Exercícios com radicais

Calcule os valores das seguintes potências:

Solução:

Uma potência com expoente fracionário é igual a uma raiz cujo índice é o denominador da fração e o expoente do radicando é o numerador .

Para resolver o primeiro devemos antes decompor em fatores, efetuamos as operações no radicando e extraímos os fatores

1

2

3

Neste caso, passamos o expoente que é um número decimal exato para fração

4

O expoente que é uma dízima periódica pura passaremos para fração

Uma vez que conhecemos o expoente como fração, resolvemos

Extraia os fatores do radical:

Solução:

1

O expoente do dois é menor que o índice , portanto, está no radicando.

O expoente do é igual ao índice , portanto, o sai do radicando.

O expoente do é maior que o índice , portanto, dividimos este expoente pelo índice. O quociente obtido é o expoente do fator fora do radicando e o resto é o expoente do fator dentro do radicando.

2 

Os expoentes são maiores que o índice, portanto, dividimos esses expoentes pelo índice.

Cada um dos quocientes obtidos será o expoente do fator correspondente fora do radicando e cada um dos restantes será o expoente do fator correspondente dentro do radicando.

Introduza fatores:

Solução:

1
Antes de começarmos a resolver devemos lembrar algumas das propriedades dos radicais. Sabemos que o radical aplicado a um produto é o produto dos radicais

e que o índice do radical, quando passado para a forma exponencial, divide a potência da base

então, estes dois resultados juntos, utilizaremos para simplificar expressões com radicais multiplicados por fatores, isso é

e, assim, podemos apenas utilizar o resultado

Aplicamos agora esse processo ao nosso problema:

Introduzimos o elevado ao índice do radical e realizamos as operações

2

Introduzimos os fatores elevados ao índice

Fazemos as operações

Passe para índice comum os radicais:

Solução:

Encontramos o mínimo múltiplo comum dos índices que será o índice comum

Dividimos o índice comum para cada um dos índices e cada resultado obtido multiplicamos pelos seus expoentes correspondentes

Fazemos as operações nos radicais

Faça as somas dos radicais:

Solução:

1

Como os radicais são semelhantes, somamos os coeficientes dos radicais:

2

Somamos os coeficientes dos radicais:

3

Decompomos em fatores os radicandos e extraímos os fatores dos radicais (se possível) e multiplicamos pelo coeficiente do radical correspondente

4

Extraímos os fatores dos radicais e multiplicamos pelo coeficiente do radical correspondente

Simplificamos os radicais. No primeiro radical dividimos o índice e o expoente do radicando por , no segundo por e no terceiro por

Somamos os coeficientes dos radicais

Encontre as somas dos radicais:

Solução:

Para fazer as somas de radicais não semelhantes, seguiremos o passo a passo:

Decompomos em fatores os radicais e extraímos os fatores dos radicais (se possível) e multiplicamos pelo coeficiente do radical correspondente

Somamos os coeficientes dos radicais

1

2

3

4

Efetue as somas dos radicais:

Solução:

1

Racionalizamos o segundo somando multiplicando e dividindo pela raiz quadrada de

Tiramos o fator comum da raiz de e somamos

2

Decompomos em fatores os radicais

Nos dois primeiros, somamos extraindo os fatores, no terceiro, simplificamos o radical dividindo o índice e o expoente do radical entre e, no último, vamos racionalizar multiplicando e dividindo pela raiz cúbica de

Como todos os radicais são semelhantes, podemos somar seus coeficientes

Calcule os produtos dos radicais:

Solução:

1

Como os radicais têm o mesmo índice, multiplicamos os radicandos e decompomos em fatores para extrair os fatores do radical.

2

Decompomos em fatores os radicandos

Reduzimos em índice comum, assim, temos que calcular o mínimo múltiplo comum dos índices, que será o índice comum.

Dividimos o índice comum por cada um dos índices e cada resultado obtido multiplicaremos por seus expoentes correspondentes .

Calculamos o produto de potências com a mesma base no radicando e extraímos os fatores do radicando

3

Calculamos o mínimo múltiplo comum dos índices.

Prosseguimos com os cálculos:

Efetue as divisões com radicais:

Solução:

1

Como os radicais têm o mesmo índice, dividimos os radicandos e simplificamos o radical dividindo o índice e o expoente do radicando por

2

No primeiro reduzimos em índice comum, assim, temos que calcular o mínimo múltiplo comum dos índices, que será o índice comum.

.

Dividimos o índice comum por cada um dos índices e cada resultado obtido multiplicaremos por seus expoentes correspondentes .

Decompomos o em fatores para poder fazer a divisão de potências com a mesma base e dividimos.

