Exercícios resolvidos de funções definidas por partes

Observamos que, no intervalo , ou seja, do lado direito do plano temos a função .

Por outro lado, no intervalo , lado esquerdo do plano temos a função .

Portanto, o gráfico é como mostrado na figura a seguir:

Como mencionamos anteriormente, a função está definida para e para . Assim, o domínio é

Por outro lado, a partir do gráfico, podemos ver que a imagem (ou conjunto dos valores assumidos pela função) é

Observamos que a função está definida em quatro regiões distintas. Primeiro, no intervalo , ela assume o valor 1. Em seguida, no intervalo , assume o valor e, assim, sucessivamente.

Portanto, o gráfico é como mostrado na figura a seguir:

Em seguida, observamos que o domínio é:

Por outro lado, observamos que a imagem (ou conjunto dos valores assumidos pela função) é:

Se representarmos graficamente as expressões correspondentes a cada uma das regiões dadas, obtemos o seguinte gráfico:

Além disso, o domínio é dado por:

Em seguida, o conjunto imagem (ou conjunto dos valores assumidos pela função) é dado por

Vamos lembrar que é a função sinal, definida da seguinte forma:

Portanto, o gráfico é dado pela figura a seguir:

Além disso, o domínio é:

Enquanto isso, o conjunto imagem (ou contradomínio) é:

Vamos lembrar que a função é conhecida como função piso e é definida como o maior inteiro tal que . Por exemplo:

1

2

3

4

Assim, o gráfico é mostrado na figura a seguir:

Observamos que o domínio da função é:

Enquanto o conjunto imagem é:

Nesse caso, para cada estamos subtraindo , que corresponde à parte inteira. Portanto, o valor de é a parte decimal de .

Assim, o gráfico é o seguinte:

Esse gráfico é conhecido como “dente de serra”.

Além disso, observamos que vale a relação.

O conjunto imagem é dado por

Vamos notar que essa função é exatamente a mesma que a anterior, mas com a soma de 1. Portanto, o gráfico é o seguinte:

O domínio é o mesmo, , enquanto o conjunto imagem é:

Podemos ver essa função como . Portanto, à função da parte decimal de somamos . O gráfico dessa função é o seguinte:

Em seguida, o domínio também é , enquanto o conjunto imagem agora é , o que pode ser observado no gráfico.

Vamos observar que, agora, primeiro dividimos por 2 e, em seguida, obtemos a parte inteira. Portanto, trata-se de uma espécie de “escalonamento” da função piso. É como se estivéssemos esticando o gráfico horizontalmente.

O gráfico é mostrado na figura a seguir.

No entanto, o domínio e o conjunto imagem são os mesmos da função piso:

e

A função será uma função definida por partes. As funções , etc. serão funções auxiliares, definidas em partes do domínio.

1 Primeiro, observe que no intervalo temos uma reta com inclinação negativa. Na verdade, trata-se da função:

2 Além disso: .

3 Em seguida, no intervalo temos a função: .

4 A função não está definida no intervalo: .

5 Por fim, no intervalo a função é constante:

Portanto, a função é dada por: