Escreva de todas as formas possíveis a equação da reta que passa pelos pontos 
e 
.
Uma reta para nos pontos e . Portanto, o vetor que une esses dois pontos é:
Com estes dados já podemos obter as equações da reta (as fórmulas podem ser consultadas em nosso artigo "Resumo de equações da reta").
Equação da reta que passa por 2 pontos:
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
Equação da continuidade:
Equação geral:
Equação explícita:
Equação do declive:
De um paralelogramo 
conhecemos 
. Encontre as coordenadas do vértice D.
Antes de encontrar as coordenadas dos vértices observemos a seguinte figura:
Sabemos que o vetor que vai de 
a 
deve ser igual ao vetor que vai de 
a 
, ou seja:
Fazemos os cálculos:
onde 
é a coordenada x do ponto , e 
é sua coordenada y. Desse modo, temos:
Portanto, o ponto é
Classifique o triângulo determinado pelos pontos: 
y 
Para classificar o triângulo primeiro devemos calcular a distância de cada um de seus lados. Isso fazemos da seguinte maneira:
Note que se cumpre:
Portanto, o triângulo é isósceles. Além disso, se cumpre
De maneira que o triângulo também é retângulo. Isso pode ser visto na seguinte figura:
Encontre o declive e a ordenada na origem da reta 
.
Temos a equação . Isolamos 
da equação:
A partir daqui podemos ver que o declive é:
Enquanto que a ordenada da origem é:
Encontre a posição relativa das retas nas seguintes equações:
a. 
b. 
c. 
d. 
Observe que os coeficientes da reta 1 e 2 são proporcionais:
Portanto, a reta 1 e 2 são coincidentes (são a mesma reta).
Da mesma maneira, note que os coeficientes de 
e da reta 1 e 3 são proporcionais, no entanto, os termos independentes não são proporcionais:
Portanto, as retas 1 e 3 são paralelas. Dessa forma, as retas 2 e 3 são paralelas (já que 1 e 2 são iguais).
Por fim, observe que os coeficientes para e da reta 4 não são proporcionais aos coeficientes de nenhuma outra reta:
Portanto, a reta 4 é secante em relação às retas 1, 2 e 3.
Encontre a equação da reta 
, que passa 
, e é paralela à reta 
.
Observe a seguinte figura de duas retas paralelas:
Sabemos que duas retas são paralelas se seus declives são o mesmo:
Portanto, a reta tem a forma (declive):
Igualando a 0, a reta pode ser escrita como:
Temos um quadrilátero cujos vértices são 
e 
. Comprove que é um paralelogramo e determine o seu centro.
Para que o quadrilátero seja um paralelogramo devemos ter em conta que: 
y
Note que:
Portanto, se cumpre . Por outro lado:
Assim, o quadrilátero é um paralelogramo.
Agora devemos encontrar o ponto médio. Sabemos que as diagonais se cruzam no ponto médio (e este ponto é o centro do paralelogramo), portanto basta encontrar o ponto médio de alguma das diagonais. O ponto médio da diagonal \bar{AC} é
Assim, o centro é o ponto 
. Observe a figura do paralelogramo:
Encontre a equação da reta que passa pelo ponto 
e é paralela à reta que une os pontos 
e 
.
Se 
é a reta que une os pontos então sabemos que a reta que procuramos é paralela a . Portanto, tem o mesmo declive:
Se utilizamos a forma declive da reta então a equação da reta é:
Portanto, a equação de obteremos igualando a zero:
Os pontos 
e 
, são vértices de um triângulo isósceles 
que tem seu vértice na reta 
sendo 
e 
os lados iguais. Calcule as coordenadas do vértice .
Escrevemos as coordenadas do ponto como 
. Como 
, então se cumpre:
Se isolamos 
, então
Além disso, os lados e são iguais, assim se cumpre 
.
Se elevamos ao quadrado, temos:
Se substituímos o valor então temos:
Se expandirmos o polinômio e resolvemos a equação "quadrática" (ao final os termos quadráticos se cancelam), então,
Por último, substituindo o valor de 
na equação para o de temos:
Portanto, o ponto é 
. O gráfico do triângulo é o seguinte:
A reta 
passa pelo ponto 
e é paralela à reta 
. Calcule 
e 
.
Sabemos que 
para em . Portanto ao substituir as coordenadas do ponto continuamos satisfazendo a igualdade:
Além disso, sabemos que 
, assim sendo, os coeficientes são proporcionais:
Portanto, 
Dado o triângulo , de coordenadas 
e 
; calcule a equação da mediana que passa pelo vértice .
Temos o seguinte triângulo e desejamos calcular a mediana em um gráfico:
Sabemos que a mediana passará pelo ponto médio do segmento 
. Portanto calculamos as coordenadas deste ponto (que indicaremos como 
):
Agora escrevemos a equação que passa por e (usamos a fórmula da reta que passa por dois pontos):
Simplificando um pouco, obtemos a seguinte equação:
De um paralelogramo se conhece um vértice, 
, e o ponto de cruzamento das diagonais, 
. Também sabemos que o outro vértice se encontra na origem das coordenadas. Calcule:
a. Os outros vértices.
b. As equações das diagonais.
c. A longitude das diagonais.
Vamos resolvendo cada um dos enunciados:
a. Os outros vértices:
Sabemos que 
é o ponto médio de 
, portanto:
Assim continuamos:
Portanto, 
. Da mesma maneira, é o ponto médio de 
, assim:
Assim continuamos:
Desse modo, 
. Assim, os quatro vértices são os pontos 
e 
.
b. As equações das diagonais.
Neste caso apenas temos que usar a fórmula da reta que passa por dois pontos. Primeiro para a diagonal :
Simplificando um pouco obtemos 
. Assim, para a diagonal 
temos:
Que, depois de simplificar, obtemos 
.
c. A longitude das diagonais.
ara calcular a longitude das diagonais basta calcular a distância entre os vértices apropriados. Para a diagonal temos:
Enquanto que para a diagonal a longitude é:
O gráfico do paralelogramo é o seguinte:
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