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Obtenha os elementos da parábola
Obtenha a equação da parábola

Pontuação:

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Obtenha os elementos da parábola

Dada a parábola $\text{[math]}$ , calcule seu vértice, seu foco e a reta diretriz.

Solução

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é o $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OX. Além disso, a parábola encontra-se no lado positivo do eixo OX, já que o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 8, que é positivo. Assim

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Dada a parábola $\text{[math]}$ , calcule seu vértice, seu foco e a reta diretriz.

Solução

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é o $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OX. Além disso, a parábola encontra-se no lado negativo do eixo OX, já que o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é -8, que é negativo. Assim

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Dada a parábola $\text{[math]}$ , calcule seu vértice, seu foco e a reta diretriz.

Solução

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é o $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OY. Além disso, a parábola encontra-se no lado positivo do eixo OY, já que o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 8, que é positivo. Assim

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Dada a parábola $\text{[math]}$ , calcule seu vértice, seu foco e a reta diretriz.

Solução

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é o $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OY. Além disso, a parábola encontra-se no lado negativo do eixo OY, já que o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 8, que é negativo. Assim

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Dada a parábola $\text{[math]}$ , calcule seu vértice, seu foco e a reta diretriz.

Solução

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Não se trata de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está em

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ dessa forma, o eixo da parábola é paralelo ao eixo OX. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 8, que é positivo, portanto, o foco está ao lado direito do vértice

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Dada a parábola $\text{[math]}$ , calcule seu vértice, seu foco e a reta diretriz.

Solução

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Não se trata de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está em

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola é paralelo ao eixo OX. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 8, que é positivo, portanto, o foco está ao lado direito do vértice

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Determine, em forma reduzida, as equações das seguintes parábolas, indicando o valor do parâmetro, as coordenadas do foco e a equação da diretriz.

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Solução

a) $\text{[math]}$ Isolamos o termo $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OX. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 2, que é positivo, portanto, o foco está ao lado direito do vértice

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

b) $\text{[math]}$

Isolamos o término $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OX. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é $\text{[math]}$ que é negativo, portanto, o foco está ao lado esquerdo do vértice

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

c) $\text{[math]}$

Isolamos o termo $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

O parâmetro é

$\text{[math]}$

Trata-se de uma equação reduzida, dessa forma, o vértice está na origem

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola coincide com o eixo OY. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é $\text{[math]}$ que é negativo, portanto, o foco está abaixo do vértice

$\text{[math]}$

O gráfico da parábola $\text{[math]}$ é:

Calcule as coordenadas do vértice e dos focos e as equações das diretrizes das parábolas:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Solução

Calcule as coordenadas do vértice e dos focos e as equações das diretrizes das parábolas:

a) $\text{[math]}$

Completamos o quadrado

$\text{[math]}$

Simplificamos

$\text{[math]}$

Isolamos

$\text{[math]}$

O parâmetro é

$\text{[math]}$

b) $\text{[math]}$

Completamos o quadrado

$\text{[math]}$

Simplificamos

$\text{[math]}$

Isolamos

$\text{[math]}$

Então,

$\text{[math]}$

O parâmetro é

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ , dessa forma, o eixo da parábola é paralelo ao eixo OY. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 6, que é positivo, portanto, o foco está mais acima do vértice

$\text{[math]}$

c) $\text{[math]}$

Completamos o quadrado

$\text{[math]}$

Simplificamos

$\text{[math]}$

Isolamos

$\text{[math]}$

O parâmetro é

$\text{[math]}$

O termo quadrático na equação é $\text{[math]}$ dessa forma, o eixo da parábola é paralelo ao eixo OY. Além disso, o coeficiente que acompanha o termo no quadrático (neste caso $\text{[math]}$ ) é 1, que é positivo, portanto, o foco está mais acima do vértice

$\text{[math]}$

Obtenha a equação da parábola

Determine as equações das parábolas que têm:

Diretriz $\text{[math]}$ , foco $\text{[math]}$ .
Diretriz $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .
Diretriz $\text{[math]}$ , foco $\text{[math]}$ .
Diretriz $\text{[math]}$ , foco $\text{[math]}$ .
Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .
Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .
Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .
Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .

