Exercícios para calcular distribuição normal e probabilidade

Se é uma variável aleatória de uma distribuição , encontre: .

Neste caso, estamos utilizando uma distribuição normal estândar. Para resolver o problema usaremos a seguinte fórmula:

Agora temos que localizá-lo em nossa tabela de distribuição normal. Localizamos o valor quando , mas precisamos do valor quando , então utilizamos obtemos . Além disso, como a distribuição normal é simétrica, então .

Quer dizer que, aproximadamente dos valores de estão a menos de três desvios padrão da média.

Em uma distribuição normal de média e desvio normal , calcule o valor de a para que:

Utilizando a fórmula , vamos substituir o valor da média ( ), e o desvio padrão ( ).

Ao simplificarmos, obtemos:

Onde continuamos

Agora devemos localizar na tabela de distribuição normal o valor e observamos que corresponde a , então:

Em uma cidade se estima que a temperatura máxima no mês de junho se mantém em uma distribuição normal com média de e desvio padrão de .

Calcule o número de dias do mês dos quais se esperam atingir máximas entre e .

Utilizando a fórmula , vamos substituir o valor da média (), e o desvio padrão ( ).

Procuramos os valores correspondentes na tabela de distribuição normal:

Portanto

Isso quer dizer que durante todo o mês apenas dias alcançarão temperaturas entre e graus.

A média do peso de alunos de um colégio é e o desvio padrão de .

Supondo que os pesos são distribuídos normalmente, encontre quantos alunos pesam:

1 Entre e .

Substituindo:

Localizando os valores na tabela de distribuição normal e operando:

Portanto, se multiplicarmos a probabilidade

Dos alunos estão entre e quilos.

2 Mais de .
Substituindo e simplificando temos:

Multiplicando a probabilidade por obtemos

.

É impossível encontrar algum aluno acima dos quilos.

3 Menos de .

Substituindo e simplificando temos:

Multiplicando a probabilidade por obtemos

alunos que pesam menos de quilos

4 .

Quando a distribuição é contínua a probabilidade de que a variável tenha um valor exato é sempre nula (). Portanto

.

5 ou menos.

Dados os resultados anteriores:

Existem zero alunos que pesam quilos exatos e há alunos que pesam menos de quilos, portanto, existem alunos que pesam quilos ou menos.

\displaystyle 500 \cdot P(X < 64) = 500 \cdot P(X \leq 64) = 11[/latex].

Supõe-se que os resultados de uma prova mantém uma distribuição normal com média de e desvio padrão de .

Se pede:

1. Qual é a probabilidade de que uma pessoa que faça a prova obtenha uma qualificação superior a ?

Substituímos os valores na fórmula:

A probabilidade de que uma pessoa obtenha uma pontuação maior do que ao fazer a prova é de .

2 Calcule a proporção de alunos que têm uma pontuação que exceda em pelo menos cinco pontos a marca entre apto e não-apto (são declarados não-aptos dos alunos que tiveram os pontos mais baixos).

Substituímos os valores na fórmula:

Localizamos a probabilidade na tabela de distribuição normal, que é . Isto significa que

Isolamos :

Calculamos :

A porcentagem de alunos que são aptos e que excedem em pontos a marca de não-aptos é de .

3 Sabendo que a qualificação de um aluno é maior do que , qual é a probabilidade de que sua qualificação seja de fato superior a ?

Substituímos:

Com o primeiro cálculo deste exercício sabemos que a probabilidade de que um aluno obtenha uma pontuação maior do que pontos ao fazer a prova é de .

Agora utilizaremos a fórmula de probabilidade condicional:

Substituímos:

A probabilidade de que um aluno que obteve uma pontuação maior do que tenha conseguido de fato uma pontuação acima de é de .

Após um teste de cultura geral podemos observar que os pontos obtidos mantém uma distribuição .

