Temas
Unidade imaginária
Chama-se unidade imaginária o número 
, que é representado pela letra 
.
A raiz cúbica de 
não é um número imaginário nem complexo.
Exemplos com a unidade imaginária
1
2
3
4 
Número complexo
O número 
é chamado de número complexo na forma algébrica (ou binômica). Em geral, qualquer número complexo é representado pela letra 
.
O número 
é chamado de parte real do número complexo e é indicado por 
, enquanto o número 
é chamado de parte imaginária e é indicado por 
.
Se a parte imaginária de um número complexo for zero, isto é, 
, o número se reduz a um número real , pois 
.
Se a parte real de um número complexo for zero, isto é, 
, o número complexo se reduz a 
, sendo chamado de número imaginário puro.
O conjunto de todos os números complexos é representado por 
. De forma mais formal:
Os números complexos 
e 
são chamados de opostos.
Os números complexos e 
são chamados de conjugados.
Dois números complexos são iguais quando possuem a mesma parte real e a mesma parte imaginária, ou seja:
com 
ou 
e 
ou 
Representação gráfica dos números complexos
Os números complexos são representados no plano cartesiano, chamado de plano complexo 
, na forma de vetor posição, cujo ponto inicial é a origem e o ponto final é o ponto 
, chamado de afixo do número complexo.
O eixo 
é chamado de eixo real e o eixo 
, de eixo imaginário.
O plano complexo também é conhecido como plano de Argand-Gauss.
Potências de unidade imaginária
, pois 
, pois 
, pois 
ou 
Exemplos de potências maiores de números complexos
1
2
3
4
Números imaginários puros
Un número imaginario puro é dado por:
onde:
é um número real.
é a unidade imaginária.
Lembrando que sua parte real é 
, isto é, 
. Quando a parte real é diferente de zero, o número passa a ter parte real e parte imaginária e, portanto, é classificado como número complexo, e não apenas como número imaginário.
Operações com números complexos na forma algébricaSoma e subtração de números complexos
A regra para somar ou subtrair dois números complexos e 
é somar ou subtrair a parte real de um com a parte real do outro e a parte imaginária de um com a parte imaginária do outro.
Quando aparecem somas e subtrações combinadas envolvendo vários números complexos, somam-se e/ou subtraem-se as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.
Exemplos:
1
2
3
A soma e a subtração de números complexos também podem ser feitas da mesma forma que a soma e a subtração de polinômios, pois os números complexos estão escritos na forma algébrica.
Exemplo:
Produto de números complexos
O produto, ou multiplicação, de números complexos escritos na forma algébrica é feito de acordo com a seguinte fórmula:
ou
Esse produto também pode ser realizado como a multiplicação de dois binômios.
Exemplo de acordo com a fórmula:
Exemplo como produto de binômios:
Quociente de números complexos
A divisão de dois números complexos escritos na forma de fração é feita multiplicando-se tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador. Em seguida, realizam-se as simplificações necessárias até que o resultado fique escrito na forma algébrica:
.
Exemplos:
1
2
Módulo e argumento de números complexos
O módulo de um número complexo (), quando representado graficamente, corresponde ao comprimento do vetor que vai da origem até o seu afixo, ou ponto final. O módulo é indicado por:
.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo 
da figura, obtém-se a fórmula para calcular o módulo de um número complexo:
O argumento de um número complexo é o ângulo positivo, medido no sentido anti-horário, que o vetor forma com a parte positiva do eixo real. Ele é indicado por 
e é calculado por meio das fórmulas a seguir, de acordo com o quadrante em que o número complexo se encontra.
Primeiro quadrante
Segundo quadrante
Terceiro quadrante
Quarto quadrante
Exemplos: Vamos calcular o módulo e o argumento dos seguintes números complexos e também fazer sua representação gráfica.
1 
Calculamos o módulo:
Calculamos o argumento:
Representação gráfica:
2
Calculamos o módulo:
Calculamos o argumento:
Representação gráfica:
Números complexos em forma trigonométrica ou polar
Para obter as partes real e imaginária, e , respectivamente, de um número complexo em função do seu módulo e do seu argumento, aplicam-se as definições das funções seno e cosseno do ângulo 
, no triângulo da figura anterior.
Posteriormente, la forma trigonométrica y polar del número completo se expresa así:
Na tabela abaixo, estão os resumos das formas algébrica ou binômica, polar e trigonométrica de qualquer número complexo.
| Algébrica (binômica) |  |
|---|---|
| Polar |  |
| Trigonométrica |  |
Números complexos iguais, conjugados e opostos nas formas trigonométrica e polar
O gráfico a seguir mostra a representação, tanto na forma polar quanto na forma trigonométrica, de um número complexo 
, do seu complexo conjugado 
e do seu complexo oposto 
.
Números Complexos Iguais
Números Complexos Conjugados
Números Complexos Opostos
Produto de números complexos na forma polar
Fórmula
Exemplos:
1
2
Produto por um número complexo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo por 
se gira un ángulo 
alrededor del origen.
Quociente de números complexos na forma polar
Fórmula:
Exemplos:
1
2
Potência de números complexos na forma polar
Fórmula:
Exemplos:
1
2
Fórmula de Moivre
O Teorema de Moivre é utilizado para calcular potências inteiras positivas de números complexos escritos na forma trigonométrica.
A fórmula de Moivre é:
Se aplicarmos à 
-ésima potência de um número complexo escrito na forma polar:
Exemplo:
Vamos calcular a potência do seguinte número complexo, escrito na forma algébrica (binômica), usando a forma trigonométrica e o Teorema de Moivre, já que fazer pela expansão binomial seria mais demorado e trabalhoso.
Passo 1. Calcula-se o módulo e o argumento da base da potenciação, que é o número complexo sem expoente.
Módulo:
Argumento:
Passo 2. Expressa-se o número complexo na sua forma trigonométrica
Passo 3. Aplica-se a fórmula de Moivre.
Paso 4. Escreve-se o resultado sem o procedimento.
Raiz n-ésima de números complexos na forma polar
Todo número complexo (exceto o zero) possui exatamente raízes n-ésimas distintas.
Exemplo:
Passo 1. Calculam-se o módulo e o argumento do número complexo do qual se está extraindo a raiz sexta.
Módulo
Argumento
Paso 2. Substituem-se os dados na fórmula para calcular as 
raízes n-ésimas do número complexo 
.
Paso 3. Varia-se o valor de 
de 
até 
para obter as 
raízes n-ésimas de .
Para
Para 
Para 
Para 
Para 
Para 
Representação gráfica das raízes do número complexo
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