Temas

Razões trigonométricas em um triângulo retângulo
Razões trigonométricas em uma circunferência
Sinais das razões trigonométricas
Tabela de razões trigonométricas
Relações pitagóricas entre as razões trigonométricas
Relações entre as razões trigonométricas de alguns ângulos
Razões trigonométricas da soma e diferença de ângulos
Razões trigonométricas do ângulo duplo
Razões trigonométricas de meio ângulo
Transformações de somas em produto
Transformações de produtos em somas
Exercícios de cálculo de seno, cosseno e tangente

Os/as melhores professores/as de Matemática disponíveis

Razões trigonométricas em um triângulo retângulo

Seno

O seno do ângulo B é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. É indicado por sen B.

Cosseno

O cosseno do ângulo B é a razão entre o cateto adjacente ou contíguo ao ângulo e a hipotenusa. É indicado por cos B.

Tangente

A tangente do ângulo B é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo. É indicado por tan B ou tg B.

Cossecante

A cossecante do ângulo B é a razão inversa do seno de B.

Indicado por csc B ou cosec B.

Secante

A secante do ângulo B é a razão inversa do cosseno de B.

É indicado por sec B.

Cotangente

A cotangente do ângulo B é a razão inversa da tangente de B.

É indicado por cot B ou ctg B.

SOH-CAH-TOA: Uma maneira fácil de lembrar

SOH-CAH-TOA é um acrônimo usado para poder memorizar as definições das razões trigonométricas mais importantes: seno, cosseno e tangente.

Para as outras razões trigonométricas, em vez de criar outro acrônimo, é mais simples entender que a cossecante, secante e cotangente são opostos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, respectivamente. Veja detalhadamente:

$\text{[math]}$

Razões trigonométricas em uma circunferência

Chamamos de círculo trigonométrico ou círculo unitário aquele que tem seu centro na origem de coordenadas e cujo raio é a unidade.

Como exemplo, um triângulo retângulo que está dentro do círculo com o raio formará a hipotenusa e se um dos catetos está sobre o eixo X, obteremos uma figura como a seguinte.

Calculamos o seno e cosseno do ângulo $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Concluímos que

O seno é a ordenada de P, isto é, do ponto que está sobre a circunferência.

O cosseno é a abscissa de P, isto é, do ponto que está sobre a circunferência.

Outro dado que podemos deduzir é que os valores de seno e cosseno estão entre 1 e -1.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Cabe destacar que a razão pela qual consideramos elas como funções trigonométricas no círculo é para podermos obter ângulos maiores. Por exemplo, de um triângulo retângulo não poderíamos saber quanto é $\text{[math]}$ , porque não podemos construir um triângulo retângulo com um ângulo de 150°.

O círculo unitário nos permite fazer esse cálculo. O que devemos fazer é:

Localizamos o ângulo de 150° que se forma a partir do eixo X na direção oposta aos ponteiros do relógio.
Considero o ponto sobre a circunferência que se forma com o ângulo.

A ordenada desse ponto é o seno
A abscissa é o cosseno

Para as outras razões trigonométricas consideramos a seguinte figura

QOP e TOS são triângulos semelhantes. Então,

$\text{[math]}$

QOP e T'OS′ são triângulos semelhantes. Então,

$\text{[math]}$

Usando as definições das razões trigonométricas e as relações entre os triângulos semelhantes, obtemos

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Sinais das razões trigonométricas

Na circunferência goniométrica os eixos de coordenadas delimitam quatro quadrantes que são numerados no sentido contrário aos ponteiros do relógio. Devemos lembrar que se consideramos um ângulo $\text{[math]}$ e pegamos o triângulo retângulo dentro do círculo que é produzido com tal ângulo, o sinal de seno e cosseno deste ângulo vai depender em qual quadrante o triângulo está.

Tabela de razões trigonométricas

Relações pitagóricas entre as razões trigonométricas

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Explicação:

trigonometría
Como o triângulo dentro do círculo é retângulo, cumpre-se
$\text{[math]}$
Na imagen, os catetos (a e b) correspondem aos valores x e y, e a hipotenusa ao raio, ou seja, 1.
Então $\text{[math]}$
Como x é a abscissa y e a ordenada, sabemos que estes valores correspondem ao cosseno e seno respectivamente. Então,
$\text{[math]}$