantes para o lado direito:
Portanto,
Ou seja, a função inversa é:
Agora, verificamos se satisfaz que . Primeiro, substituímos a expressão de :
Agora, avaliamos a inversa:
Simplificamos:
Logo:
Portanto, a relação é válida.
Calcule a inversa da função:
Começamos substituindo 
, depois isolamos 
:
Ou seja,
Calcule a inversa da função 
no domínio apropriado.
Primeiro, podemos observar que não se trata de uma função injetora. De fato, 
. Então, buscamos a inversa no intervalo 
. Começamos substituindo , depois isolamos :
Ou seja,
Calcule a inversa da função:
Começamos substituindo , depois isolamos :
Ou seja,
Calcule a inversa da função:
Começamos substituindo , depois isolamos :
Ou seja,
Calcule a inversa da função:
Começamos substituindo , depois isolamos :
Ou seja,
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