Exercícios de vetores

Um vetor possui os componente . Encontre as coordenadas de sabendo que o extremo .

1. Como não conhecemos as coordenadas de , vamos expressá-las mediante:

.

2. Sabemos que as coordenadas de um vetor são obtidas ao diminuirmos o ponto inicial com o ponto final:

3. Obtemos duas equações:

4. Resolvemos as duas equações e chegamos a conclusão que as coordenadas de são:

Dado o vetor e dois vetores equipolentes a y , determine e sabendo que e .

1. Como são equipolentes, portanto .

2. Como não conhecemos as coordenadas de , vamos expressá-las mediante:

.

3. Sabemos que as coordenadas de um vetor são obtidas ao diminuirmos o ponto inicial com o ponto final:

4. Obtemos duas equações:

5. Resolvemos as duas equações e chegamos a conclusão de que as coordenadas de são:

6 Resolvendo da mesma maneira com , concluímos que .

Calcule a distância entre os pontos e .

1. A fórmula para a distância entre dois pontos é:

2. Substituímos os valores de e na fórmula de distância entre dois pontos e obtemos:

Se é um vetor com componentes , encontre um vetor unitário com mesma direção e sentido.
1. A fórmula para que um vetor seja unitário é:

2. Calculamos a magnitude de

3. Substituímos na fórmula para obtermos um vetor unitário:

Encontre um vetor unitário com mesma direção que o vetor .

1. A fórmula para que um vetor seja unitário é:

2. Calculamos a magnitude de

3. Substituímos na fórmula para obtermos um vetor unitário:

Calcule as coordenadas de para que o quadrilátero dos vértices e seja um paralelogramo.

1. Os lados opostos de um paralelogramo são iguais em magnitude e direção, assim temos

2. Como não conhecemos as coordenadas de , vamos expressá-las mediante

.

3. Substituímos os valores dos vértices do paralelogramo com a igualdade dos vetores

4. Obtemos duas equações

5. Resolvendo as equações obtemos as coordenadas desejadas

Encontre as coordenadas do ponto médio do segmento , cujos extremos são e .

1. As fórmulas para as coordenadas do ponto médio são:

2. Substituímos os valores de e nas duas fórmulas anteriores:

3. O ponto médio é .

Encontre as coordenadas do ponto , sabendo que é o ponto médio de , onde .

1. As fórmulas para as coordenadas do ponto médio são

2. Substituímos os valores de e nas duas fórmulas anteriores e calculamos a primeira coordenada de

3. A segunda coordenada de é

4. Por fim

Descubra se os pontos e estão alinhados.

1. Os pontos são colineares se as pendentes dos segmentos e são iguais.

2. Como ambas pendentes são iguais, então os três pontos estão alinhados.

Calcule o valor de para que os pontos estejam alinhados.

1. Os pontos são colineares se as pendentes dos segmentos e são iguais.

2. Como ambas pendentes são iguais, igualamos ambas expressões e isolamos

Dados os pontos e , encontre um ponto alinhado com e , de maneira que se obtenha .

1. Partimos da condição dada e obtemos uma igualdade

2. Igualamos ambas expressões, coordenada a coordenada, e obtemos

3. Resolvemos ambas equações para obter as coordenadas de

Dado um triângulo com vértices e , encontre as coordenadas do baricentro.

1. A fórmula para encontrar o baricentro é:

2. Substituindo os valores dos vértices do triângulo obtemos:

Dado um triângulo com dois de seus vértices e baricentro , calcule o terceiro vértice.

1. A fórmula para encontrar o baricentro é

2. Substituindo os valores do baricentro e os vértices do triângulo, obtemos duas equações

3. Resolvemos ambas equações e obtemos o terceiro vértice .

Encontre o simétrico do ponto em relação a .

1. Expressamos em relação ao simétrico de , que cumpre assim

2. Substituindo os valores dos pontos obtemos duas equações correspondentes às coordenadas dos vetores

3. Resolvemos ambas equações e obtemos .

Encontre o simétrico do ponto em relação a .

1. Expressamos em relação ao simétrico de , que cumpre assim

2. Substituindo os valores dos pontos obtemos duas equações correspondentes às coordenadas dos vetores.

3. Resolvemos ambas equações e obtemos .

Quais os pontos de e dividem os segmentos de extremos e em três partes iguais?

1. Em notação vetorial temos

2. Substituindo os valores dos pontos obtemos duas equações correspondentes às coordenadas dos vetores

3. Resolvemos ambas equações e obtemos .

4. Para encontrar as coordenadas de utilizamos a condição

5. Substituindo os valores dos pontos obtemos duas equações correspondentes às coordenadas dos vetores

6. Resolvemos ambas equações e obtemos .

Se o segmento de extremos se dividem em quatro partes iguais, então quais são as coordenadas dos pontos de divisão?

1. Notamos que é o ponto médio do segmento

2. é o ponto médio do segmento

3. é o ponto médio do segmento