3

Fazemos os mesmos passos do exercício anterior

Simplificamos o radical dividindo por o índice e o expoente do radicando. Por último, extraímos os fatores

Calcule:

Primeiro, calculamos o mínimo múltiplo comum dos índices, que será o índice comum

Dividimos o índice comum por cada um dos índices e cada resultado obtido multiplicaremos por seus expoentes correspondentes

Removemos os parênteses, simplificamos a fração e multiplicamos no numerador as potências com mesma base.

Simplificamos o radical dividindo por o índice e o expoente do radicando.

Por último, extraímos os fatores:

Faça a operação:

Solução:

Primeiro, devemos notar que , portanto

Passamos para índice comum as raízes do numerador e do denominador.

Elevamos ao cubo o denominador e realizamos a divisão de potências com mesma base.

Calculamos a raiz quarta do radical multiplicando os índices.

Faça as operações com potências:

Solução:

1

Elevamos o radicando ao quadrado, decompomos em fatores e elevamos ao quadrado e, por último, extraímos os fatores

2

Elevamos os radicandos à quarta, decompomos os radicandos em fatores e extraímos o do radical

Fazemos as operações com potências nos radicandos e, depois, passamos para índice comum para poder efetuar a divisão

Simplificamos o radical dividindo por o índice e os expoentes do radicando, depois fazemos uma divisão de potências com o mesmo expoente

Podemos racionalizar multiplicando e dividindo pela raiz cúbica de

Faça as operações:

Solução:

1

Um quadrado da diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo

2

3

Uma soma pela diferença é igual à diferença de quadrados

4

Calcule:

Solução:

1

Fazemos a multiplicação de frações. No denominador temos uma soma pela diferença que é igual à diferença de quadrados

2

A diferença de quadrados do denominador colocamos como uma soma pela diferença e simplificamos a fração

Efetue:

Solução:

1

Multiplicando os índices

2

Introduzimos o primeiro termo dentro da raiz cúbica, dessa maneira, teremos que elevá-lo ao cubo e depois multiplicamos as potências com mesma base. Continuamos fazendo o procedimento até que todos os valores tenham sido introduzidos nos radicais. Assim, multiplicamos e então temos .

3

Introduzimos o dentro da raiz quadrada elevando-o ao quadrado.
Multiplicamos as potências com mesma base.

Multiplicamos os índices e simplificamos dividindo por 3 o índice resultante e o expoente do radicando.

Racionalize os radicais:

Solução:

1
Multiplicamos o numerador e denominador pela raiz de . Fazemos os cálculos e simplificamos a fração.

2

O radicando vamos transformar em forma de potência: .

Temos que multiplicar o numerador e denominador pela raiz quinta de .

Multiplicamos os radicais do denominador, extraímos os fatores do radical e simplificamos a fração.

3

Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador, removemos os parênteses do numerador e efetuamos a soma pela diferença no denominador. Assim, obtemos uma diferença de quadrados.

Extraímos os radicandos do denominador e dividimos por . Ou seja, mudamos o sinal do numerador.

4

Multiplicamos e dividimos a fração pelo conjugado do denominador.

Efetuamos a soma pela diferença no denominador. Dessa forma, obtemos uma diferença de quadrados, depois calculamos:

5

Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador removemos os parênteses do numerador e efetuamos a soma pela diferença no denominador. Assim, obtemos uma diferença de quadrados.

Decompomos em fatores o numerador e extraímos os fatores. Terminamos fazendo as operações do denominador.

Racionalize:

Solução:

1

Multiplicamos o numerador e denominador pela raiz de e fazemos os cálculos

2

Aqui nos damos conta de que para poder eliminar o radical de precisamos gerar o produto

para que desta forma o radical seja eliminado, ou seja

em outras palavras, como já temos no denominador, precisamos apenas multiplicá-lo por para conseguir eliminar o radical.

Para não afetar o valor numérico da expressão, multiplicamos tanto no numerador como no denominador. Então, nosso cálculo fica assim

3

Multiplicamos e dividimos a fração pelo conjugado do denominador.

Removemos os parênteses do numerador e efetuamos a soma pela diferença no denominador. Assim, obtemos uma diferença de quadrados.

Efetuamos as operações e simplificamos a fração fatorando o

4

Multiplicamos e dividimos a fração pelo conjugado do denominador

Removemos os parênteses do numerador e efetuamos a soma pela diferença no denominador. Assim, obtemos uma diferença de quadrados

5

Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador

Transformamos o numerador em forma de potência

Temos uma diferença ao quadrado no numerador que é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Temos uma soma pela diferença no denominador que é igual à diferença de quadrados

Fazemos as operações e simplificamos no final