Solução

Determine as equações das parábolas que têm:

a) Diretriz $\text{[math]}$ , foco $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e a diretriz, para assim obter o parâmetro $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Como o foco encontra-se sobre o eixo OX, a diretriz é paralela ao eixo OY e são equidistantes da origem, trata-se de uma equação reduzida

$\text{[math]}$

Então, como o eixo coincide com o eixo OX e o foco está mais à direita que o vértice, a equação está dada por

$\text{[math]}$

b) Diretriz $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o vértice e a diretriz, para assim obter $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que o vértice está na origem e a diretriz é paralela ao eixo OX, dessa forma, trata-se de uma equação reduzida.

Como o eixo coincide com o eixo OY e o foco está mais abaixo que o vértice, a equação será

$\text{[math]}$

c) Diretriz $\text{[math]}$ , foco $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e a diretriz, para assim obter o parâmetro $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que a diretriz é paralela ao eixo OX, que o foco está sobre o eixo OY e são equidistantes da origem. Dessa forma, trata-se de uma equação reduzida.

Como o foco está mais acima do que a diretriz, a equação será

$\text{[math]}$

d) Diretriz $\text{[math]}$ , foco $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e a diretriz, para assim obter o parâmetro $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que a diretriz é paralela ao eixo OY, que o foco está sobre o eixo OX e são equidistantes da origem. Dessa forma, trata-se de uma equação reduzida.

Como o foco está mais à esquerda do que a diretriz, a equação será

$\text{[math]}$

e) Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e o vértice, para assim obter o parâmetro $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que a diretriz é paralela ao eixo OY, que o foco está sobre o eixo OX e são equidistantes da origem. Dessa forma, trata-se de uma equação reduzida.

Como o foco está mais à direita do que a diretriz, a equação será

$\text{[math]}$

f) Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e a diretriz, para assim obter $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que a diretriz é paralela ao eixo OY.

Como o foco está mais à esquerda do que o vértice, a equação será

$\text{[math]}$

g) Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e a vértice, para assim obter $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que a diretriz é paralela ao eixo OX.

Como o foco está mais acima do que o vértice, a equação será

$\text{[math]}$

h) Foco $\text{[math]}$ , vértice $\text{[math]}$ .

Primeiro calculamos a distância entre o foco e o vértice, para assim obter o parâmetro $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Devemos notar que a diretriz é paralela ao eixo OY.

Como o foco está mais à esquerda do que o vértice, a equação será

$\text{[math]}$

Encontre a equação da parábola cujo vértice coincide com a origem de coordenadas e que passa pelo ponto $\text{[math]}$ , sendo seu eixo OX.

Solução

Como seu vértice é a origem e seu eixo coincide com o eixo OX do plano, sua equação é na forma reduzida. Em particular, é

$\text{[math]}$

Passa pelo ponto (3,4), dessa forma, suas coordenadas cumprem a equação anterior, isso é:

$\text{[math]}$

Dividimos entre 3

$\text{[math]}$

Então, a equação fica assim

$\text{[math]}$

Escreva a equação da parábola com eixo paralelo a OY, vértice em OX e que passa pelos pontos $\text{[math]}$ e $\text{[math]}$ .

Solução

Do problema, sabemos que

$\text{[math]}$

Como a curva passa pelos pontos A e B, suas coordenadas devem satisfazer a equação da parábola,

$\text{[math]}$

Pegamos a primeira equação e multiplicamos por 4 para obter:

$\text{[math]}$

Subtraímos a segunda equação, isso é, somamos com o negativo

$\text{[math]}$

Para assim obter

$\text{[math]}$

Simplificamos dividindo tudo entre 3

$\text{[math]}$

As duas soluções de $\text{[math]}$ nos dão duas soluções de equações de parábolas diferentes.

$\text{[math]}$

Determine a equação da parábola que tem como diretriz a reta: $\text{[math]}$ e como foco a origem de coordenadas.

Solução

Sabemos que a distância de um ponto $\text{[math]}$ em relação a diretriz deve ser igual à distância desse ponto em relação ao foco, isso é $\text{[math]}$