Exercícios com equação da circunferência I

Escreva a equação da circunferência de centro e raio .

a) Substituímos os dados na equação ordinária da circunferência:

onde:

são as coordenadas do centro e é o raio.

Dada a circunferência da equação , encontre o centro e o raio. Convertemos a equação geral para a forma ordinária ; para isso seguimos o passo a passo:

a) Reescrevemos a equação ordenando os e e completamos os trinômios quadrados perfeitos

b) Fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

y

Determine as coordenadas do centro e o raio das circunferências:

a) 
Reescrevemos a equação na sua forma ordinária:  

e

b)

e

Já que é imaginário, ele não é uma circunferência real

c)

Dividimos por 4 e reescrevemos a equação na forma ordinária:

e

d)

Dividimos por 4 e reescrevemos a equação na forma ordinária:   

  e

Calcule a equação da circunferência que tem por centro e é tangente ao eixo das abscissas.

1) Fazemos o gráfico da circunferência a partir dos dados:

 2) A partir dos dados podemos deduzir que

Calcule a equação da circunferência que tem por centro e é tangente ao eixo das ordenadas.

1) Fazemos o gráfico da circunferência a partir dos dados:

2) A partir do gráfico podemos deduzir que

Calcule a equação da circunferência que tem por centro o ponto de interseção das retas , , e um raio igual a .

1) Propomos um sistema de equação com as retas. A solução do sistema de equações corresponde ao centro da circunferência         

2) Substituímos e   na forma ordinária

Encontre a equação da circunferência concêntrica com a equação , e que passa pelo ponto .

1) Por serem concêntricas têm o mesmo centro:

2) Calculamos o centro da circunferência

3) Para calcular o raio calculamos a distância de a

4) Substituímos o centro e o raio na forma ordinária

Encontre a equação da circunferência que tem por centro o ponto e é tangente à reta: .

1) O raio é calculado com a distância do ponto em relação a reta

2) Substituímos e na forma ordinária

Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos .

1) Considerando a equação geral de uma circunferência como , substituímos os pontos e construímos um sistema de equações:

2) Resolvemos o sistema de equações e substituímos na forma geral:

Encontre a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices: .

1) Considerando que os vértices do triângulo são pontos em que passa a circunferência, podemos considerar a equação da circunferência como

e substituir os pontos:

2) Resolvemos o sistema de equações e substituímos na forma geral:

Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos e e tem seu centro sobre a reta .

1) Consideramos que o ponto é o centro da circunferência e encontra-se sobre a reta . Podemos assim propor o sistema:

2) Das duas primeiras equações obtemos:

3) Resolvendo o sistema:

Calcule a equação da circunferência que passa pelo ponto , cujo raio é  e cujo centro encontra-se na bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

1) Consideramos que o ponto é o centro da circunferência, além disso, a bissetriz do primeiro e terceiro quadrante é a reta :

2) Obtemos duas soluções para :

3) Para

4) Para

Os extremos do diâmetro de uma circunferência são os pontos e . Qual é a equação desta circunferência?

1) O raio da circunferência será a metade da distância entre os pontos e :

2) O centro da circunferência será encontrado no ponto médio entre os pontos e :

3) Obtemos os coeficientes e para a fórmula

Encontre a equação da circunferência concêntrica na circunferência que seja tangente à reta .

1) Obtemos o centro da circunferência com coordenadas :

2) O raio será a distância entre e a reta :

3) Obtemos os coeficientes e para a fórmula

Calcule a posição relativa da circunferência  e a reta .

1) Propomos um sistema de equação entre a equação da circunferência e a equação da reta para encontrar suas interseções

Já que existem dois pontos de interseção, podemos dizer que a reta e a circunferência são secantes.

a) Encontre a posição relativa da circunferência com as retas:A

Propomos um sistema de equação entre a equação da circunferência e a equação da reta para encontrar suas interseções:

Já que existem dois pontos de interseção, podemos dizer que a reta e a circunferência são secantes.

b)

Propomos um sistema de equação entre a equação da circunferência e a equação da reta para encontrar suas interseções:

Já que existe apenas um ponto de interseção entre a circunferência e a reta, podemos dizer que são tangentes.

c)

Propomos um sistema de equação entre a equação da circunferência e a equação da reta para encontrar suas interseções:

\Delta =(-13)^{2}-4.50< 0[/latex]

Já que não existem pontos de interseção entre a reta e a circunferência podemos dizer que são exteriores.