Desejamos classificar os examinados em três grupos (de baixa cultural geral de cultura geral aceitável e de excelente cultura geral) de modo que no primeiro grupo estejam dos examinados, no segundo grupo e no terceiro grupo.

Quais são as pontuações que marcam a transição de um grupo ao outro?

Localizamos na nossa tabela o parâmetro correspondente à probabilidade , que é :

Desse modo, se . Então

Agora localizamos na tabela o parâmetro para a probabilidade de , que é . O que significa que

Desse modo, se . Então

De baixa cultura até pontos.

De cultural aceitável entre e .

De excelente cultura a partir de pontos.

Vários testes de inteligência deram uma pontuação que mantém uma lei normal com média de e desvio padrão de .

1 Determine a porcentagem de examinados que obteriam um coeficiente entre e .

Substituímos os valores na fórmula:

A porcentagem de examinados que obteriam uma pontuação entre e é de .

2 Qual o intervalo centrado em que contém dos examinados?

Como queremos pegar do centro de examinados, então devemos pegar o intervalo que está entre e

Localizamos na tabela o parâmetro para a probabilidade de e de

Substituímos e isolamos

e

Então o intervalo é: .

O intervalo centrado que contém dos examinados obterá uma pontuação entre e .

3 Em uma população de indivíduos, se espera que quantos obtenham um coeficiente superior a ?

Substituímos os valores na fórmula, calculamos o parâmetro e localizamos a probabilidade na tabela

Multiplicando esta probabilidade pelos indivíduos, obtemos

Em uma população de indivíduos, se espera que deles tenham um coeficiente superior a .

Em uma cidade, uma em cada três famílias possuem telefone.

Se escolhemos famílias ao acaso, calcule a probabilidade de que entre elas existam pelo menos com telefone

n: Quantidade de famílias para escolher.
p: Probabilidade de escolher uma família que tenha telefone.
q: Complemento da probabilidade.
Para resolver este tipo de exercício usaremos o Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidade:.

Se é uma variável aleatória binomial de parâmetros y, , então pode ser aproximado de uma distribuição normal de média  e desvio padrão  (onde ) se se cumpre as duas condições seguintes:

Condição 1.  .
Condição 2.  .
Então, a variável binomial ficaria aproximada pela variável normal .

Como , é cumprida a condição 1.

Então, é cumprida a condição 2.

Então utilizamos a fórmula .

Substituímos os dados:

Agora utilizamos a fórmula de distribuição normal

Substituímos, operamos e localizamos o valor da probabilidade na nossa tabela de distribuição normal:

Ao escolher famílias ao acaso, existe uma probabilidade de de que pelo menos famílias possuam um telefone.

Em uma prova há perguntas de múltipla escolha. Cada pergunta tem uma resposta correta e uma incorreta.

Estará aprovado quem responde mais de respostas corretas.

Supondo que as perguntas sejam respondidas ao acaso, calcule a probabilidade de aprovação na prova

Utilizamos o Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidade:

Comprovamos as condições:

Primeira condição:

Segunda condição: 

Como ambas condições se cumprem, usaremos a fórmula

.

Substituímos:

Agora utilizaremos

Ao responder ao acaso em uma prova de múltipla escolha existe a probabilidade de de aprovação.

Um estudo mostrou que em um bairro, têm pelo menos duas televisões. Escolhemos ao acaso uma amostra de lares em tal bairro.

Se pide:

1 Qual é a probabilidade de que pelo menos dos lares citados tenham ao menos duas televisões?

Utilizamos o Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidade. Comprovamos se se cumprem as condições:

Como ambas condições são cumpridas, usaremos a fórmula .

Substituímos:

Agora utilizaremos .

Substituímos:

2 Qual é a probabilidade de que entre e dos lares tenham ao menos duas televisões?

Utilizando a fórmula , vamos substituir o valor da média e o desvio padrão

A probabilidade de que entre e lares tenham ao menos televisões é de .